平面系統(tǒng)退化奇點的單值性問題研究.pdf

1、在平面解析微分系統(tǒng)的定性理論研究中，如何確定系統(tǒng)的某個孤立奇點是否為焦點-中心類型，以及當確定孤立奇點是焦點-中心類型后，進一步確定何時是焦點，何時是中心是兩個尚未解決的經(jīng)典問題，其中常把焦點-中心型問題稱為單值性問題，這些與希爾伯特第十六問題的解決有密切的聯(lián)系。
　　 本文主要是圍繞著一類平面系統(tǒng)退化奇點的單值性問題進行了研究，這類系統(tǒng)是由兩個齊次多項式和組成的特殊系統(tǒng)類。在平面解析微分系統(tǒng)的奇點單值性研究中，當系統(tǒng)的線性部分

2、不全為零時，目前已經(jīng)有了比較完整的結果，而當系統(tǒng)的線性部分全為零時，到目前為止，結果還很少，有待深入研究。有人曾研究過強加了限制條件比較強的兩個齊次多項式和的特殊系統(tǒng)類，利用blow-up技術給出了系統(tǒng)奇點為焦點-中心型的一個充分必要條件，并且給出了該奇點返回映射的首項表達式。本文所做的工作主要在該系統(tǒng)類的基礎之上，利用blow-up技術和奇點的分類定理研究了更廣泛的系統(tǒng)類，解決了該類系統(tǒng)奇點的單值性問題，同樣也給出了一個充分必要條件來

3、判斷該類系統(tǒng)的奇點是否是單值性的。最后用一個實例表明我們所研究的系統(tǒng)類的確是從本質上進行了推廣。
　　 本文的結論雖然是從本質上推廣了這類系統(tǒng)的結果，但是本文所討論的平面系統(tǒng)還僅僅是相對比較簡單的一類解析系統(tǒng)，并且對于這類系統(tǒng)，我們尚未給出一般性的結論。本文對系統(tǒng)所加的限制條件雖有所放寬，利用本文的結果判斷奇點單值性的系統(tǒng)類也有所擴充，但是文中給出的結果還是有限的。對于不滿足本文中限制條件的退化系統(tǒng)來說，本文所給出的判斷其孤立奇