Julia集的拓撲和幾何性質研究.pdf

1、全純函數的Julia集的拓撲和幾何性質的研究是復動力系統(tǒng)中的一個重要問題.這其中主要包括Julia集（或者其子集）的連通性，局部連通性以及正則性等內容.對于多項式的Julia集的拓撲性質，很多作者做了重要工作.首先是二次多項式fc(z)=z2+c，其中c屬于Mandelbrot集，Yoccoz證明了如果fc不是無窮可重整的，則fc的Julia集J(fc)是局部連通的[38].Lyubich證明了當c取實數時，J(fc)局部連通[46].

2、當參數c使得fc具有一個Siegel盤時，Petersen證明了如果fc在Siegel盤上的旋轉數為有界型，則J(fc)也是局部連通的[57].如果旋轉數為David類型，Petersen和Zakeri證明了Siegel盤的邊界是Jordan曲線且對應的Julia集是局部連通的[58].此外,Avila，Buff和Chéritat證明了存在邊界光滑的Siegel盤的例子[4].
　　對于三次多項式，Branner和Hubbard證

3、明了除可數多個連通分支外，其Julia集的連通分支都是單點[11].最近，文獻[63]將這一結論推廣到任意的多項式.而對有理函數來說，如果它是幾何有限的，那么除可數多個連通分支以外，其Julia集的連通分支要么是單點，要么是一條Jordan曲線[59].
　　第一個使得Julia集不連通并且其所有連通分支都是Jordan曲線的有理函數的例子是McMullen找到的[49].他證明了如果f(z)=z2+λ/z3中的λ足夠小，則f的J

4、ulia集同胚于標準的三分Cantor集與單位圓周的乘積.這種類型的Julia集現(xiàn)在一般稱為Cantor圓周.之后，更多的作者考慮更一般的函數族fλ(z)=zm+λ/zl，其中l(wèi)，m≥2且λ∈C\{0}，現(xiàn)在都稱之為McMullen映射.容易說明當1/l+1/m＜1且λ很小時，fλ的Julia集是一個Cantor圓周([49，§7]，[24，§3]).
　　這篇論文的第一部分主要研究Julia集為Cantor圓周的有理函數.目前僅

5、知道存在適當的參數使得McMullen映射（或在其Fatou集上作擾動后的有理函數）的Julia集是Cantor圓周.這促使我們去思考是否存在其它的有理函數使得其Julia集為Cantor圓周.雖然Ha(i)ssinsky和Pilgrim通過擬共形手術構造出了一類“本質上”與McMullen映射不同且Julia集為Cantor圓周的有理函數，但他們并沒有給出這些有理函數的表達式[35].因而一個自然的問題就是能否給出這些有理函數的表達式

6、.
　　事實上，在這篇論文中，我們不但給出了這些類型的有理函數的具體表達式，而且還在“本質上”找到了所有Julia集為Cantor圓周的有理函數.這里所謂的“本質上”是指在考慮Julia上的拓撲共軛類的意義下.具體地說，我們找到了一族有理函數的表達式(McMullen映射是這族函數的特殊情形)，使得取適當的參數后，它們的Julia集都是Cantor圓周.而另一方面，對于任意給定的Julia集為Cantor圓周的有理函數，我們總可以

7、在找到的這族有理函數中找到一個函數與事先給定的函數使得它們在對應的Julia集上是拓撲共軛的（定理3.1.1和3.1.2）.
　　在此工作的基礎之上，我們對Julia集為Cantor圓周的有理函數在Julia集上的拓撲共軛類的數目給出了計算公式和上下界估計，并對5≤d≤36的情形列出了具體數值表格，其中d為有理函數的映射度.
　　雙曲有理函數具有簡單的動力系統(tǒng)性質，我們找到了一系列非雙曲的有理函數使得它們的Julia集是Ca

8、ntor圓周.據我們所知，這是第一個Julia集為Cantor圓周的非雙曲有理函數的例子.其主要構造思想是將原來的雙曲有理函數的吸引域用單連通的拋物域代替.
　　論文的第二部分主要研究McMullen映射的Julia集的幾何性質.根據逃逸三分定理，如果McMullen映射的自由臨界點都被無窮遠所吸引，那么它的Julia集只可能是一個Cantor集，一個Cantor圓周或者是一個Sierpi(n)ski地毯[24].我們證明在這種情

9、況下，McMullen映射的Julia集要么擬對稱等價于一個標準的三分Cantor集，一個標準的Cantor圓周或者是一個圓的Sierpi(n)ski地毯（在某種意義下也是標準的）.
　　對于McMullen映射fλ中的參數λ屬于實數的情形，文獻[62，76]中給出了fλ的Julia集Jλ是一個Sierpiúski地毯的充要條件.在此基礎上，作者在本文中給出了Jλ擬對稱等價于圓的Sierpi(n)ski地毯的充要條件.特別地，存在

10、非雙曲的有理函數，使得其Julia集擬對稱等價于圓的Sierpi(n)ski地毯.此外，對于參數λ屬于復數的情形，我們給出了Jλ擬對稱等價于圓的Sierpi(n)ski地毯的一個充分條件(此時要求fλ的表達式中的兩個整數滿足l=m≥3).
　　從拓撲的角度來看，所有的Cantor圓周都是一樣的，這是因為它們都拓撲等價（同胚)于“標準的”Cantor圓周C×S1，其中C為三分Cantor集且S1為單位圓周.因此，為得到所有Canto

11、r圓周構成的集合的更豐富的結構，我們可以用擬對稱幾何的角度來看.事實上，擬對稱幾何里面的一個基本問題就是判斷兩個給定的同胚的度量空間是否是彼此擬對稱等價的.一個度量空間的共形維數定義為所有與之擬對稱等價的度量空間的Hausdorff維數的下確界.根據對論文的第一部分找出的Julia集為Cantor圓周的有理函數族作組合分析，我們說明在這族函數中存在一些例子，使得它們的Julia集與McMullen的Julia集是同胚但不是擬對稱等價的.

12、特別地，這些例子也可以用來具體地驗證存在Julia集為Cantor圓周的雙曲有理函數使得其共形維數任意接近于2.
　　論文的第三部分研究一族整函數的Siegel盤邊界的正則性.全純函數的Siegel盤的邊界（是Julia集的一個子集）的拓撲和幾何性質是一個非常重要的問題.對旋轉數加上一定的算術的條件后，Douady猜想Siegel盤的邊界一定是Jordan曲線.在這個問題上，Douady，Zakeri，Shishikura和Zha

13、ng對于有理函數的情形作出了重要貢獻(見[26，77，66，80]).但對于超越整函數的情形這個問題遠沒有解決（見[32，41，78，79]）.作者考慮了一維整函數族fα(z)=e2πiθ sin(z)+αsin3(z).α∈C\{0}，并證明了當θ為有界型時，函數fα的以原點為心的Siegel盤的邊界總是一個擬圓周且經過2個，4個，或6個臨界點.
　　論文的第四部分考慮了臨界tableau的實現(xiàn)問題.臨界標記tableau是Br

14、anner和Hubbard在研究三次多項式時引入的[11].這是一個非常有用的工具，它在研究Julia集的拓撲性質中起著十分重要的作用.Branner和Hubbard證明:如果一個抽象的臨界標記tableau滿足一些法則，那么這個tableau一定可以由一個三次多項式實現(xiàn).我們用由多項式誘導的商樹上的動力系統(tǒng)和樹動力系統(tǒng)的實現(xiàn)定理（見[30，18]）給出Branner和Hubbard的tableau實現(xiàn)定理的一個新的證明.
　　此