常微分方程教學大綱

1、<p>　　常微分方程教學大綱 </p><p>　　課程名稱：常微分方程</p><p>　　課程類型：本科生必修課</p><p>　　課程說明：常微分方程是力學系各專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程。其目的是使學生掌握常微分方程基本概念、基本解法與基本理論，培養(yǎng)學生運用解析方法分析問題和求解問題的能力，并為后續(xù)的課程提供必要的基礎(chǔ)?；緝?nèi)容包括初等解法，線性微分方

2、程組理論，常系數(shù)線性微分方程和方程組的求解方法，常微分方程一般理論，定性、穩(wěn)定性概念和基本方法。</p><p><b>　　參考書：</b></p><p>　　[1] 常微分方程，伍卓群，李勇，高等教育出版社，2004。</p><p>　　[2] 常微分方程，王高雄，高等教育出版社，1984。</p><p>　　

3、學時安排：教學按15周計算，每周兩次課（4學時），共30次課（60學時），其中期中考試占1次課，習題課占2次課。</p><p>　　成績評定方法：作業(yè)、考勤、平時考查加起來占20分，期中考試占30分，期末考試占50分。</p><p>　　先修課：數(shù)學分析，線性代數(shù)。</p><p><b>　　初等積分法</b></p>&l

4、t;p>　　要求：掌握微分方程解、通解、初值問題等概念。熟練掌握正規(guī)形微分方程和方程組與一階正規(guī)形微分方程組的互化方法。 熟練掌握變量分離、齊次方程及可化為齊次方程的方程、線性方程、恰當方程的解法，掌握積分因子方法；掌握幾種特殊類型的可積的高階方程的解法。以及一階隱式方程的求解方法；了解里卡蒂方程。</p><p>　　學時安排：6次課（12學時）。</p><p>　　● 第1次課

5、： §1 微分方程例子與概念</p><p>　　● 第2次課： 2.1 分離變量法；2.2 齊次方程；2.3 可化為齊次方程的方程 </p><p>　　● 第3次課：2.4 一階線性方程；2.5 伯努利方程</p><p>　　● 第4次課：2.6 恰當方程；積分因子</p><p>　　● 第5次課：

6、7;3 解題的靈活性； 4.1 一階隱方程</p><p>　　● 第6次課：4.2 髙階方程的幾種可積類型；4.3 里卡蒂方程</p><p>　　第二章 線性微分方程</p><p>　　要求：掌握線性方程與方程組初值問題解存在的條件、特點及證明方法；熟練掌握解空間、基本矩陣與通解結(jié)構(gòu)定理；了解Wronsky 行列式的性質(zhì)及Liouville 定理；掌握線性

7、方程組邊值問題解存在的條件以及周期系數(shù)方程組存在周期解的充要條件；了解冪級數(shù)解法；掌握求解線性微分方程的降階方法；掌握線性方程（組）復值解與實值解之間的關(guān)系。</p><p>　　學時安排：6次課（12學時）。</p><p>　　● 第7次課：§1 引言； §2 存在唯一性定理 </p><p>　　● 第8次課：§3 齊次線

8、性方程組的通解結(jié)構(gòu)</p><p>　　● 第9次課：§4 非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)及變動參數(shù)法</p><p>　　● 第10次課：§5 邊值問題與周期解；§6 高階線性方程</p><p>　　● 第11次課：§7 線性微分方程的降階法與冪級數(shù)解法</p><p>　　● 第12次課：

9、7;8 線性方程的復值解；習題課 </p><p>　　第三章 常系數(shù)線性微分方程</p><p>　　要求：熟練掌握常系數(shù)線性微分方程組和方程解的結(jié)構(gòu)，形式及其求解方法；掌握求解非齊次方程特解的待定系數(shù)法、算子解法以及求解方程組的消去法；了解求解初值問題的拉氏變換方法；了解第二宇宙速度的計算方法，能夠用常系數(shù)線性方程的理論和方法分析二階振動系統(tǒng)的性質(zhì)。</p><

10、p>　　學時安排：6次課（12學時）。</p><p>　　● 第13次課：§1 常系數(shù)齊次線性方程的解法</p><p>　　● 第14次課：§1 常系數(shù)非齊次線性方程的待定系數(shù)法</p><p>　　● 第15次課：§2 常系數(shù)齊次線性方程組基本解矩陣的結(jié)構(gòu)</p><p>　　● 第16

11、次課：§2 常系數(shù)齊次線性方程組的待定系數(shù)法</p><p>　　● 第17次課：§3 算子解法與拉氏變換方法</p><p>　　● 第18次課：§4 機械振動系統(tǒng)和第二宇宙速度的計算</p><p>　　第四章 一般理論 </p><p>　　要求：掌握Picard存在唯一性定理、Picard

12、逐次逼近法；了解歐拉折線的構(gòu)造以及Peano定理的證明思路；掌握解延展到邊界的意義和解可延展的條件，并能夠利用延展定理分析解存在的區(qū)間；熟悉解對初值、參數(shù)的連續(xù)依賴性定理及實際意義；了解解對初值的可微性定理；掌握Bellman不等式的證明及其應用。</p><p>　　學時安排：6次課（12學時）。</p><p>　　● 第19次課：§2 Picard存在唯一性定理<

13、/p><p>　　● 第20次課：§2 解的唯一性；奇解</p><p>　　● 第21次課：§2 Peano存在定理</p><p>　　● 第22次課：§3 延展定理</p><p>　　● 第23次課：§4 解對初值、參數(shù)的連續(xù)依賴性</p><p>　　●

14、第24次課：§5 解對初值和參數(shù)的可微性；§6 對于n階方程的推論</p><p>　　定性與穩(wěn)定性基本理論</p><p>　　要求：熟悉穩(wěn)定性、奇點、軌線和極限環(huán)的概念；掌握利用一次近似判定穩(wěn)定性的方法、Lyapunov第二方法以及判定奇點類型的方法；了解環(huán)域定理。</p><p>　　學時安排：3次課（8學時）。</p>