半群，環(huán)與對應的零因子圖.pdf

1、零因子圖的相關研究是近年來一個相當熱門的課題.它主要涉及了圖論和代數(shù)兩個方面的知識.研究主要有兩種方向,其一是通過對零因子圖結構的分析來討論相關半群或者環(huán)的代數(shù)結構和代數(shù)性質,其二是給定某種性質的環(huán)或者半群,來分析它們的零因子圖的結構.本文主要討論了一些星圖加細所對應的半群的代數(shù)性質,滿足條件(△)的半群的理想,子半群及一些同構分類.滿足條件Kp的交換環(huán)的代數(shù)結構,以及一些零因子圖對應的復形的同調群的性質。
　　 本文共分為5個

2、部分,具體如下.
　　 第零章是緒論,主要介紹本文的一些符號,概念,以及相關背景知識.同時,羅列出了一些在零因子圖的研究領域中非常重要的已知結論,并介紹了本文的主要研究成果.
　　 第一章中我們主要討論了一些特殊的星圖加細所對應的半群的性質和相關的計數(shù)公式.令S表示-個交換的零因子半群,G=Г(S)是中心為c的星圖加細.令G*c為G的頂點集為V(G)/{c或者與c相連的端點)的誘導子圖.F.DeMeyer和L.DeMey

3、er[1]證明了這樣的星圖加細滿足c2=0.利用這點,我們證明了當G*c為Pn,Lm,n,Wm,n,Rn時,當m,n滿足若干條件時,G是半群S的零因子圖當且僅當S滿足S2={0,c},即S5=0.此時,零因子半群S的結構完全由G*c決定.當G是有限圖時,運用群作用和Burnside引理,我們給出了這種半群的同構分類,并給出了計數(shù)公式.
　　 第二章中,令a,6是圖G=Г(S)中的兩個相鄰的頂點,記C(a,6):{c｜N(c)={

4、a,b}).條件(△)表示G中存在頂點c∈C(a,6),存在z∈G,使得d(c,z))=3.武同鎖和盧丹誠[2]給出了半群的一些子半群,我們在此基礎上討論了滿足條件(△)的半群的代數(shù)結構,給出了一些S中的子半群和理想.另外,我們構造了幾類這種半群圖,給出了若干類重要的例子,然后對圖通過分層,在兩種情況下完全分類了具有該性質的半群圖的圖結構.
　　 第三章中,我們令圖G=Г(R)是一個交換環(huán)的零因子圖,令H是G的一個誘導子圖,記C

5、G(H)={z∈V(G)｜N(z)=V(H)).條件(Kp)表示:圖G中存在誘導子圖H≌Kp1,存在頂點c∈CG(H)和頂點z,使得d(c,z)=3,其中Kp-1表示p-1個頂點的完全圖,p是素數(shù).顯然條件(K3)就是條件(△),此時CG(H)就是第二章中的C(a,b).我們完全分類了零因子圖滿足條件(Kp)的有限交換環(huán).這個結論結合[3,推論2.7]得到,所有不是域的直積的有限環(huán)的零因子或者是星圖的一個加細,或者滿足條件(Kp),其中

6、p是某個素數(shù).這就意味著若R有限,但不是局部環(huán),也不是域的直積,那么diam(Г(R))=3.通過對圖的分層,我們完全確定了當?shù)诙覤(G)離散時相應環(huán)R的結構.
　　 第四章研究半群S的單純復形K(S)這個概念,這是F.DeMeyer和L.De-Meyer在[1]提出來的.K(S)中的單形A是指S的子集,滿足對任意x≠y∈A,有xy=0.Hn(K(s),Z)表示K(S)的N維同調群.我們證明了星圖的有限加細有hN(G,z)={