各階元的個(gè)數(shù)對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響.pdf

1、設(shè)G是一個(gè)有限群，πe(G)表示群G的元素階的集合；mi(G)=｜g∈G｜o(g)=i}｜表示G中i階元的個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)記為mi；p(G)=(m1，…，mk，…ms)表示G的階型；nse(G)={mi｜i∈πe(G)}表示G的元長(zhǎng)之集合。 考慮群的數(shù)量關(guān)系對(duì)有限群結(jié)構(gòu)的影響是有限群論中一個(gè)重要課題．許多群論工作者在這方面做了大量的工作．如著名的Sylow定理．Lagrange定理．Burnside定理等．1987年施武杰教授提出了單群

2、的純數(shù)量刻畫(huà)：僅用有限群元素階的集合和有限群的階來(lái)刻畫(huà)有限單群。 J．G．Thompson教授在給施武杰教授的一封信中提出了下面一個(gè)問(wèn)題：Thompson問(wèn)題：設(shè)G1與G2為同階型的有限群，若G1可解，G2是否可解? 一些群論工作者從群的最高階元的個(gè)數(shù)出發(fā)來(lái)研究有限群，側(cè)面對(duì)Thompson問(wèn)題進(jìn)行了研究，得到了一些令人鼓舞的結(jié)果(參見(jiàn)文獻(xiàn)[10]，[11]，[12]，[13]，[14])，但是，至今沒(méi)有人對(duì)J．G．Thomps

3、on猜怨給出證明、也沒(méi)有可以舉出反例．可見(jiàn)Thompson問(wèn)題的解決是相當(dāng)困難的。 本文首先討論了與同階型群相關(guān)的另一個(gè)問(wèn)題．怎樣的群可由其階型唯一確定?進(jìn)一步容易看出若G1與G2為同階型的有限群，必有nse(G1)=nse(G2)．但反之不一定成立．故作者又用數(shù)量集合nse(G)對(duì)有限群G進(jìn)行了初步研究．主要結(jié)論如下： 定理1.1：設(shè)G為有限群，H為23p階群，p為奇素?cái)?shù)，則G≌H的充要條件是p(G)=p(H)。

4、 定理2.1：設(shè)G是具有循環(huán)極大子群的pn階群，其中p為素?cái)?shù)，H為群。則：(1)當(dāng)G≠G2，G3，G6時(shí)，H≌G的充要條件是p(H)=p(G)．(2)當(dāng)G=G2，G3或G6時(shí)，若p(H)=P(G)，則H≌G2，G3或G6。 定理3.1：設(shè)M為群，G為2qp階群，其中q＜p為不同的奇素?cái)?shù)．則M≌G的充要條件是p(M)=p(G)。 定理3.2： M為群，則M≌A5的充要條件是p(M)=p(A5)。 定理4.3：設(shè)G