外推多網(wǎng)格法——大規(guī)模科學(xué)計(jì)算的新算法.pdf

1、快速求解由差分法或有限元法導(dǎo)出的大型線性方程組是大規(guī)?？茖W(xué)和工程計(jì)算中的重要問題。人們的目標(biāo)是對(duì)N階方程組用O(N)次乘除運(yùn)算得到所需精度的解。而多網(wǎng)格法(MG)第一次實(shí)現(xiàn)了這個(gè)目標(biāo)，成為求解大規(guī)模問題最有效的方法。經(jīng)典MG的理論方法已經(jīng)比較成熟，由于使用了3種運(yùn)算：插值，限制和迭代，求解時(shí)需要在多重粗細(xì)網(wǎng)格上反復(fù)迭代，所以程序較為復(fù)雜。1996年德國Bornemann等人提出瀑布式多網(wǎng)格法(CMG)，即從粗網(wǎng)到細(xì)網(wǎng)的單向計(jì)算，只采用了

2、插值與迭代兩種運(yùn)算，程序容易實(shí)現(xiàn),令人注目。
　　 本文研究一類新的瀑布式多重網(wǎng)格法，主要工作和創(chuàng)新點(diǎn)如下。
　　 首次提出了外推瀑布式多網(wǎng)格法(EXCMG)。本論文基于有限元的漸近展開式，導(dǎo)出了新的外推公式.新算法沿用CMG的思想，但將粗網(wǎng)上的線性插值改為新外推與二次插值，為密網(wǎng)提供更好的初值，本質(zhì)上減小了初始誤差，對(duì)加速收斂起著關(guān)鍵的作用。新算法對(duì)函數(shù)和導(dǎo)數(shù)都收斂，且都有高精度。本論文在PC機(jī)上用EXCMG求解了40

3、0萬未知數(shù)的問題，對(duì)函數(shù)和導(dǎo)數(shù)都達(dá)到8-10位精度，僅費(fèi)時(shí)10分鐘，進(jìn)一步證實(shí)了這些優(yōu)勢(shì)。
　　 首次證明了共軛梯度法(CG)按l2模的有界性和收斂性.對(duì)CG法至今只有按能量模的收斂估計(jì)，因此這是一個(gè)新結(jié)果。本文還發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)趇層網(wǎng)格的迭代次數(shù)取冪指數(shù)形式(mLβL-i)時(shí)，基于CG迭代的多重網(wǎng)格法，存在著一個(gè)網(wǎng)格層數(shù)的“閥值”i0，即當(dāng)i＜i0時(shí)，第i層上的誤差快速衰減，CG迭代壓縮效果非常明顯；而當(dāng)i＞i0時(shí)，CG主要起磨光作用