過完備字典下的稀疏信號(hào)重構(gòu)研究.pdf

1、稀疏性是自然界信號(hào)普遍存在的一種特性，是指信號(hào)的非零變換系數(shù)數(shù)量遠(yuǎn)小于信號(hào)的長(zhǎng)度。信號(hào)稀疏性的存在使得相關(guān)信息的提取變得更加快速有效，從而減少信號(hào)獲取和處理過程中的成本。壓縮傳感是一種利用信號(hào)稀疏性的全新數(shù)據(jù)采樣模式，信號(hào)重構(gòu)是壓縮傳感中的關(guān)鍵理論部分。目前所提出的信號(hào)重構(gòu)理論僅適用于正交基下的稀疏信號(hào)，無法滿足實(shí)際應(yīng)用中所遇到的多種信號(hào)類型，而在通常情況下，大部分類型的信號(hào)能找到關(guān)于過完備字典的稀疏表示，把適用信號(hào)范圍推廣到過完備字典

2、下的稀疏信號(hào)可以增加應(yīng)用上的靈活性；并且，用過完備字典來近似表示信號(hào)，可以極大的減少近似畸變和均方差，有效表現(xiàn)信號(hào)的稀疏性。本文將壓縮傳感中的信號(hào)重構(gòu)理論擴(kuò)展到更為常見的過完備字典下的稀疏信號(hào)，研究了過完備字典下的稀疏信號(hào)重構(gòu)算法，并考慮了現(xiàn)實(shí)世界中所存在的不同噪聲對(duì)重構(gòu)精度的影響，構(gòu)建出完整的噪聲干擾模型，最后把所得到的理論結(jié)果應(yīng)用到小波域稀疏信號(hào)的重構(gòu)。本文的主要研究工作如下：
　　 (1)信號(hào)重構(gòu)的精度與傳感矩陣和過完備字

3、典的性質(zhì)密切相關(guān)，目前還缺乏一種可以完整描述傳感矩陣和過完備字典對(duì)聯(lián)合性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)量，針對(duì)該問題提出了兩種基于相關(guān)度的統(tǒng)計(jì)方法--直方圖統(tǒng)計(jì)和分組衡量，分別用于獲取傳感矩陣和過完備字典對(duì)的全局信息和局部信息，從而為精確重構(gòu)原始信號(hào)提供可靠的前提條件。
　　 (2)l1范數(shù)最小化信號(hào)法和l1范數(shù)最小化系數(shù)法是兩種表達(dá)式類似的l1。范數(shù)最小化重構(gòu)算法，本文從幾何角度深入分析了兩種重構(gòu)算法的異同，提出了用單一高維多面體映射兩者的求解代數(shù)

4、表達(dá)式和最終結(jié)果的方法，研究了兩者在采用過完備字典時(shí)多面體結(jié)構(gòu)上的差異和兩種算法的先驗(yàn)條件，為選擇合適的算法提供了理論依據(jù)。
　　 (3)針對(duì)噪聲對(duì)信號(hào)重構(gòu)精度的影響，構(gòu)建了一個(gè)完整的噪聲干擾模型衡量不同噪聲來源、不同噪聲類型和不同采樣方式下，噪聲對(duì)重構(gòu)誤差的影響。利用最小均方法檢驗(yàn)了誤差影響，證明了約束等距性常數(shù)不是決定重構(gòu)誤差的唯一因素，給出了重構(gòu)誤差能量均值、噪聲和支撐集內(nèi)傳感矩陣三者間的關(guān)系表達(dá)式。通過將三種典型檢測(cè)器噪

5、聲導(dǎo)致的誤差與直接采樣稀疏信號(hào)產(chǎn)生的誤差進(jìn)行比較，證明了壓縮采樣方式可以有效減小檢測(cè)噪聲引起的誤差。針對(duì)應(yīng)用中傳感矩陣實(shí)現(xiàn)過程中產(chǎn)生的噪聲，分析了傳感矩陣噪聲對(duì)傳感矩陣約束等距性的影響，證明了傳感矩陣噪聲對(duì)傳感子矩陣的影響表現(xiàn)為一個(gè)關(guān)于相對(duì)噪聲水平的線性函數(shù)。仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了推導(dǎo)的重構(gòu)誤差表達(dá)式的正確性。
　　 (4)針對(duì)基追蹤等基本重構(gòu)算法在利用信號(hào)結(jié)構(gòu)性稀疏方面的欠缺性，本文在研究小波系數(shù)在尺度和時(shí)間上存在依賴關(guān)系的基礎(chǔ)上，提

6、出了一種針對(duì)光滑信號(hào)的小波系數(shù)分布規(guī)律的快速重構(gòu)算法——異權(quán)重迭代法，該算法通過利用變換系數(shù)的先驗(yàn)信息對(duì)小波系數(shù)分組并施加不同權(quán)重值，提高了每次迭代結(jié)果的稀疏度，減少了算法中的迭代次數(shù)。由于在重構(gòu)信號(hào)時(shí)需要使用過完備小波字典對(duì)應(yīng)的矩陣表達(dá)式，本文在推導(dǎo)了正交小波變換所對(duì)應(yīng)的矩陣形式的基礎(chǔ)上給出了過完備小波字典所對(duì)應(yīng)矩陣的生成方法。
　　 (5)為了檢驗(yàn)本文提出的信號(hào)重構(gòu)算法在實(shí)際應(yīng)用中的效果，本文將其應(yīng)用于自然圖像的去噪處理。提