若干多項(xiàng)式系統(tǒng)計(jì)算問題的符號(hào)數(shù)值混合算法研究.pdf

1、科學(xué)計(jì)算中的諸多問題都可以轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式系統(tǒng)求解問題。符號(hào)計(jì)算和數(shù)值計(jì)算是兩種不同的計(jì)算方法。與傳統(tǒng)的數(shù)值方法相比,利用符號(hào)方法得到的解是完備精確解,不存在計(jì)算誤差等問題。但符號(hào)方法由于中間系數(shù)膨脹的原因?qū)е铝舜鎯?chǔ)空間的增加,降低了計(jì)算的速度,因而不能滿足實(shí)際應(yīng)用的需求。數(shù)值方法采用插值、擬合、迭代法等求解問題的數(shù)值近似解,計(jì)算效率較高,被廣泛應(yīng)用于解決工程實(shí)際問題。但受病態(tài)問題與近似計(jì)算的約束,數(shù)值方法存在迭代不收斂等問題。同時(shí),計(jì)算結(jié)

2、果需要進(jìn)行可信性與正確性驗(yàn)證。本文針對(duì)上述問題,采用符號(hào)數(shù)值混合計(jì)算方法進(jìn)行深入研究,討論了若干機(jī)器證明和科學(xué)計(jì)算中的典型問題,設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)了一些解決這些問題的高效的、可信的算法,并進(jìn)一步探討了它們?cè)谝恍┕こ虇栴}中的應(yīng)用。
　　主要工作包括以下幾個(gè)方面:
　　1.針對(duì)一類代數(shù)系統(tǒng)重零點(diǎn)的計(jì)算問題,提出了一個(gè)顯式表示對(duì)偶空間元素的公式。在此基礎(chǔ)上,利用對(duì)偶空間對(duì)原代數(shù)系統(tǒng)做微分運(yùn)算構(gòu)造新系統(tǒng),得到一個(gè)在初始點(diǎn)雅克比矩陣滿秩的代數(shù)

3、系統(tǒng),從而恢復(fù)了牛頓迭代算法的二階收斂性。同時(shí),得到了重零點(diǎn)的重?cái)?shù)。最后應(yīng)用此算法解決了電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的病態(tài)問題。
　　2.半代數(shù)系統(tǒng)實(shí)根隔離方面,提出了基于連續(xù)同倫算法和區(qū)間牛頓算法的高效、可信的方法。該方法首先通過連續(xù)同倫算法和區(qū)間牛頓算法得到代數(shù)系統(tǒng)的實(shí)根區(qū)間。然后利用區(qū)間擴(kuò)展對(duì)半代數(shù)系統(tǒng)中的限制條件進(jìn)行驗(yàn)證。該方法克服了符號(hào)算法只能解決中小規(guī)模以及有理系統(tǒng)的缺點(diǎn)。此外,該算法具有明顯的可并行性。
　　3.研究了一個(gè)

4、含超越函數(shù)的半代數(shù)系統(tǒng)的實(shí)根計(jì)算問題。首先,通過超越函數(shù)在區(qū)間上的泰勒展開,將此系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式系統(tǒng)。然后采用連續(xù)同倫方法和區(qū)間算法得到此多項(xiàng)式系統(tǒng)在區(qū)間上的近似實(shí)數(shù)解。最后,將此實(shí)數(shù)解視為原系統(tǒng)的近似零點(diǎn),利用牛頓迭代算法,得到系統(tǒng)的實(shí)數(shù)解。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該方法的效率比二分法的效率更高。
　　4.針對(duì)具有不同維數(shù)的不可約分支的正維數(shù)系統(tǒng)的實(shí)根計(jì)算問題。利用隨機(jī)行滿秩矩陣構(gòu)造新系統(tǒng),使得原系統(tǒng)中維數(shù)不等于變量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)之差的不

5、可約分支滿足新系統(tǒng),且維數(shù)等于新系統(tǒng)的變量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)之差。以此為基礎(chǔ),構(gòu)造特殊的同倫方程以保證在此不可約分支上找到至少一個(gè)實(shí)數(shù)解。該方法克服了已有方法不能得到所有不可約分支上實(shí)數(shù)點(diǎn)的問題,且算法可以并行計(jì)算所有不同維數(shù)的分支。同時(shí),基于李雅普諾夫函數(shù)的性質(zhì),通過增加變量,將微分系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為正維數(shù)系統(tǒng)的實(shí)根計(jì)算問題。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該方法效率更高。
　　5.基于三種經(jīng)典結(jié)式矩陣之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,通過構(gòu)造中間矩陣