半線性橢圓方程雙共振問題解的存在性和多重性.pdf

1、考慮以下半線性橢圓方程解的存在性和多重性問題{-△u=λku+g（x，u）+h(x)x∈Ω，u=0x∈(a)Ω，(P)其中Ω(c)RN是具有光滑邊界的有界區(qū)域，0＜λ1＜λ2＜λ3＜…＜λj＜…是-△在H10(Ω)中不同的特征值，h∈L2(Ω)并且g∈C1(Ω×R，R)滿足次臨界增長條件|g(x,t)|≤C(1+|t|p-1)(1)對x∈Ω幾乎處處成立.其中，1＜p＜2*，2*={2N/N-2,N≥3,∞，N=1，2.
　　 當(dāng)

2、條件0≤liminf｜t｜→∞g(x,t)/t≤limsup｜t｜→∞g(x,t)/t≤λk+1-λk，對x∈Ω幾乎處處一致成立，問題(P)被稱為雙共振問題.本文主要研究雙共振問題.首先研究首特征值問題，當(dāng)k=1時，有以下定理成立.
　　 定理2.1.假設(shè)(1)，k=1成立.當(dāng)|t|→-∞時，有G（x，t)→-∞對x∈Ω幾乎處處一致成立.且存在δ＞0，當(dāng)0＜｜t｜＜δ時，有1/2(λm-λ1)t2≤G（x，t)≤1/2（λm+1

3、-λ1）t2成立，其中m≠1，則問題(P）有三個不同的解.
　　 此處及下文中a(x)≤b(x)表示在正測集上嚴(yán)格不等.
　　 然后考慮對任意x∈Ω有h(x)=0時，問題(P)解的存在性與多重性有以下定理成立.
　　 定理3.1.假設(shè)(1)，h=0成立，且g滿足0≤liminf|t|→∞g(x,t)/t≤limsup|t|→∞g(x,t)/t≤λk+1-λk.(2)存在函數(shù)α∈L1(Ω)使得2G(x，t)-g(x

4、，t)t≥α(x)(3)對t∈R，x∈Ω幾乎處處成立.存在Ω的正測度子集Ω1，使得當(dāng)|t|→∞時2G(x,t)-g(x,t)t→+∞(4)對x∈Ω1幾乎處處成立.則問題(P)至少有一個解.
　　 定理3.2.假設(shè)(1)，(2)，(3)，(4)，h=0成立.且滿足g'(x，0)≤λ1-λk.則問題(P）至少有三個非平凡解其中一正一負(fù).
　　 定理3.3.假設(shè)(1)，(2)，(3)，(4)，k≥2，h=0，g'(x，0)=λ