分數(shù)階控制系統(tǒng)時域分析與頻域整定問題研究.pdf

1、分數(shù)階微積分理論是整數(shù)階微積分理論在實數(shù)域甚至復數(shù)域內的推廣和擴展。分數(shù)階控制理論是以分數(shù)階微積分理論和分數(shù)階微分方程為基礎的一個新興研究方向。由于分數(shù)階算子固有的記憶效應，分數(shù)階微分方程考慮了所有歷史信息對當前狀態(tài)的影響，因此，相比于整數(shù)階微分方程，分數(shù)階微分方程能更完整地描述系統(tǒng)動態(tài)。自從上世紀90年代I.Podlubny、A.Oustaloup等人將分數(shù)階微積分理論引入到控制理論領域以來，分數(shù)階控制系統(tǒng)的研究得到了極大的發(fā)展。大量

2、的理論分析結果和工業(yè)應用結果表明，分數(shù)階微積分理論在控制理論中能得到比整數(shù)階微積分更好的結果，為控制理論研究方法提供了新思路和強大的數(shù)學工具支持。但是，作為新興研究方向，分數(shù)階控制理論在很多方面還不成熟。分數(shù)階控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，尤其是分數(shù)階非線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題還是一個開放課題。由于非齊次分數(shù)階系統(tǒng)控制理論處于起步階段，分數(shù)階控制系統(tǒng)的時域分析與頻域綜合設計方法也沒有得到解決。本文針對這些問題，以分數(shù)階微分方程描述的齊次分數(shù)階控制系

3、統(tǒng)為對象，在分數(shù)階線性耦合系統(tǒng)、分數(shù)階非線性系統(tǒng)和分數(shù)階PIλ控制器的頻域綜合方面做了相關探索性研究。主要內容包括以下幾個方面：
　?。?）在現(xiàn)有的分數(shù)階線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和研究基礎上，針對一類階次α在(0,1)區(qū)間內的分數(shù)階線性耦合區(qū)間不確定系統(tǒng)，研究了魯棒漸近穩(wěn)定性和狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定化問題。所提出的方法將穩(wěn)定區(qū)域非凸問題轉化為正定矩陣和斜對稱矩陣求解問題，得到了基于線性矩陣不等式的這類分數(shù)階線性不確定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定和鎮(zhèn)定化的充分條件

4、。
　?。?）針對Mittag-Leffler穩(wěn)定性理論無法作為分數(shù)階非線性系統(tǒng)綜合工具的問題，研究了一類階次α在(0,2)區(qū)間內的分數(shù)階非線性系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性和基于觀測器的狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題。利用Mittag-Leffler函數(shù)的性質和Gronwall-Bellman不等式，從解的衰減速度的角度研究了分數(shù)階非線性系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性，擴展了分數(shù)階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析結果和設計手段。
　?。?）針對階次α在(0,1)區(qū)間內

5、的分數(shù)階非線性不確定系統(tǒng)，將分數(shù)階微分方程的解與常規(guī)的整數(shù)階微分方程的解進行數(shù)學意義上的嚴格等價，利用整數(shù)階李亞普諾夫穩(wěn)定性理論研究了等價整數(shù)階微分方程零解的漸近穩(wěn)定性，得到了基于線性矩陣不等式的漸近穩(wěn)定充分條件。針對存在容許時變不確定性的分數(shù)階非線性系統(tǒng)，研究了基于觀測器狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題，結合矩陣奇異值分解理論設計了鎮(zhèn)定控制器；針對含有未知參數(shù)向量的分數(shù)階非線性系統(tǒng)，設計了分數(shù)階自適應控制律在線估計未知參數(shù)。該研究思路擴寬了分數(shù)階非線

6、性系統(tǒng)穩(wěn)定性研究思路和設計手段。
　?。?）目前，分數(shù)階控制系統(tǒng)的時域分析與頻域分析方法之間無法直接建立聯(lián)系。針對分數(shù)階PIλ控制器頻域綜合方法中存在的不足，在頻域內研究了高階被控對象的最優(yōu)分數(shù)階PIλ控制器整定問題。基于期望的開環(huán)系統(tǒng)的相位裕度，給出了未知參數(shù)空間內分數(shù)階PIλ控制器的穩(wěn)定面和最大幅值穿越頻率的計算方法，避免了常見整定方法中需要試湊相角裕度和幅值穿越頻率的問題。在(0,2)范圍內遍歷控制器階次，得到了同時滿足預設