容許本原群的半對稱圖.pdf

1、分類或刻畫具有各種傳遞性質(zhì)（例如點傳遞、邊傳遞、弧傳遞等）的圖是代數(shù)圖論中一個非常重要且活躍的研究課題。在本文中我們主要研究邊傳遞圖，特別是半對稱圖即邊傳遞但不是點傳遞的正則圖。1967年，F(xiàn)olkman引入并研究了半對稱圖，同時他提出了關(guān)于半對稱圖的八個公開問題。Folkman的問題引起了研究人員的極大興趣，從而開始了對這類圖的廣泛研究。在過去的幾十年里，人們在半對稱圖方面取得了一些重要結(jié)果，主要涉及限定條件下的分類問題、點穩(wěn)定子的結(jié)

2、構(gòu)以及個例或無限族的構(gòu)造等。
　　本文的主要目標是分類具有某些限定條件的半對稱圖，發(fā)現(xiàn)新的半對稱圖。當然，無論是半對稱圖的分類還是構(gòu)造新的半對稱圖，一個無法回避的核心問題就是判定一個邊傳遞圖的自同構(gòu)群是否在其點集上傳遞。這個問題關(guān)聯(lián)到本文的主要工作，因此從某種程度上講本文的主要任務(wù)之一就是在一定限制條件下解決上述問題。
　　本文分為六章。第一章概述了半對稱圖的研究背景以及本文所取得的主要結(jié)果。為了方便，我們在第二章羅列了某些

3、與本文密切相關(guān)的概念、術(shù)語、符號和必要的群論結(jié)果。第三、四、五、六章是本文的主體部分。
　　在第三章中我們分析了容許擬本原置換群的邊傳遞二部圖。令Υ是一個G一半對稱圖且，不是完全二部圖，其中G是圖，自同構(gòu)群AutΓ的子群。注意到，是一個二部圖，設(shè)U和W是其兩部分。假設(shè)G在U上誘導一個擬本原置換群。通過觀察可知群G在W上的作用是忠實的。如果G在，的兩部分上的作用都是忠實的，那么，同構(gòu)于群G的一個雙陪集圖，于是通過分析某點的穩(wěn)定子在另

4、外一部上的軌道即可得到所有可能的圖，，進而利用群論方法或某些組合技巧去判定圖的點傳遞性。這是我們在后續(xù)章節(jié)工作中所用的主要思想方法之一。特別當G限制在U上是仿射本原群時，我們證明了Γ是半對稱圖當且僅當soc(G)在W上的作用不傳遞。利用這個結(jié)果我們給出了由仿射本原群構(gòu)造半對稱圖的方法，從而發(fā)現(xiàn)并證明了多類半對稱圖。此外這種構(gòu)造方法導致了一個有趣的事實，我們發(fā)現(xiàn)某些完全二部圖可以分拆成若干半對稱圖的邊不交并。另外一種情形是G在W上忠實但在

5、U上不忠實。對于這種情形，我們證明了當G在U上作用本原時，一定是半對稱圖。此結(jié)果導致了另一個由本原置換群構(gòu)造半對稱圖的方法，特別是我們發(fā)現(xiàn)可以用邊本原圖的刨分來構(gòu)造半對稱圖。上述分析及結(jié)果為我們接下來的分類工作及構(gòu)造新的半對稱圖提供了非常有效的理論工具和方法。
　　關(guān)于半對稱圖的分類問題，可行的辦法之一就是限定圖的階或度數(shù)。我們的一個目標是分類或刻畫2pqr階的半對稱圖。本文第四、五、六章中的工作為我們將來的工作奠定了很好的基礎(chǔ)。

6、發(fā)現(xiàn)新的半對稱圖是研究者們非常感興趣的一個問題。利用第三章的結(jié)果及思路，我們在第四章構(gòu)造了大量新的半對稱圖。在第五章中我們首先分類了pqr次的本原置換群，其中p，q和r是素數(shù)（可以相同）。隨后，基于第三章的方法和結(jié)果，我們分類了容許pqr次本原置換群的半對稱圖，這樣的圖包含了9個無限族及若干零散的圖例。利用第五章的部分結(jié)果，結(jié)合商圖技巧，在第六章中我們詳細研究了18p階的局部本原圖，證明了這樣的圖要么是點傳遞的，從而是弧傳遞的，要么同構(gòu)