基于區(qū)域分解的不連續(xù)介質(zhì)問題的邊界元法及其外推.pdf

1、本文首次研究了求解分片常系數(shù)介質(zhì)問題▽(γ(x)▽u(x))=0(其中γ(x)為分片常系數(shù))的邊界積分方程組的高精度機(jī)械求積法，高精度中點常元配置法及其外推。 作者首先討論了邊界和界面都光滑的不連續(xù)介質(zhì)問題的邊界積分方程的機(jī)械求積法及其Richardson外推。利用單層位勢和區(qū)域分解理論將不連續(xù)介質(zhì)的微分方程轉(zhuǎn)換為等價的具有對數(shù)弱奇異性的第二類Fredholm邊界積分方程組，再根據(jù)Sidi-Israeli求積法則，提出了一套計算

2、該奇異邊界積分方程組的機(jī)械求積法，該方法具有O(h<'3>)的高階精度、非常低的計算復(fù)雜度，且誤差具有漸近展開。利用聚緊和漸近緊收斂理論并結(jié)合Euler-Maclaurin展式，證明了近似解的收斂性與穩(wěn)定性，并證明了誤差具有O(h<'3>)冪以上的漸近展開。進(jìn)一步利用Richardson-h<'3>外推，外推近似解精度高達(dá)O(h<'3>)。此外，我們還得到了近似解的后驗誤差估計，利用后驗誤差估計，可構(gòu)造機(jī)械求積法的自適應(yīng)算法。數(shù)值例子顯

3、示我們的計算結(jié)果與使用外推和不使用外推得到的理論收斂階完全一致，計算所花CPU時間比中點常元配置法少得多，后驗誤差估計也非常準(zhǔn)確。 其次，研究了求解邊界和內(nèi)部界面為多角形的不連續(xù)介質(zhì)問題的邊界積分方程組的機(jī)械求積法及分裂外推。由于邊界積分方程組的解在角點具有奇異性，不宜直接離散．因此我們先對多角形的每條邊及內(nèi)部界面使用sin<'m>正弦周期變換，借以消除解在角點的奇異性，然后使用Sidi—Israeli的求積法則及中矩形求積公式

4、以構(gòu)造解多角形上不連續(xù)介質(zhì)問題的邊界積分方程組的機(jī)械求積法。從理論上證明了近似解的存在性與收斂性，并證明了其誤差擁有多參數(shù)的h<,ij><'3>(i=1，2，j=1，2，d<,i>)冪以上漸近展開，由此構(gòu)造了相應(yīng)的分裂外推算法。外推精度可達(dá)O(h<'4>)。由于分裂外推算法可并行計算，計算時可節(jié)約大量運(yùn)算時間． 第三，討論了多角形域上不連續(xù)介質(zhì)問題的一種修正的中點常元配置法。邊界積分方程組離散之前，先對每條邊做周期變換，然后取剖

5、分子區(qū)間的中點為配置點，得到一種新的中點常元配置法。實際計算表明，該修正的中點常元配置法收斂階達(dá)到了針對光滑邊界的標(biāo)準(zhǔn)中點常元配置法收斂階：即對第二類邊界積分方程，收斂階為O(h<'2>)，對第一類邊界積分方程，收斂階為O(h<'3>)。由于配置法在工程界被廣泛使用，因此研究不連續(xù)介質(zhì)問題的高精度配置法具有重要的理論與應(yīng)用價值。 第四，我們研究了不連續(xù)介質(zhì)問題的基于直接邊界積分方程的機(jī)械求積法，對不同介質(zhì)區(qū)域間無包含關(guān)系情形(見

6、第五章圖5.1右)，數(shù)值計算顯示前面提出的基于單層位勢的機(jī)械求積法計算效果不佳?；趨^(qū)域分解的直接邊界積分方程的機(jī)械求積法，對各種區(qū)域具有更好的適應(yīng)性，且近似解精度也達(dá)到O(h<'3>)，但由于在內(nèi)部界面上同時需要計算u(x)和au(x)/an的兩個未知量，而基于單層位勢的邊界積分方程組只需計算一個未知量z<,2>(σ)，因此其計算量比基于單層位勢的邊界元要大許多。但由于直接邊界積分方程在邊界上的未知量具有物理意義，因此該方法更易于被工

7、程界接受。 第五，研究了曲邊多角形區(qū)域Laplace問題第一類邊界積分方程的修正中點常元配置法。如果對該問題直接使用中點常元配置法，近似解內(nèi)點精度為O(h<'β+3/2>,其中β=(1-α)/α，απ是最大內(nèi)角．因而凹角區(qū)域內(nèi)點精度低于O(h<'2>)。為提高精度，本文在離散之前，對每條邊作sin<'m>周期變換，然后取每個離散子區(qū)間中點作為邊界積分方程組的配置點，得到一種新的修正中點常元配置法．該配置法不僅適用于內(nèi)問題，也適用

8、于外問題．?dāng)?shù)值例子顯示近似解收斂精度對凸區(qū)域和凹區(qū)域都可達(dá)到O(h<'3>)。 最后，本文應(yīng)用偏微分方程的區(qū)域分解算法理論研究了底水打開不完善氣井二項式產(chǎn)能公式。底水打開不完善氣井的滲流是由井附近區(qū)域遵循二項式徑向流規(guī)律的非達(dá)西流動及此區(qū)域外遵循由底水驅(qū)動向不完善井三維達(dá)西流動兩部分組成。由于底水氣藏的產(chǎn)氣主要由底水驅(qū)動而得，側(cè)邊邊界影響可忽略，故本文假定氣藏由上邊界封閉和下邊界定壓的無限大區(qū)域所導(dǎo)出的產(chǎn)能公式便具有普遍意義。本