若干耦合非線性系統(tǒng)的嚴(yán)格解研究.pdf

1、作為非線性科學(xué)最重要的分支之一，孤立子理論在上個(gè)世紀(jì)六十年代真正形成并成為非?；钴S和極富魅力的研究領(lǐng)域。KdV方程、mKdV方程、KP方程、NLS方程等經(jīng)典孤子系統(tǒng)不僅在量子場(chǎng)論、凝聚態(tài)物理、等離子體物理、流體力學(xué)和非線性光學(xué)等物理學(xué)中起著重要的作用，而且在通信、化學(xué)、地理學(xué)、大氣動(dòng)力學(xué)、生物學(xué)等其他科技領(lǐng)域里也有著廣泛的應(yīng)用。美中不足的是，各種模型都只是近似地描述了自然現(xiàn)象。相比于單變量模型，耦合模型能更為全面準(zhǔn)確地描述物理現(xiàn)象。這一

2、優(yōu)勢(shì)推動(dòng)了耦合模型的相關(guān)研究，對(duì)它的分析求解也日益為人們所重視。本文討論了若干耦合非線性模型的嚴(yán)格解問題。 ㈠研究了耦合位移淺水波系統(tǒng)的構(gòu)造和求解問題。最近，鐘萬勰院士和姚征博士運(yùn)用變分原理，構(gòu)造了1+1維位移淺水波系統(tǒng)(1DDSWWS)，并且發(fā)現(xiàn)它比KdV方程更適合描述1+1維淺水波。通過考慮流體在三維空間上的能量，我們將1DDSWWS進(jìn)行推廣，建立了耦合2+1維位移淺水波系統(tǒng)(2DDSWWS)。與傳統(tǒng)的2+1維淺水波模型KP

3、方程相比，2DDSWWS具有如下兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：(一)KP方程的孤子解在x方向和y方向上的運(yùn)動(dòng)是不對(duì)稱的，并且在x方向上僅僅能朝一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)(x正方向或x負(fù)方向)，而2DDSWWS孤立波在x方向和y方向上是對(duì)稱的，可以朝任意方向運(yùn)動(dòng)；(二)在流體力學(xué)里推導(dǎo)KP方程時(shí)，流體的豎直速度完全被忽略了，而本文推導(dǎo)2DDSWWS時(shí)考慮了豎直速度的影響。由此可以相信，2DDSWWS比KP方程更適合描述2+1維淺水波和其它某些物理現(xiàn)象。運(yùn)用多重尺度展開，我

4、們發(fā)現(xiàn)2DDSWWS在弱二維長(zhǎng)波近似下可以退化成KP方程。計(jì)算顯示，2DDSWWS具有時(shí)空平移不變性，它的嚴(yán)格解可以用一個(gè)橢圓積分來表示，這個(gè)橢圓積分在一定條件下可以退化成橢圓函數(shù)和孤立波解。 ㈡研究了兩個(gè)可積耦合離散模型的嚴(yán)格解。研究的第一個(gè)離散模型是離散耦合KdV-mKdV方程。發(fā)現(xiàn)一個(gè)所謂的“離散mKdV方程”也可連續(xù)化成KdV方程，因此可稱它為“離散Kdv-mKdV方程”。將離散KdV-mKdlV方程進(jìn)行拓廣可建立一個(gè)耦

5、合離散系統(tǒng)，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)耦合離散系統(tǒng)是離散耦合KdV-mKdV系統(tǒng)，證明了它的LaX可積性，列出了它的三種類型的嚴(yán)格解。我們研究的另一個(gè)離散模型是耦合Volterra系統(tǒng)。發(fā)現(xiàn)耦合Volterra系統(tǒng)是離散耦合KdV系統(tǒng)，而且具有LaX可積性，得到了它的橢圓周期波和孤立波等重要的局域激發(fā)模式。同時(shí)，我們探討了離散系統(tǒng)的對(duì)稱性，提出了尋找離散系統(tǒng)點(diǎn)李對(duì)稱的”對(duì)稱方程法”概念。這個(gè)方法只需利用原始方程和對(duì)稱方程的約束，不需要用到對(duì)稱生成元算

6、子的延拓就可以更為簡(jiǎn)便地找到系統(tǒng)的對(duì)稱。在實(shí)踐中我們把離散變量和連續(xù)變量結(jié)合起來考慮，客觀上也簡(jiǎn)化了離散方程的對(duì)稱求解過程。這兩個(gè)離散耦合系統(tǒng)的連續(xù)極限可以用來描述兩層流體系統(tǒng)，也可以用來描述玻色-愛恩斯坦凝聚等等實(shí)際物理問題。 ㈢研究了大氣重力波模型耦合非線性Schrodinger(CNLS)方程的Painleve性質(zhì)、對(duì)稱性和嚴(yán)格解，并將這些結(jié)果應(yīng)用于探討大氣重力波的產(chǎn)生和傳輸?shù)奶匦?。發(fā)現(xiàn)CNLS方程具有Galilean變換