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文檔簡介
1、零因子圖的相關(guān)研究是近年來一個(gè)相當(dāng)熱門的課題.它主要涉及了圖論和代數(shù)兩個(gè)方面的知識(shí).研究主要有兩種方向,其一是通過對(duì)零因子圖結(jié)構(gòu)的分析來討論相關(guān)半群或者環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu)和代數(shù)性質(zhì),其二是給定某種性質(zhì)的環(huán)或者半群,來分析它們的零因子圖的結(jié)構(gòu).本文主要討論了一些星圖加細(xì)所對(duì)應(yīng)的半群的代數(shù)性質(zhì),滿足條件(△)的半群的理想,子半群及一些同構(gòu)分類.滿足條件Kp的交換環(huán)的代數(shù)結(jié)構(gòu),以及一些零因子圖對(duì)應(yīng)的復(fù)形的同調(diào)群的性質(zhì)。
本文共分為5個(gè)
2、部分,具體如下.
第零章是緒論,主要介紹本文的一些符號(hào),概念,以及相關(guān)背景知識(shí).同時(shí),羅列出了一些在零因子圖的研究領(lǐng)域中非常重要的已知結(jié)論,并介紹了本文的主要研究成果.
第一章中我們主要討論了一些特殊的星圖加細(xì)所對(duì)應(yīng)的半群的性質(zhì)和相關(guān)的計(jì)數(shù)公式.令S表示-個(gè)交換的零因子半群,G=Г(S)是中心為c的星圖加細(xì).令G*c為G的頂點(diǎn)集為V(G)/{c或者與c相連的端點(diǎn))的誘導(dǎo)子圖.F.DeMeyer和L.DeMey
3、er[1]證明了這樣的星圖加細(xì)滿足c2=0.利用這點(diǎn),我們證明了當(dāng)G*c為Pn,Lm,n,Wm,n,Rn時(shí),當(dāng)m,n滿足若干條件時(shí),G是半群S的零因子圖當(dāng)且僅當(dāng)S滿足S2={0,c},即S5=0.此時(shí),零因子半群S的結(jié)構(gòu)完全由G*c決定.當(dāng)G是有限圖時(shí),運(yùn)用群作用和Burnside引理,我們給出了這種半群的同構(gòu)分類,并給出了計(jì)數(shù)公式.
第二章中,令a,6是圖G=Г(S)中的兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn),記C(a,6):{c|N(c)={
4、a,b}).條件(△)表示G中存在頂點(diǎn)c∈C(a,6),存在z∈G,使得d(c,z))=3.武同鎖和盧丹誠[2]給出了半群的一些子半群,我們?cè)诖嘶A(chǔ)上討論了滿足條件(△)的半群的代數(shù)結(jié)構(gòu),給出了一些S中的子半群和理想.另外,我們構(gòu)造了幾類這種半群圖,給出了若干類重要的例子,然后對(duì)圖通過分層,在兩種情況下完全分類了具有該性質(zhì)的半群圖的圖結(jié)構(gòu).
第三章中,我們令圖G=Г(R)是一個(gè)交換環(huán)的零因子圖,令H是G的一個(gè)誘導(dǎo)子圖,記C
5、G(H)={z∈V(G)|N(z)=V(H)).條件(Kp)表示:圖G中存在誘導(dǎo)子圖H≌Kp1,存在頂點(diǎn)c∈CG(H)和頂點(diǎn)z,使得d(c,z)=3,其中Kp-1表示p-1個(gè)頂點(diǎn)的完全圖,p是素?cái)?shù).顯然條件(K3)就是條件(△),此時(shí)CG(H)就是第二章中的C(a,b).我們完全分類了零因子圖滿足條件(Kp)的有限交換環(huán).這個(gè)結(jié)論結(jié)合[3,推論2.7]得到,所有不是域的直積的有限環(huán)的零因子或者是星圖的一個(gè)加細(xì),或者滿足條件(Kp),其中
6、p是某個(gè)素?cái)?shù).這就意味著若R有限,但不是局部環(huán),也不是域的直積,那么diam(Г(R))=3.通過對(duì)圖的分層,我們完全確定了當(dāng)?shù)诙覤(G)離散時(shí)相應(yīng)環(huán)R的結(jié)構(gòu).
第四章研究半群S的單純復(fù)形K(S)這個(gè)概念,這是F.DeMeyer和L.De-Meyer在[1]提出來的.K(S)中的單形A是指S的子集,滿足對(duì)任意x≠y∈A,有xy=0.Hn(K(s),Z)表示K(S)的N維同調(diào)群.我們證明了星圖的有限加細(xì)有hN(G,z)={
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