多項式系統(tǒng)的擬齊次分解與單值性問題.pdf

1、在平面微分系統(tǒng)定性理論研究中，重要課題之一是對系統(tǒng)的孤立奇點進行分類，并建立各類奇點的判別準則，其中一個經典的問題是判定何時它是單值的（即判定一個奇點是不是中心-焦點類型）。根據平面解析系統(tǒng)如果有軌線進入系統(tǒng)的孤立奇點，則它只能螺旋形地進入或沿固定方向進入的事實可知：平面解析微分系統(tǒng)的孤立奇點是焦點-中心類型當且僅當沒有軌線沿固定方向離開（進入）。當奇點是非強退化（即系統(tǒng)在奇點的線性化矩陣非零）時，單值性問題已基本上解決，而對強退化的情

2、形，即使是解析系統(tǒng)，截止到目前仍然是一個沒有得到完全解決的經典難題。
　　在大部分微分方程定性理論的經典專著中，通常都是把解析系統(tǒng)進行齊次分解，再根據特殊方向作出典型域來研究孤立強退化奇點鄰域內軌線的行為。但是這種方法計算十分麻煩，有時需要進行無窮次計算從而使得問題實際上是難以解決的。近年來，許多數學家開始著手于利用解析系統(tǒng)的牛頓圖的有界邊把它進行擬齊次分解來研究孤立強退化奇點鄰域內軌線的行為。
　　本文的第一個工作是基于固

3、定權向量（即牛頓圖的某條有界邊）的擬齊次多項式與擬齊次多項式系統(tǒng)在通常的加法與數乘意義下都構成線性空間這個事實，通過研究這樣的線性空間的維數與基底，給出解析系統(tǒng)的比較直觀且容易計算的擬齊次分解式，并用幾個具體的實例來實現這樣的分解式。
　　本文的另外一個工作是在這樣的擬齊次分解式基礎上，把微分方程定性理論中通過把解析系統(tǒng)進行齊次分解來定性分析孤立強退化奇點的經典問題而引進的示性方程、特征方向或特殊方向、特征軌線、典型域及其性質等推