Julia集的拓?fù)浜蛶缀涡再|(zhì)研究.pdf

1、全純函數(shù)的Julia集的拓?fù)浜蛶缀涡再|(zhì)的研究是復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)中的一個(gè)重要問(wèn)題.這其中主要包括Julia集（或者其子集）的連通性，局部連通性以及正則性等內(nèi)容.對(duì)于多項(xiàng)式的Julia集的拓?fù)湫再|(zhì)，很多作者做了重要工作.首先是二次多項(xiàng)式fc(z)=z2+c，其中c屬于Mandelbrot集，Yoccoz證明了如果fc不是無(wú)窮可重整的，則fc的Julia集J(fc)是局部連通的[38].Lyubich證明了當(dāng)c取實(shí)數(shù)時(shí)，J(fc)局部連通[46].

2、當(dāng)參數(shù)c使得fc具有一個(gè)Siegel盤(pán)時(shí)，Petersen證明了如果fc在Siegel盤(pán)上的旋轉(zhuǎn)數(shù)為有界型，則J(fc)也是局部連通的[57].如果旋轉(zhuǎn)數(shù)為David類(lèi)型，Petersen和Zakeri證明了Siegel盤(pán)的邊界是Jordan曲線且對(duì)應(yīng)的Julia集是局部連通的[58].此外,Avila，Buff和Chéritat證明了存在邊界光滑的Siegel盤(pán)的例子[4].
　　對(duì)于三次多項(xiàng)式，Branner和Hubbard證

3、明了除可數(shù)多個(gè)連通分支外，其Julia集的連通分支都是單點(diǎn)[11].最近，文獻(xiàn)[63]將這一結(jié)論推廣到任意的多項(xiàng)式.而對(duì)有理函數(shù)來(lái)說(shuō)，如果它是幾何有限的，那么除可數(shù)多個(gè)連通分支以外，其Julia集的連通分支要么是單點(diǎn)，要么是一條Jordan曲線[59].
　　第一個(gè)使得Julia集不連通并且其所有連通分支都是Jordan曲線的有理函數(shù)的例子是McMullen找到的[49].他證明了如果f(z)=z2+λ/z3中的λ足夠小，則f的J

4、ulia集同胚于標(biāo)準(zhǔn)的三分Cantor集與單位圓周的乘積.這種類(lèi)型的Julia集現(xiàn)在一般稱為Cantor圓周.之后，更多的作者考慮更一般的函數(shù)族fλ(z)=zm+λ/zl，其中l(wèi)，m≥2且λ∈C\{0}，現(xiàn)在都稱之為McMullen映射.容易說(shuō)明當(dāng)1/l+1/m＜1且λ很小時(shí)，fλ的Julia集是一個(gè)Cantor圓周([49，§7]，[24，§3]).
　　這篇論文的第一部分主要研究Julia集為Cantor圓周的有理函數(shù).目前僅

5、知道存在適當(dāng)?shù)膮?shù)使得McMullen映射（或在其Fatou集上作擾動(dòng)后的有理函數(shù)）的Julia集是Cantor圓周.這促使我們?nèi)ニ伎际欠翊嬖谄渌挠欣砗瘮?shù)使得其Julia集為Cantor圓周.雖然Ha(i)ssinsky和Pilgrim通過(guò)擬共形手術(shù)構(gòu)造出了一類(lèi)“本質(zhì)上”與McMullen映射不同且Julia集為Cantor圓周的有理函數(shù)，但他們并沒(méi)有給出這些有理函數(shù)的表達(dá)式[35].因而一個(gè)自然的問(wèn)題就是能否給出這些有理函數(shù)的表達(dá)式

6、.
　　事實(shí)上，在這篇論文中，我們不但給出了這些類(lèi)型的有理函數(shù)的具體表達(dá)式，而且還在“本質(zhì)上”找到了所有Julia集為Cantor圓周的有理函數(shù).這里所謂的“本質(zhì)上”是指在考慮Julia上的拓?fù)涔曹楊?lèi)的意義下.具體地說(shuō)，我們找到了一族有理函數(shù)的表達(dá)式(McMullen映射是這族函數(shù)的特殊情形)，使得取適當(dāng)?shù)膮?shù)后，它們的Julia集都是Cantor圓周.而另一方面，對(duì)于任意給定的Julia集為Cantor圓周的有理函數(shù)，我們總可以

7、在找到的這族有理函數(shù)中找到一個(gè)函數(shù)與事先給定的函數(shù)使得它們?cè)趯?duì)應(yīng)的Julia集上是拓?fù)涔曹椀模ǘɡ?.1.1和3.1.2）.
　　在此工作的基礎(chǔ)之上，我們對(duì)Julia集為Cantor圓周的有理函數(shù)在Julia集上的拓?fù)涔曹楊?lèi)的數(shù)目給出了計(jì)算公式和上下界估計(jì)，并對(duì)5≤d≤36的情形列出了具體數(shù)值表格，其中d為有理函數(shù)的映射度.
　　雙曲有理函數(shù)具有簡(jiǎn)單的動(dòng)力系統(tǒng)性質(zhì)，我們找到了一系列非雙曲的有理函數(shù)使得它們的Julia集是Ca

8、ntor圓周.據(jù)我們所知，這是第一個(gè)Julia集為Cantor圓周的非雙曲有理函數(shù)的例子.其主要構(gòu)造思想是將原來(lái)的雙曲有理函數(shù)的吸引域用單連通的拋物域代替.
　　論文的第二部分主要研究McMullen映射的Julia集的幾何性質(zhì).根據(jù)逃逸三分定理，如果McMullen映射的自由臨界點(diǎn)都被無(wú)窮遠(yuǎn)所吸引，那么它的Julia集只可能是一個(gè)Cantor集，一個(gè)Cantor圓周或者是一個(gè)Sierpi(n)ski地毯[24].我們證明在這種情

9、況下，McMullen映射的Julia集要么擬對(duì)稱等價(jià)于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的三分Cantor集，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Cantor圓周或者是一個(gè)圓的Sierpi(n)ski地毯（在某種意義下也是標(biāo)準(zhǔn)的）.
　　對(duì)于McMullen映射fλ中的參數(shù)λ屬于實(shí)數(shù)的情形，文獻(xiàn)[62，76]中給出了fλ的Julia集Jλ是一個(gè)Sierpiúski地毯的充要條件.在此基礎(chǔ)上，作者在本文中給出了Jλ擬對(duì)稱等價(jià)于圓的Sierpi(n)ski地毯的充要條件.特別地，存在

10、非雙曲的有理函數(shù)，使得其Julia集擬對(duì)稱等價(jià)于圓的Sierpi(n)ski地毯.此外，對(duì)于參數(shù)λ屬于復(fù)數(shù)的情形，我們給出了Jλ擬對(duì)稱等價(jià)于圓的Sierpi(n)ski地毯的一個(gè)充分條件(此時(shí)要求fλ的表達(dá)式中的兩個(gè)整數(shù)滿足l=m≥3).
　　從拓?fù)涞慕嵌葋?lái)看，所有的Cantor圓周都是一樣的，這是因?yàn)樗鼈兌纪負(fù)涞葍r(jià)（同胚)于“標(biāo)準(zhǔn)的”Cantor圓周C×S1，其中C為三分Cantor集且S1為單位圓周.因此，為得到所有Canto

11、r圓周構(gòu)成的集合的更豐富的結(jié)構(gòu)，我們可以用擬對(duì)稱幾何的角度來(lái)看.事實(shí)上，擬對(duì)稱幾何里面的一個(gè)基本問(wèn)題就是判斷兩個(gè)給定的同胚的度量空間是否是彼此擬對(duì)稱等價(jià)的.一個(gè)度量空間的共形維數(shù)定義為所有與之?dāng)M對(duì)稱等價(jià)的度量空間的Hausdorff維數(shù)的下確界.根據(jù)對(duì)論文的第一部分找出的Julia集為Cantor圓周的有理函數(shù)族作組合分析，我們說(shuō)明在這族函數(shù)中存在一些例子，使得它們的Julia集與McMullen的Julia集是同胚但不是擬對(duì)稱等價(jià)的.

12、特別地，這些例子也可以用來(lái)具體地驗(yàn)證存在Julia集為Cantor圓周的雙曲有理函數(shù)使得其共形維數(shù)任意接近于2.
　　論文的第三部分研究一族整函數(shù)的Siegel盤(pán)邊界的正則性.全純函數(shù)的Siegel盤(pán)的邊界（是Julia集的一個(gè)子集）的拓?fù)浜蛶缀涡再|(zhì)是一個(gè)非常重要的問(wèn)題.對(duì)旋轉(zhuǎn)數(shù)加上一定的算術(shù)的條件后，Douady猜想Siegel盤(pán)的邊界一定是Jordan曲線.在這個(gè)問(wèn)題上，Douady，Zakeri，Shishikura和Zha

13、ng對(duì)于有理函數(shù)的情形作出了重要貢獻(xiàn)(見(jiàn)[26，77，66，80]).但對(duì)于超越整函數(shù)的情形這個(gè)問(wèn)題遠(yuǎn)沒(méi)有解決（見(jiàn)[32，41，78，79]）.作者考慮了一維整函數(shù)族fα(z)=e2πiθ sin(z)+αsin3(z).α∈C\{0}，并證明了當(dāng)θ為有界型時(shí)，函數(shù)fα的以原點(diǎn)為心的Siegel盤(pán)的邊界總是一個(gè)擬圓周且經(jīng)過(guò)2個(gè)，4個(gè)，或6個(gè)臨界點(diǎn).
　　論文的第四部分考慮了臨界tableau的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題.臨界標(biāo)記tableau是Br

14、anner和Hubbard在研究三次多項(xiàng)式時(shí)引入的[11].這是一個(gè)非常有用的工具，它在研究Julia集的拓?fù)湫再|(zhì)中起著十分重要的作用.Branner和Hubbard證明:如果一個(gè)抽象的臨界標(biāo)記tableau滿足一些法則，那么這個(gè)tableau一定可以由一個(gè)三次多項(xiàng)式實(shí)現(xiàn).我們用由多項(xiàng)式誘導(dǎo)的商樹(shù)上的動(dòng)力系統(tǒng)和樹(shù)動(dòng)力系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)定理（見(jiàn)[30，18]）給出Branner和Hubbard的tableau實(shí)現(xiàn)定理的一個(gè)新的證明.
　　此