點集拓撲的學習

1、1點集拓撲學教學之我見摘要：要：點集拓撲學是一門抽象的學科，學生學起來比較困難，因此教師在講授的過程中應該多聯(lián)系大學中的一些基礎課程，多舉一些簡單易懂且具有代表性的例子，使得學生深刻理解有關概念和理論。關鍵詞：關鍵詞：點集拓撲學；教學；線性空間；數學分析拓撲學是研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質。拓撲學的概念、理論和方法已經廣泛地滲透到現代數學、自然科學以及社會科學的許多領域，并且有了日益重要的應用，因此學習拓撲學的基本知識，不僅是

2、為了學習現代數學提供必要的基礎知識，而且能從較高觀點去觀察、分析數學各科的內容，加深對這些內容的認識和理解。由于拓撲的一些基本概念對于初學者來說是比較抽象的，因此有必要結合線性空間及數學分析的一些原理進行區(qū)別與聯(lián)系，從而起到事半功倍的效果。一、區(qū)別線性結構與同構映射，講解拓撲結構與同胚映射。、區(qū)別線性結構與同構映射，講解拓撲結構與同胚映射。線性結構和拓撲結構是空間的兩大結構。在數學專業(yè)的教學和學習中，分清兩者的關系和區(qū)別對于初學者來說并

3、不是很容易的一件事情，因此在教學中，教師應根據學生的實際情況，講清兩者的關系，這樣可以使學生更深刻的理解拓撲空間及其連續(xù)映射的相關概念。在講解拓撲空間的概念時，我們指出拓撲空間是一個集合裝備上拓撲結構后的空間，拓撲空間中的元素就是集合中的元素，拓撲是一些滿足某些性質的開集族，但如果裝備不同的拓撲則有不同的拓撲空間。而線性空間是一個滿足加法和數量乘法封閉的集合。例如：我們經常用到的實數空間R它既可以看作一個線性空間，它的線性結構就是我們通

4、常定義的加法和數乘運算，也可以看作一個拓撲空間，它的拓撲就是實軸上的所有開集所構成的開集族，它滿足拓撲的三條性質，實質它是一個特殊的拓撲線性空間。又如我們定義集合A=123，定義拓撲=，1，2，3，它是我們平1T?3點。根據這些性質，我們又可以定義四類拓撲空間：緊空間、可數緊空間、序列緊空間、列緊空間。從中我們對這些空間就產生了濃厚的求知欲望和學習興趣。拓撲學是幾何學的一個分支，主要研究圖形在連續(xù)變換下不變的性質。可參看百科的“拓撲”或

5、“拓撲學”條目。我下面引述的例子不多作解釋，可以直接查到。例如，Euler的七橋問題就是一個拓撲學的問題，因為把七橋連成路徑，不論橋和路如何連續(xù)的變化，都不影響問題的結果，也就是說，這個問題研究的是一個連續(xù)變換下不變的性質。又如，四色定理（地圖可用四色著色）是一個拓撲學的問題，因為地圖中的區(qū)域大小和具體形狀在問題中并不重要，都可以連續(xù)的變化，不改變地圖可以用四色著色這一性質。所以，在拓撲學的觀點下，圓和三角形的性質沒有什么區(qū)別，輪胎和戒

6、指的性質沒有什么區(qū)別，因為它們都可以通過連續(xù)變換互相得到。另一方面，研究圖形面積的幾何就不是拓撲學，因為在連續(xù)變換下，面積可以變化。同樣的道理，圖形的大小、平行、對稱、垂直等等都不是拓撲學的研究領域?？梢钥吹剑負鋵W研究的性質對圖形的要求很低（一定程度變了形都沒關系），所以它的應用范圍也就十分廣泛，因而成為現代數學的基礎之一。以至于許多看起來跟幾何圖形沒多大關系的地方，也可以應用拓撲學的知識。如分析學中就大量使用點集拓撲學的術語和手段。

7、拓撲學因研究的領域和方法的不同，有一些分支。如一般拓撲學，又稱點集拓撲學，是研究一組抽象的“點”（可以是幾何上的，也可以不是）的拓撲性質的；代數拓撲學，利用代數學的手段研究拓撲性質，如同倫論和同調論；微分拓撲學，利用分析學的手段（主要是微分）研究拓撲性質；幾何拓撲學，研究幾何意義明顯的東西（成為流形），如扭結；等等。參考文獻參考文獻[1]熊金城，點集拓撲講義，第三版，高等教育出版社[2]C.T.C.Wall拓撲學的幾何導引，高等教育出版