若干變系數(shù)和高維非線性系統(tǒng)精確解的構(gòu)造及應用.pdf

1、近些年來，隨著現(xiàn)代科學技術(shù)的快速發(fā)展，非線性科學已成為一門新的學科，其涉及的領域越來越廣。在非線性光學、玻色-愛因斯坦凝聚、非線性量子場論、等離子體物理、流體力學、生物物理等方面導出了大量的非線性方程。由此，通過各種不同的方法去求解非線性偏微分方程是一件非常有價值的工作。本文基于符號計算和對稱群方法，研究了一個變系數(shù)非線性薛定諤方程的相似變換、精確解及其動力學行為；基于向量，矩陣和曲線積分等代數(shù)技巧，研究了帶有旋轉(zhuǎn)力的可壓縮和不可壓縮N

2、維歐拉方程的笛卡爾解。
　　論文安排如下：
　　第一章簡要介紹了孤立子、非線性薛定諤方程、歐拉方程以及求解非線性偏微分方程的精確解的一些方法。
　　第二章基于李對稱理論和符號計算，首先我們獲得了帶有增益/損耗項和頻率啁啾項的非齊次光纖介質(zhì)中的非線性薛定諤方程的相似變換。其次利用所得變換，我們把具有群速度參數(shù)、克爾非線性效應參數(shù)、相位調(diào)制參數(shù)和增益/損耗參數(shù)的變系數(shù)非線性薛定諤方程約化為相應常系數(shù)非線性薛定諤方程。通過一

3、個廣義的直接求解方法，我們得到了常系數(shù)非線性薛定諤方程的一組亮孤子解和一組暗孤子解，進而得到了變系數(shù)非線性薛定諤方程的豐富的精確解。最后我們對所得亮孤子解和暗孤子解進行了動力學分析與討論。
　　第三章研究了帶有旋轉(zhuǎn)力的N維歐拉方程的精確向量解：基于矩陣理論和曲線積分理論，我們證明了帶有旋轉(zhuǎn)力的不可壓縮和可壓縮的N維歐拉方程存在笛卡爾（Cartesian)形式的向量解w= b(t)+4（t>,這些解能夠用一個適當?shù)墓斤@式表示出來。