常微分方程試題庫試卷庫[002]

1、第 1 頁常微分方程期終考試試卷(1)一、 填空題〔30%〕1, 方程 ( , ) ( , ) 0 M x y dx N x y dy ? ? 有只含 x 的積分因子的充要條件是〔 〕 。有只含y 的積分因子的充要條件是______________。 ２, _____________稱為黎卡提方程，它有積分因子______________。 ３, __________________稱為伯努利方程，它有積分因子__

2、_______。４, 假設 1 2 ( ), ( ), , ( ) n X t X t X t ? 為n 階齊線性方程的n 個解，那么它們線性無關的充要條件是 __________________________。 ５, 形如___________________的方程稱為歐拉方程。６, 假設 ( ) t ? 和 ( ) t ? 都是' ( ) x A t x ? 的基解矩陣，那么 ( ) t ? 和 ( ) t ? 具

3、有的關系是 _____________________________。 ７, 當方程的特征根為兩個共軛虛根是，那么當其實部為_________時，零解是穩(wěn)定的，對應的奇點稱為 ___________。 二, 計算題〔６０％〕1, 3 ( ) 0 ydx x y dy ? ? ?２, sin cos2 x x t t ?? ? ? ?３, 假設2 11 4 A ? ? ? ? ? ? ? ? 試求方程組 x Ax ? ? 的

4、解12( ), (0) t ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 并求 expAt４, 3 2 ( ) 4 8 0 dy dy xy y dx dx ? ? ?５, 求方程2 dy x y dx ? ?經過〔0，0〕的第三次近 似解6.求1, 5 dx dy x y x y dt dt ? ? ? ? ? ? ?的奇點,并推斷奇點的類型及穩(wěn)定性

5、.三, 證明題〔１０％〕１, n 階齊線性方程肯定存在n 個線性無關解。常微分方程期終試卷(2)一, 填空題 30%1、 形如____________的方程，稱為變量別離方程，這里. ) ( ). ( y x f ? 分別為 x.y 的連續(xù)函數。2、 形如_____________的方程，稱為伯努利方程，這里 x x Q x P 為 ) ( ). ( 的連續(xù)函數.n，可化為線性方程。 是常數。引入變量變換 ? ? ? ? ? ?

6、? ? 1 . 03、 假如存在常數 使得不等式 , 0 ? L _____________對于全部稱為利普希茲常數。 都成立， （ L R y x y x ? ) , ( ), , 2 1 函數 ) , ( y x f 稱為在 R 上關于 y滿意利普希茲條件。4、 形如_____________-的方程，稱為歐拉方程，這里 是常數。 , , 2 1 a a5、 設 是 的基解矩陣， 是 ) ( ) ( t Ax x t ? ? ? ?

7、 ) ( ) ( t f x t A x ? ? ? 的某一解，那么它的任一解可表為 ) (t ? _____________-。二、 計算題 40%1.求方程的通解。 2 6 xy xydxdy ? ?2.求程xy e xydxdy ? ?的通解。3.求方程t e x x x 2 5 ' 6 ' ' ? ? ? 的隱式解。 第 3 頁２, 1 ) ( 1 2 2 ? ? ??? ?? ? dxdy y。３,

8、 求方程2 y x dxdy ? ?通過 ) 0 , 0 ( 的第三次近似解。求解以下常系數線性方程。４, 0 ? ? ? ? ? ? x x x 。５, t e x x ? ? ? ? ? 。試求以下線性方程組的奇點，并通過變換將奇點變?yōu)樵c，進一步推斷奇點的類型及穩(wěn)定性：６, 5 , ! ? ? ? ? ? ? ? y x dt dy y x dt dx。三, 證明題。１、 １, 設 ) (t ? 為方程 Ax x ?

9、 ? 〔Ａ為 n n? 常數矩陣〕的標準基解矩陣〔即 ) ) 0 ( E ? ? ，證明 ) (t ? ) ( ) ( 0 01 t t t ? ? ? ? ? 其中 0 t 為某一值。常微分方程期終考試試卷〔5〕一． 填空題 〔30 分〕1．) ( ) ( x Q y x P dxdy ? ?稱為一階線性方程，它有積分因子 ? ? dx x P e) (，其通解為 _________ 。2．函數 ) , ( y x f 稱為在矩形

10、域 R 上關于 y 滿意利普希茲條件，假如 _______ 。3． 假設 ) (x ? 為畢卡靠近序列? ? ) (x n ? 的極限，那么有 ) ( ) ( x x n ? ? ? ? ______ 。4．方程2 2 y x dxdy ? ?定義在矩形域 2 2 , 2 2 : ? ? ? ? ? ? y x R 上，那么經過點〔0，0〕的解的存 在區(qū)間是 _______ 。5．函數組t t t e e e 2 , , ?的伏朗斯基行

11、列式為 _______ 。6．假設 ) , , 2 , 1 )( ( n i t xi ? ? 為齊線性方程的一個根本解組， ) (t x?為非齊線性方程的一個特解，那么非 齊線性方程的全部解可表為 ________ 。7．假設 ) (t ? 是 x t A x ) ( ' ? 的基解矩陣，那么向量函數 ) (t ? = _______是 ) ( ) ( ' t f x t A x ? ? 的滿意初始條件 0 ) ( 0

12、 ? t ? 的解；向量函數 ) (t ? = _____ 是 ) ( ) ( ' t f x t A x ? ? 的滿意初始條件 ? ? ? ) ( 0 t 的解。8．假設矩陣 A 具有n 個線性無關的特征向量 n v v v , , , 2 1 ? ，它們對應的特征值分別為 n ? ? ? ? , , 2 1 ，那么矩陣 ) (t ? = ______ 是常系數線性方程組 Ax x ? ' 的一個基解矩陣。9．滿意

13、_______ 的點 ) , ( * * y x ，稱為駐定方程組。二． 計算題 〔60 分〕10．求方程 0 ) 1 ( 2 4 3 2 2 ? ? ? dy y x dx y x 的通解。11．求方程0 ? ? ? x e dxdy dxdy的通解。12．求初值問題 ? ?? ? ?? ?? ?0 ) 1 (2 2yy x dxdy1 , 1 1 : ? ? ? y x R 的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出 在解的存在區(qū)