二項式定理的十大應用_第1頁
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1、school.chinaedu.com二項式定理的十方面應用 二項式定理的十方面應用一、利用二項式定理求展開式的某一項或指定項的系數 一、利用二項式定理求展開式的某一項或指定項的系數1.(2012 (2012 年高考安徽卷理科 年高考安徽卷理科 7) 7) 的展開式的常數項是（ ） 2 52 1 ( 2)( 1) x x ? ?21 世紀教 ( ) A 3 ? ( ) B 2 ? ( ) C ? ( ) D ?【答案】 D【解

2、析】第一個因式取 ，第二個因式取 得： 2 x 2 1x1 45 1 ( 1) 5 C ? ? ?第一個因式取 ，第二個因式取 得：展開式的常數項是 2 5 ( 1) ? 5 2 ( 1) 2 ? ? ? ? 5 ( 2) 3 ? ? ?.2.(2012 (2012 年高考天津卷理科 年高考天津卷理科 5) 5)在 2 5 1 (2 ) x x ? 的二項展開式中， x 的系數為（ ）（A）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）

3、40 （Ｄ）-40點評：利用二項式定理求展開式的某一項或指定項的系數，實際上就是對二項展開式的通項公式的考查，此類問題是高考考查的重點．3．在二項式 的展開式中，系數最小的項的系數是 11 ) 1 ( ? x解： r r rr x T C ) 1 ( 1111 1 ? ? ?? ?要使項的系數最小，則 必為奇數，且使 為最大，由此得 ，從而可知最小項的 ? r Cr11 5 ? r系數為 462 ) 1 ( 5 51

4、1 ? ? ? C二、利用二項式定理求展開式的系數和 二、利用二項式定理求展開式的系數和1、若 ， 2013201322 1 02013 ... ) 2 1 ( x a x a x a a x ? ? ? ? ? ? ) ( R x ?則 。(用數字作答) _______ ) ( ) ( ) ( ) ( 2013 0 3 0 2 0 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a a a a a a a a ?解析：在 中，令 ，則 ，

5、 2013201322 1 02013 ... ) 2 1 ( x a x a x a a x ? ? ? ? ? ? 0 ? x 1 0 ? a令 ，則 1 ? x 1 ) 1 ( 20132004 3 2 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? a a a a a ?school.chinaedu.com點評：利用二項式定理證明整除（或求余數）問題，通常把底數拆成與除數的倍數有關的和式．六、利用二項式定理求近似值 六、利用二項式定理

6、求近似值例 求 的近似值，使誤差小于 0．001． 6 0.998策略：因為 ，所以可以用二項式定理來計算． 6 6 0.998 (1 0.002) ? ?解： ， 6 6 2 6 0.998 (1 0.002) 1 6 ( 0.002) 15 ( 0.002) ( 0.002) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∵ ． 23 15 ( 0.002) 0.00006 0.001 T ? ? ? ? ?即第 3 項以后的

7、項的絕對值都小于 0.001，∴從第 3 項起，以后的項可以忽略不計，即 ． 6 6 0.998 (1 0.002) 1 6 ( 0.002) 0.988 ? ? ? ? ? ? ?點評：由 知，當 x 的絕對值與 1 相比很小且 n 1 2 2 3 3 (1 ) 1 n n nn n n n x C x C x C x C x ? ? ? ? ? ? ? ?足夠大時， ， ，…， 等項的絕對值就會更小，因此在精確度允許的范圍之內可以

8、2 x 3 x n x忽略不計．因此可以使用近似計算公式 ．在使用這個公式時，要注意按問題 (1 ) 1 n x nx ? ? ?對精確度的要求，來確定對展開式中各項的取舍．七、利用二項式定理證明組合數問題 七、利用二項式定理證明組合數問題例 6 求證： ． 0 2 1 2 2 2 2 (2 !) ( ) ( ) ( ) ( ) ! !nn n n nn C C C C n n ? ? ? ? ? ?策略：觀察等式 的特點，想到構造等

9、式 ，利用同一 2(2 )!! !n nn C n n ? 2 (1 ) (1 ) (1 ) n n n x x x ? ? ? ? ·項的系數相等進行證明．證明：已知， 2 0 1 2 2 0 1 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) ( )( ) n n n n n n nn n n n n n n n x x x C C x C x C x C C x C x C x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

10、? ? ·由于 的系數為第一個因式中 的系數與第二個因式中 的系數的乘積的和， n x r x n r x ?即 （這是因為 的系數 與 的系數 相等） 0 2 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) nn n n n C C C C ? ? ? ? ? r x r n C n r x ? n r n C ?而在 的展開式中 的系數為 ，因此原等式恒成立． 2 (1 ) n x ? n x 2 n n C點評：對于

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