退化橢圓（拋物）方程組與超拋物方程內(nèi)部正則性.pdf

1、橢圓方程組和拋物方程組在科學(xué)和工程領(lǐng)域內(nèi)具有重要的理論和實(shí)際意義.隨著偏微分方程理論的發(fā)展，由H(o)rmander向量場構(gòu)成的方程組受到許多學(xué)者的廣泛關(guān)注.己有許多學(xué)者在歐氏空間中研究了對角型橢圓和拋物方程組弱解的正則性，但對非對角型橢圓和拋物方程組的研究較少，目前還未見到由H(o)rmander向量場構(gòu)成的非對角型退化橢圓和拋物方程組的研究.本文研究了由光滑H(o)rmander向量場構(gòu)成的低階項(xiàng)滿足一類增長性條件的非對角型擬線性退

2、化橢圓方程組和拋物方程組弱解的正則性；還研究了一類非齊次超拋物方程弱解的正則性.全文由以下三部分組成.
　　第一部分研究了由光滑H(o)rmander向量場構(gòu)成的非對角型擬線性退化橢圓方程組弱解的正則性.針對非對角型退化橢圓方程組，本文利用系數(shù)的分解形式，將方程組分解為對角型齊次方程組與對角型非齊次方程組，分別研究其弱解梯度的LP（p≥2)正則性，并由這兩類方程組弱解梯度的LP正則性結(jié)合齊型空間上的反向H(o)lder不等式得到非

3、對角型退化橢圓方程組弱解梯度的正則性.然后利用此結(jié)論分別討論齊次與非齊次方程組弱解的正則性，進(jìn)而將非齊次退化橢圓方程組弱解梯度的可積性進(jìn)行提升，得到了低階項(xiàng)滿足一類增長性條件的非對角型退化橢圓方程組弱解梯度的高階 Morrey(LP，λ)正則性，最后研究了方程組弱解的Campanato正則性，并由Morrey引理證明了弱解的具確切H(o)lder指數(shù)的H?lder正則性.當(dāng)?shù)碗A項(xiàng)滿足另一類增長性條件時(shí)，還研究了弱解梯度的高階Campan

4、ato正則性.
　　第二部分考慮了由光滑H(o)rmander向量場構(gòu)成的低階項(xiàng)滿足自然增長條件的非對角型擬線性拋物方程組弱解的正則性.由于拋物方程組缺乏相應(yīng)的Poincaré不等式和Sobolev不等式，因此這部分首先通過選取合適的截?cái)嗪瘮?shù)對拋物方程組的弱解建立了拋物型Poincaré不等式，并引入弱解在度量球上的平均，得到了拋物型Sobolev不等式.利用先驗(yàn)估計(jì)建立了拋物方程組弱解的Caccioppoli不等式，再結(jié)合拋物型

5、Sobolev不等式和齊型空間上的反向H(o)lder不等式證明了弱解梯度的高階Lp正則性和Morrey正則性，利用拋物型Poincaré不等式導(dǎo)出弱解的Campanato正則性.在缺少拋物型Morrey引理時(shí)，證明了 Campanato空間與H(o)1der空間的同構(gòu)關(guān)系，由此得到了拋物方程組弱解的H(o)lder正則性.
　　第三部分研究了一類非齊次超拋物方程弱解的正則性.已有學(xué)者利用奇異積分法研究了該類方程，另有一些學(xué)者利用

6、先驗(yàn)估計(jì)法研究了齊次超拋物方程本文利用先驗(yàn)估計(jì)法，在該類方程弱解為L2可積時(shí)，利用齊型空間中的反向H(o)lder不等式提升弱解的可積性，得到了弱解梯度的高階正則性，即Lp估計(jì)和Morrey估計(jì).在建立弱解梯度的高階正則性時(shí)，由于缺少所需的Sobolev不等式和Poincaré不等式，所以本文利用超拋物算子的凝固算子的基本解性質(zhì)得到弱解的Sobolev不等式，通過選取合適的截?cái)嗪瘮?shù)證明了弱解的Poincaré不等式.最后由弱解梯度的Mo