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文檔簡介
1、常微分方程及空間解析幾何單元測試題 常微分方程及空間解析幾何單元測試題（考試時(shí)間：150 分鐘）一、填空題：（每小題 一、填空題：（每小題 3 分，合計(jì) 分，合計(jì) 15 分） 分）1．設(shè)有一個(gè)一階微分方程的通解為 ，則該方程為 ． 2 2 2 2 2 ( ) ( ) x y C x y ? ? ?2．方程 的通解為 ． (4) 2 0 y y y ??? ?? ? ? ?
2、3．設(shè) ，則． 2 ( ) (sin 2 , ,cos2 ) r t t t t ? ? (0) r?? ? ?4．如果直線 與直線 相交，那么常數(shù) 的值為 ?12111 : 1? ? ? ? ? z y x L 1 1111 : 2z y x L ? ? ? ? ?．5．已知三向量 兩兩互相垂直，且 ，則向量 的模等 , , a b c 1, 2, 1 ? ? ? a b c ? ? ? s a b c于 ．二、選
3、擇題：（每小題 二、選擇題：（每小題 3 分，合計(jì) 分，合計(jì) 15 分） 分）１．方程 的一個(gè)特解具有形式（ ） ． 2 2 x y y xe ?? ? ? ?（A）（B）（C）（D） 2 ( ) x x Ax B e ? 2x Axe 2 2x Ax e 2 ( ) x Ax B e ?2．已知 為方程 的三個(gè)線性無關(guān)的特解， 均為任意 1 2 3 , , y y y 1 2 ( ) ( ) ( ) y a x y a x
4、 y f x ?? ? ? ? ? 1 2 3 , , C C C常數(shù)，則該方程的通解為（ ） ．（A）（B）1 1 2 2 C y C y ? 1 1 2 2 3 3 C y C y C y ? ?（C）（D） 1 1 2 2 3 C y C y y ? ? 1 1 2 2 1 3 2 ( ) ( ) C y y C y y y ? ? ? ?3．已知函數(shù) 在任意點(diǎn) 處的增量 ，且當(dāng) 時(shí)， 是 的高階無窮 ( ) y y
5、x ? x 2 1y x y x ? ? ? ? ? ? 0 x ? ? ? x ?小， ，則 等于（ ） ． (0) y ? ? (1) y（A）（B）（C）（D） 2? 4 e?4 e?? ?4．設(shè)有直線 及平面 ，則直線 L（ ）? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0 3 10 20 1 2 3 : z y xz y x L 0 2 2 4 : ? ? ? ? z y x ?（A）平行于 ，
6、 （B）在 上， ? ?（C）垂直于 ， （D）與 斜交． ? ?5．方程 代表的曲面是（ ） ． 1 2 2222? ? ? czbyax(A)單葉雙曲面 (B)橢圓拋物面 (C)雙葉雙曲面 (D)橢圓柱面常微分方程與空間解析幾何單元測試題參考答案 常微分方程與空間解析幾何單元測試題參考答案一、填空題：（每小題 一、填空題：（每小題 3 分，合計(jì)
7、 分，合計(jì) 15 分） 分）1．2．2 2 2 2 (3 ) (3 ) x y yy y x x ? ? ? ? 1 2 3 4x x y C C x C e C xe ? ? ? ?3．4． 5． (0,2, 4) ? 45 2二、選擇題：（每小題 二、選擇題：（每小題 3 分，合計(jì) 分，合計(jì) 15 分） 分）1． A 2．D 3．C 4．D 5．B三、計(jì)算題：（每小題 三、計(jì)算題：（每小題 5
8、 分，合計(jì) 分，合計(jì) 30 分） 分）1． ． （5 分） 23 ) , sin( | || | | | | ) ( ) 2 ( | ? ? ? ? ? ? ? ? b a a b a b b a b a S? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2．解：取 代入直線方程，得 ，即求得直線上的一個(gè)點(diǎn) ， （1 分） 0 1 x ? ? 0 0 0 y z ? ? 0( 1,0,0) M ?由于兩個(gè)平面的交線與這兩個(gè)平面的法向量 都垂直，所
9、以可以取 1 2 (1,1,1), (2, 1,3) n n ? ? ? ? ?（3 分） 1 2 1 1 1 (4, 1, 3)2 1 3i j ks n n ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ?因此，所給直線的對稱式方程為（4 分） 14 1 3x y z ? ? ? ? ?參數(shù)方程為（5 分）1 43x ty tz t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3．解：將原方程化為1 1ln y y x x x?? ?這
10、是個(gè)一階非齊次線性方程，利用公式求得其通解為 （4 分） 1 ln 2 lnC y x x ? ?代入初始條件，得 ， 故所求特解為 ． （5 分） 12 C ? 1 1 (ln ) 2 ln y x x ? ?4．解：特征方程為 ，其根為 ， （2 分） 2 2 2 0 r nr k ? ? ? 2 21,2 r n n k ? ? ? ?分三種情況討論：（1） ，特征方程為兩不同實(shí)根，解為 n k ?． （3 分）2 2 2 21
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