正則系綜下的有限尺寸標(biāo)度及逾滲模型的一些性質(zhì).pdf

1、多體相互作用系統(tǒng)在物理科學(xué)中占據(jù)著重要的地位，它們有許多非常有趣的性質(zhì)，例如:平衡系統(tǒng)的狀態(tài)能夠用少數(shù)的幾個(gè)狀態(tài)參量來描述;存在著一些普適的性質(zhì)，告訴我們一些微觀參數(shù)不一樣的系統(tǒng)遵循著相同的規(guī)律;調(diào)節(jié)一個(gè)系統(tǒng)的某些特定的參數(shù)時(shí)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生相變，相變與對(duì)稱性或拓?fù)湫再|(zhì)的變化有關(guān)系，相變點(diǎn)附近存在著豐富的臨界現(xiàn)象。由于大量微觀組成單元具有非常大的自由度，同時(shí)組成單元之間的相互作用往往是非線性的，探索多體相互作用系統(tǒng)的性質(zhì)是非常具有挑戰(zhàn)性的任

2、務(wù)。只有少數(shù)的系統(tǒng)能夠被嚴(yán)格求解，例如二維的Ising模型，以及若干一維的量子格點(diǎn)模型。對(duì)于其它的系統(tǒng)，我們采取的方法有近似計(jì)算（如平均場方法），實(shí)驗(yàn)，或者計(jì)算機(jī)模擬。從電子計(jì)算機(jī)被發(fā)明以來，計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬持續(xù)推動(dòng)著對(duì)于多體相互作用系統(tǒng)的研究。主要的數(shù)值模擬方法包括蒙特卡洛，分子動(dòng)力學(xué)，轉(zhuǎn)移矩陣，嚴(yán)格對(duì)角化，數(shù)值重整化群等。與粗?；Ｐ?、重整化群理論或標(biāo)度分析等結(jié)合在一起，人們利用這些方法獲得了大量的有用信息。然而，仍然有一些重要的物理

3、問題需要進(jìn)一步探索，例如:一些物理性質(zhì)普適到什么程度，怎樣從小系統(tǒng)的模擬結(jié)果推得關(guān)于大系統(tǒng)的有用信息，什么樣的粗?；Ｐ湍軌蜃プ∷P(guān)注的物理內(nèi)容。
　　圍繞著上面的問題，本文論述了我們對(duì)臨界現(xiàn)象的一些研究。第一章是對(duì)相關(guān)的理論、模型和數(shù)值計(jì)算方法的一個(gè)簡要介紹。
　　第二章和第三章包括了我們對(duì)正則系綜下的有限尺寸標(biāo)度的研究。在第二章中，我們首先用標(biāo)度分析的方法推導(dǎo)了有限尺寸的系統(tǒng)在正則系綜下出現(xiàn)的Fisher重整化，這里Fi

4、sher重整化與巨正則系綜下粒子數(shù)密度對(duì)系統(tǒng)大小的依賴有關(guān)。接下來，我們考慮漲落抑制效應(yīng)，推導(dǎo)了纏繞概率的標(biāo)度行為的變化。在巨正則系綜下，纏繞概率在臨界點(diǎn)的值是普適的。我們得到，對(duì)于2yt-d＞0（yt是溫度場的指數(shù)，d是空間維度）的系統(tǒng)，正則系綜下纏繞概率的臨界值與巨正則系綜下的值不同，但仍然是普適的。其它的無量綱觀測量，如Binder量，也具有相同的性質(zhì)。標(biāo)度分析還告訴我們正則系綜下存在新的有限尺寸修正，如指數(shù)為-|2yt-d|的項(xiàng)

5、。在兩種系綜下，我們用蒙特卡洛方法模擬了純的和空點(diǎn)摻雜的Potts模型，驗(yàn)證了這些標(biāo)度分析的結(jié)果。在第三章中，我們研究了正則系綜下的逾滲模型。在逾滲模型中，粒子（占據(jù)的鍵或點(diǎn)）數(shù)密度不依賴于系統(tǒng)的大小，所以正則系綜和巨正則系綜的不同只源于漲落抑制。我們推導(dǎo)出正則系綜下出現(xiàn)新的修正指數(shù)2yt-d（逾滲模型在d≥2時(shí)有2yt-d＜0），這一點(diǎn)與第二章的結(jié)果相符合。更有趣的是，我們還發(fā)現(xiàn)巨正則系綜下普適的量在正則系綜下可能變得非普適，剩余集團(tuán)

6、數(shù)就是這樣的一個(gè)觀測量。這些結(jié)果也得到了蒙特卡洛模擬的數(shù)據(jù)的證實(shí)。
　　從定義上看，逾滲模型很簡單，但它包含著豐富的物理內(nèi)容。第四章和第五章是我們對(duì)逾滲模型的進(jìn)一步探索。在第四章中我們研究了逾滲模型中的短程關(guān)聯(lián)?；诙SPotts模型的嚴(yán)格解，我們推導(dǎo)出了正方、三角和蜂巢晶格上的逾滲型的最近鄰連接概率的嚴(yán)格值。蒙特卡洛模擬的結(jié)果與這些嚴(yán)格值相符合。在模擬中我們還觀察了近鄰連接概率的漲落，發(fā)現(xiàn)其有限尺寸標(biāo)度中出現(xiàn)了對(duì)數(shù)行為。我們將這

7、個(gè)漲落量與文獻(xiàn)中研究過的四點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)聯(lián)系起來，由文獻(xiàn)中用共形場論分析得到的四點(diǎn)關(guān)聯(lián)的對(duì)數(shù)行為推導(dǎo)出這里出現(xiàn)的對(duì)數(shù)行為。第五章研究了逾滲集團(tuán)中的孔洞大小的分布。我們發(fā)現(xiàn)，大的逾滲集團(tuán)里的孔洞大小分布的Fisher指數(shù)τ'，逾滲集團(tuán)的分形維度d'，以及孔洞的維度d'F之間滿足一個(gè)超標(biāo)度關(guān)系τ'=1+d'/d'F。文獻(xiàn)中提出了一個(gè)變種的逾滲模型來解釋準(zhǔn)二維的活性凝膠中形成的處于臨界狀態(tài)的集團(tuán)的分布，這個(gè)逾滲模型能夠定性而非定量地抓住實(shí)驗(yàn)觀察到