退化拋物方程的若干問(wèn)題.pdf

1、本文討論了非線性退化拋物方程的幾個(gè)問(wèn)題，全文分為三部分. 第一章討論下面非線性奇異拋物方程的初邊值問(wèn)題重整化解的存在性及惟一性b(u)t-div(a(u，▽u)))=H(u)(f+divg)這里，f∈L1(Q)，g∈Lp′((Q))N，p′=p/p-1，a(u，▽u)對(duì)|▽u|滿(mǎn)足p-1次增長(zhǎng)條件和單調(diào)性條件.此類(lèi)問(wèn)題來(lái)源于化學(xué)反應(yīng)擴(kuò)散問(wèn)題.一般地，這類(lèi)方程不存在弱解，原因是a(u，▽u)不屬于(L1loc)N且由于g∈(Lp′

2、(Q))N，H(u)(f+divg)的意義不明確.為了克服這些困難，我們?cè)诒菊吕弥卣獾睦碚撚懻摫韧ǔＨ踅飧醯慕獾拇嬖谛?，即重整化解的存在?重整化解的概念是Lions和Di Perna在研究Boltzmann方程中提出的，后來(lái)被應(yīng)用到一類(lèi)非線性拋物方程.本章的貢獻(xiàn)在于利用重整化解的理論和技巧克服了由H(u)(f+divg)項(xiàng)帶來(lái)的困難，證明了其重整化解的存在與惟一性. 第二章是研究p-Laplace方程ut=div(|▽

3、u|p-2▽u)和帶有的吸收項(xiàng)的p-Laplace方程ut=div(|▽u|p-2▽u)-uq Cauchy問(wèn)題和Dirichlet問(wèn)題弱解up(x,t)當(dāng)p→∞時(shí)的漸近極限性質(zhì).對(duì)于Cauchy問(wèn)題，Evans[21]對(duì)初值u0(x)具有緊支集情形討論了弱解的漸近極限，明確給出弱解up(x,t)當(dāng)p→∞時(shí)的漸近極限；當(dāng)初值u0(x)不具有緊支集時(shí)，易青和趙俊寧教授[34]證明了存在{up)的子列{up2)和函數(shù)u∞∈C(RN)，使得對(duì)

4、任意緊集G(U)QT有l(wèi)imj→∞upj(x，t)=u∞(x)在G上一致成立.在本章，我們改進(jìn)了上述結(jié)果，對(duì)Cauchy問(wèn)題和Dirichelet問(wèn)題證明了解序列{up}極限的唯-性，從而給出解序列的整體漸進(jìn)性質(zhì)，即； limp→∞up(x，t)=u∞(x)在RN的任何緊集G上一致成立. 第三章首先對(duì)L1loc(RN)初值和強(qiáng)非線性熱源的p-Laplace方程ut=div(|▽u|p-2▽u)+|u|q-1u的Cauch

5、y問(wèn)題討論解的局部存在性.證明了當(dāng)supx∈RN(∫Bp(x)|uo(y)|hdy)1/h<∞，其中當(dāng)qP-1+P/N時(shí)，h>N/P(q-p+1)，則所論問(wèn)題存在局部解. 本章還對(duì)具有特殊擴(kuò)散系數(shù)的p-Laplace方程ut/|x|a- △pu=λup-1/|x|p(*)討論了解的整體存在性及解的性質(zhì).得到結(jié)果如下:設(shè)10，0