退化拋物方程的若干問題.pdf

1、本文討論了非線性退化拋物方程的幾個問題，全文分為三部分. 第一章討論下面非線性奇異拋物方程的初邊值問題重整化解的存在性及惟一性b(u)t-div(a(u，▽u)))=H(u)(f+divg)這里，f∈L1(Q)，g∈Lp′((Q))N，p′=p/p-1，a(u，▽u)對|▽u|滿足p-1次增長條件和單調(diào)性條件.此類問題來源于化學(xué)反應(yīng)擴(kuò)散問題.一般地，這類方程不存在弱解，原因是a(u，▽u)不屬于(L1loc)N且由于g∈(Lp′

2、(Q))N，H(u)(f+divg)的意義不明確.為了克服這些困難，我們在本章利用重整化解的理論討論比通常弱解更弱的解的存在性，即重整化解的存在性.重整化解的概念是Lions和Di Perna在研究Boltzmann方程中提出的，后來被應(yīng)用到一類非線性拋物方程.本章的貢獻(xiàn)在于利用重整化解的理論和技巧克服了由H(u)(f+divg)項帶來的困難，證明了其重整化解的存在與惟一性. 第二章是研究p-Laplace方程ut=div(|▽

3、u|p-2▽u)和帶有的吸收項的p-Laplace方程ut=div(|▽u|p-2▽u)-uq Cauchy問題和Dirichlet問題弱解up(x,t)當(dāng)p→∞時的漸近極限性質(zhì).對于Cauchy問題，Evans[21]對初值u0(x)具有緊支集情形討論了弱解的漸近極限，明確給出弱解up(x,t)當(dāng)p→∞時的漸近極限；當(dāng)初值u0(x)不具有緊支集時，易青和趙俊寧教授[34]證明了存在{up)的子列{up2)和函數(shù)u∞∈C(RN)，使得對

4、任意緊集G(U)QT有l(wèi)imj→∞upj(x，t)=u∞(x)在G上一致成立.在本章，我們改進(jìn)了上述結(jié)果，對Cauchy問題和Dirichelet問題證明了解序列{up}極限的唯-性，從而給出解序列的整體漸進(jìn)性質(zhì)，即； limp→∞up(x，t)=u∞(x)在RN的任何緊集G上一致成立. 第三章首先對L1loc(RN)初值和強(qiáng)非線性熱源的p-Laplace方程ut=div(|▽u|p-2▽u)+|u|q-1u的Cauch

5、y問題討論解的局部存在性.證明了當(dāng)supx∈RN(∫Bp(x)|uo(y)|hdy)1/h<∞，其中當(dāng)qP-1+P/N時，h>N/P(q-p+1)，則所論問題存在局部解. 本章還對具有特殊擴(kuò)散系數(shù)的p-Laplace方程ut/|x|a- △pu=λup-1/|x|p(*)討論了解的整體存在性及解的性質(zhì).得到結(jié)果如下:設(shè)10，0