期權(quán)與期貨的幾種定價新方法研究.pdf

1、證券定價是現(xiàn)代金融學(xué)的核心研究內(nèi)容，衍生產(chǎn)品定價作為證券定價的重要組成部分一直以來也備受學(xué)者們的關(guān)注。自1973年世界上第一個期權(quán)定價理論的問世，隨后便涌現(xiàn)了大量的研究衍生產(chǎn)品定價的理論或方法，而這些又不斷充實了資產(chǎn)定價理論，因此繼續(xù)深入研究衍生產(chǎn)品定價毋庸置疑是十分重要且必要的。本文借鑒前人的研究方法，并在他們的基礎(chǔ)上，創(chuàng)新性地提出了四種準(zhǔn)確定價期權(quán)或期貨的方法。這四種新方法分別是:前后兼顧地調(diào)整已知股息的節(jié)點重合的二叉樹期權(quán)定價新法

2、、方差約束下美式期權(quán)的正則最小二乘蒙特卡洛定價新法、基于GARCH模型的波動率指數(shù)VIX的預(yù)測新法以及GARCH模型下的VIX期貨定價新法。下面分別對這些新方法及其結(jié)論一一進(jìn)行闡述。
　　本文第3章提出了一種新的處理已知股息的二叉樹期權(quán)定價方法，即前后兼顧地調(diào)整已知股息的節(jié)點重合的二叉樹期權(quán)定價新法(簡稱BDA或節(jié)點重合的二叉樹期權(quán)定價新法）。
　　首先，BDA方法的核心思想為:借鑒Bos和Vandermark(2002)的

3、思想，首先將股息線性地拆分為兩部分，接著以股票初始價格減去第一部分股息為端點構(gòu)造一棵普通的二叉樹;然后在期權(quán)定價日與股息支付日（除息日）之間的二叉樹各個節(jié)點上加上第一部分股息相應(yīng)的累積值;同時在股息支付日與期權(quán)到期日之間的二叉樹各個節(jié)點上減去第二部分股息相應(yīng)的折現(xiàn)值，于是便得到了一棵新的二叉樹，即前后兼顧地調(diào)整已知股息的節(jié)點重合的二叉樹。最后，像普通二叉樹對期權(quán)定價那樣，使用從后向前的逆推方法計算便可得到期權(quán)的當(dāng)前價格。
　　其次

4、，對于歐式期權(quán)與美式看漲期權(quán)而言，本文從數(shù)學(xué)的角度嚴(yán)格地證明了本文提出的BDA方法在極限情況下收斂于Bos和Vandermark(2002)提出的Black-Scholes歐式期權(quán)定價公式（簡稱為BV-BS公式）以及NR-BT方法。由于支付股息的美式看跌期權(quán)相比美式看漲期權(quán)的執(zhí)行情況更為復(fù)雜，因此從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格地證明N步節(jié)點重合的二叉樹收斂于節(jié)點不重合的二叉樹非常困難。于是，本文以4步二叉樹代替N步二叉樹，啟發(fā)式地證明了對于美式平值看跌期

5、權(quán)，BDA方法是NR-BT方法的極好近似。此外，本文還給出了美式看漲期權(quán)的定價誤差(NR-BT方法與BDA方法定價結(jié)果之差)以及定價誤差邊界的猜想。因此，節(jié)點重合的二叉樹期權(quán)定價新法不僅解決了標(biāo)的資產(chǎn)支付股息的歐式期權(quán)的準(zhǔn)確定價問題，更重要的是它還解決了美式期權(quán)的定價難題。
　　接著，本文還通過深入的數(shù)值實驗證明了以上結(jié)論的正確性。對于歐式期權(quán)而言，節(jié)點重合的二叉樹定價新法的定價結(jié)果十分準(zhǔn)確;而對于美式期權(quán)而言，36個期權(quán)中有31

6、個的期權(quán)定價誤差絕對值不超過0.50％，而僅僅只有5個期權(quán)的定價誤差絕對值高于0.50％但不超過1.17％。
　　此外，本文還將Bos和Vandermark(2002)提出的BV-BS歐式期權(quán)定價公式進(jìn)行泰勒展開，得出了支付股息會增加（減少）經(jīng)典Black-Scholes公式計算得到的歐式看跌（看漲）期權(quán)價格的結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，本文還進(jìn)一步討論了BV-BS期權(quán)定價公式中隱含的一些有趣的內(nèi)容，這些都是Bos和Vandermark(2

7、002)原文中所沒有討論到的。
　　最后，本文提出的BDA方法還有許多其他方法所沒有的優(yōu)點。其一，本文提出的新方法思路非常簡單且易于理解，同時還易于應(yīng)用，因為它可以像普通二叉樹那樣簡單地進(jìn)行編程計算。其二，運算十分高效。更重要的是，本文的研究問題來源于Hull(2012)的經(jīng)典教材，因此本文提出的新方法還可用于教學(xué)實踐當(dāng)中，故有一定的借鑒意義。
　　美式期權(quán)的正則定價問題雖然得到了初步解決，但遺憾地是，以上提及的這幾種方法的

8、標(biāo)的資產(chǎn)均未包含隱含波動率信息，因而這些方法都沒有考慮到波動率微笑效應(yīng)對美式期權(quán)定價的影響，故這些方法的準(zhǔn)確性還有待進(jìn)一步提高。為了解決這個難題，本文創(chuàng)新性地通過使用方差約束，擴(kuò)展了Liu(2010)的CLM方法。這種新方法在本文中被稱為方差約束下美式期權(quán)的正則最小二乘蒙特卡洛定價新法（vCLM），這是本文提出的第二種新方法（第4章）。
　　實證研究顯示，對于16429個美式標(biāo)準(zhǔn)普爾100指數(shù)(S&P100 Index)看跌期權(quán)而

9、言，本文提出的新方法能夠非常準(zhǔn)確地對其進(jìn)行定價。同時，本文提出的方法比Liu(2010)的CLM方法、Alcock和Auerswald(2010)的方法以及基于GARCH模型過濾的歷史模擬方法——fGARCH模型的定價誤差都小。
　　最后，本文提出的vCLM方法是無模型的，因為本文并未對股票價格的運動過程做任何假設(shè)，故這是本文的一大亮點。此外，本文提出的方法可以用于其他更為復(fù)雜的路徑依賴的奇異期權(quán)的定價上。而且，本文的方法還可用于

10、擴(kuò)展Liu和Guo(2013)提出的正則隱含二叉樹定價方法，以進(jìn)一步提高定價準(zhǔn)確度。
　　接下來，本文第5章及第6章研究了能夠反映市場波動以及投資者情緒的指數(shù)——波動率指數(shù)VIX的預(yù)測及VIX期貨的定價問題。與期權(quán)定價一樣，本文同樣也提出了新的準(zhǔn)確預(yù)測VIX指數(shù)以及定價VIX期貨的兩種方法。
　　VIX指數(shù)（Volatility Index）最早是由芝加哥期權(quán)交易所于1993年推出的，現(xiàn)在主要用于度量標(biāo)普500指數(shù)(S&P5

11、00 Index)未來30天的波動率。作為預(yù)測波動率的離散模型，GARCH模型很顯然是用于研究VIX指數(shù)“定價”的一個比較自然的選擇。然而，目前似乎沒有學(xué)者利用GARCH模型對VIX指數(shù)的預(yù)測進(jìn)行探討過。因此本文借鑒Barone-Adesi等(2008)方法，提出了一種新的兩步預(yù)測樣本外VIX指數(shù)的GARCH方法，這是本文提出的第三種新方法（第5章）。
　　在對稱GARCH(1，1)、非對稱GJR GARCH(1，1)（Jagan

12、nathan等，1993）以及非對稱Heston-Nandi GARCH(1，1)模型的基礎(chǔ)上，本文創(chuàng)新性地推導(dǎo)出物理測度下VIX指數(shù)的計算公式。其中，GARCH模型的參數(shù)估計既可以從標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的收益中得到，也可以通過VIX指數(shù)的市場值校正得到。值得指出的是，本文提出的預(yù)測VIX指數(shù)的新公式既不依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的平均增長率也不依賴于無風(fēng)險利率，故這是本文的另一大亮點。
　　物理測度下的GARCH模型是從標(biāo)普500指數(shù)的350

13、0個歷史收益中估計得到的。本文計算得到的物理測度下的樣本外一天的VIX預(yù)測值（out-of-sample one-day VIX forecasting），平均而言低估了VIX的市場值。具體表現(xiàn)為，第一階段（1996年1月2日至2003年9月19日）低估了19.91～29.57％;第二階段（2003年9月22日至2012年1月31）低估了10.11～12.99％。樣本外的這種低估在本文中被稱為方差風(fēng)險溢價(variance riskpr

14、emium)。
　　使用VIX前一交易日的市場值，將物理測度的GARCH模型參數(shù)轉(zhuǎn)換為風(fēng)險中性測度下的參數(shù)，于是便得到了風(fēng)險中性的GARCH模型。風(fēng)險中性的GARCH模型明顯地減小了樣本外一天的VIX的預(yù)測誤差，其范圍在±0.30％以內(nèi)。重要的是，兩個階段內(nèi)的三種GARCH模型預(yù)測VIX的效果都十分相似，之間的差別小到可以忽略不計。
　　總之，本文提出的兩步GARCH模型預(yù)測VIX的新方法不僅可以估計方差風(fēng)險溢價，而且能夠準(zhǔn)

15、確地預(yù)測樣本外VIX指數(shù)。進(jìn)一步，本文提出的預(yù)測VIX的新方法計算是十分高效的。最后，預(yù)測VIX的方法原則上還可以擴(kuò)展到VIX期貨、VIX期權(quán)，甚至標(biāo)普500指數(shù)期權(quán)的定價上。于是，沿著這個思路本文對VIX期貨的定價進(jìn)行了進(jìn)一步探討。
　　于是，在第5章的基礎(chǔ)上，本文第6章又提出了新的定價VIX衍生產(chǎn)品——VIX期貨的公式。這是本文提出的第四種新方法。與預(yù)測VIX指數(shù)相一致，VIX期貨的定價也是基于GARCH(1，1)、GJR G

16、ARCH(1，1)以及Heston-Nandi GARCH(1，1)這三種模型的。本文選取的定價比較基準(zhǔn)是Zhu和Lian(2011)提出的基于連續(xù)時間Heston隨機(jī)波動率模型的閉式解析解。
　　實證研究表明，對于2004年3月31日至2005年3月31日以及2011年1月3日至2011年12月30日期間的2717個VIX期貨樣本數(shù)據(jù)而言，GJRGARCH(1，1)模型的平均絕對定價誤差相對最小，誤差范圍在9.95％～26.78

17、％之間。與之相比，Zhu和Lian(2011)方法的平均絕對定價誤差在8.48％～20.11％之間，定價誤差相比G JR模型要小一點。表面上看Zhu和Lian(2011)的方法似乎定價效果更好，然而用這種方法只能計算出85％的期貨合約價格。因此，GJR GARCH(1，1)模型可能是一個更為可靠以及經(jīng)得住檢驗的方法。除此以外，GJR GARCH(1，1)模型的計算十分高效，比Zhu和Lian(2011)的方法計算至少省4個數(shù)量級的時間。