多項式非線性橢圓型方程多解的同倫方法.pdf

1、在科學(xué)和工程中，很多問題的數(shù)學(xué)模型可以歸結(jié)為半線性橢圓型方程或方程組。本文的主要目的是研究計算具有多項式非線性的橢圓型方程邊值問題多個解的數(shù)值方法。我們吸納了特征函數(shù)展開離散化方法、多項式方程組的同倫方法、有限元牛頓法這幾種方法的優(yōu)點(diǎn)，將這幾種方法有序地組織起來安放于不同求解階段，設(shè)計了一套計算此類橢圓型方程邊值問題多解的系統(tǒng)方法。本研究主要內(nèi)容包括：
　?、艦榱饲髱Ф囗検椒蔷€性的橢圓型方程的多個解，我們對其采用特征函數(shù)展開離散化

2、，我們分析了其離散誤差，得到誤差的H1估計和L2估計?；陔x散誤差估計，我們設(shè)計了一個新的過濾策略以剔除離散化方程組的可能的偽解，該策略不依賴于解的性質(zhì)，同時還可以提高非偽解的精度。對于過濾后的解，我們再采用有限元牛頓法進(jìn)一步提高精度。
　　⑵對于特征函數(shù)展開離散化得到的多項式方程組，當(dāng)所用特征函數(shù)個數(shù)增加時，求全部解的標(biāo)準(zhǔn)同倫方法效率不高。為了快速求解某離散水平Nc上的多項式方程組，我們利用其結(jié)構(gòu)，對在Nc之前的逐次加細(xì)的水平上

3、的方程組構(gòu)造形變，設(shè)計了擴(kuò)張同倫算法，在前一水平上多項式方程組的全部解求得之后，后一水平上多項式方程組的全部解可以利用前一水平的全部解快速求得。我們分析了該同倫所確定路徑的光滑性和可達(dá)性。
　?、亲C明了陳傳淼和謝資清提出的一個猜想，此猜想斷言，關(guān)于三次非線性橢圓型方程-△u=u3，當(dāng)特征函數(shù)展開法中所采用的有限維子空間是相應(yīng)于一個N重特征值的特征子空間時，離散化問題至少存在3N-1個非零實解，我們將它精確化為恰好存在3N-1個非零

4、實解。我們研究了將此猜想的結(jié)論推廣到三維三次非線性情形和二維五次非線性情形，并得到了初步結(jié)果。另外，我們還得到與此相關(guān)的二維單位方塊和三維單位立方體上Laplace算子特征值的所有可能重數(shù)的結(jié)果。
　?、葘τ诙S單位方塊上多項式非線性橢圓型方程，我們證明了特征函數(shù)展開離散化問題的解集繼承了邊值問題解集的對稱性。根據(jù)解集的對稱性，利用已證明的陳-謝猜想和陳-謝猜想五次非線性情形的類似結(jié)果，我們分別構(gòu)造了對稱同倫以快速計算具有一般三次

5、非線性和一般五次非線性的橢圓型方程的離散化多項式方程組的全部解。由于對稱同倫法只需跟蹤代表解路徑，因而可以節(jié)省很多計算量。
　?、膳ｎD法是求解非線性代數(shù)方程組的經(jīng)典方法，然而這種方法對初始猜測的要求非常高，即只具有局部收斂性。阻尼牛頓法和牛頓同倫法是兩種改進(jìn)牛頓法的全局化方法。從決定這兩種算法所跟蹤路徑的微分方程的角度看，這兩種方法所要偱行的相軌線是一致的，然而從算法實際執(zhí)行的角度看，這兩種方法所產(chǎn)生的迭代序列卻是不同的。我們分析