二階Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性與唯一性.pdf

1、本文研究如下Hamilton系統(tǒng)周期解的存在性和唯一性：其中T0,F:R×RN→R關于t是T-周期的,而且滿足下面的條件： (A)F(t,x)對每個x∈RN關于t是可測的,對a.e.t∈[0,T]關于x是可微的,且存在a∈C(R+,R+),b∈L1(0,T;R+)使得|F(t,x)|≤a(|x|)b(t),|▽F(t,x)|≤a(|x|)b(t)對所有x∈RN及a.e.t∈[0,T]成立. 已經(jīng)有很多學者得到了Hamilton系統(tǒng)的周期

2、解,但很少有人得到系統(tǒng)(P1)解的唯一性,只有參考文獻中得到了這樣的結果,具體地說就是下面的定理：定理A(定理1.1)若(A)成立,而且存在f,g∈L1(0,T;R+),0α≤1和口0滿足下面的條件： (F1)(▽F(t,x)-▽F(t,y),x-y)0,當x≠y時,對所有的t∈R,x,y∈RN都成立, (F2)|▽F(t,x)|≤f(t)|x|α+g(t), (F3)1/2-(2α-1β)/12-C00, (F4)lim inf|x|

3、→∞[|x|-2α-∫0TF(t,x)dt-C1]0,對所有x∈RN都成立,這里那么系統(tǒng)(P1)在HT1中有唯一T-周期解。 定理A的條件比較復雜,本文在比定理A更簡單的條件下,利用極小化作用原理同樣得到了系統(tǒng)(P1,)周期解的唯一性,即下面的定理1：定理1若(A),(F1)成立,而且滿足(F5)當|x|→∞時,有∫0TF(t,x)dt→+∞成立,那么系統(tǒng)(P1)在HT1中有唯一T-周期解。 考慮二階Hamilton系統(tǒng)-u(t)=▽F

4、(t,u(t)),任意t∈[0,T,(P2)這里T0,F:R×RN→R關于t是T-周期的(T0),而且滿足下列條件：(A)F(t,x)關于t是可測的,而且對于任意的x∈RN關于x和a.e.t∈[0,T] 是連續(xù)可微的,而且存在a∈C(R+,R+)和b∈L1(0,T;R+)使得|F(t,x)|≤a(|x|)b(t),|▽F(t,x)|≤a(|x|)b(t)對任意的x∈RN和a.e.t∈[0,T]都成立. 對于系統(tǒng)(P2)周期解的存在性已得

5、到了很多的結論.許多可解性條件已得到證明,比如,次二次條件;凸位勢條件;非一致強制條件;偶位勢條件；變號位勢條件; γ-擬次可加性位勢條件;超二次條件,局部超二次條件.特別是在2006年,Schetcher得到了周期解存在的一些結論.更準確點說,他們是得到了下面的定理：定理B.假設F滿足：(H1)F(t,x)≥0,t∈[0,T],x∈RN.(H2)存在一個常數(shù)q2使得F(t,x)≤C(|x|q+1),對于t∈[0,T],z∈RN都成立.

6、
　　 (1)而且存在常數(shù)m0,α2π2/T2,滿足F(t,x)≤α|x|2,對任意|x|≤m,t∈[0,T],x∈RN都成立.
　　 (2)(H3)存在一個常數(shù)μ2,使得(Fμ(t,x))/(|x|2)≤w(t)∈L1([0,T]),對于|x|≥C,t∈[0,T],x∈RN都成立,對于a.e t∈[0,T]是一致的. 這里Fμ(t,x)=μF(t,x)-(▽F(t,x),x).(H4)存在常數(shù)β2π2/T2和C0滿足F

7、(t,x)≥β|x|2,對于所有的|x|C, t∈[0,T], x∈RN都成立.那么系統(tǒng)(P2)有一個非平凡解. 定理C(參見[14]中的定理1.1).當定理B中的條件(H2)被下面的條件替換時,我們的結論仍然成立。(H'2)存在常數(shù)m0和β≤6m2/T2使得F(t,x)≤α,|x|≤m,對所有的t∈[0,T], x∈RN都成立. 然而,眾所周知對于系統(tǒng)(P2)在局部超二次條件下具有非平凡T-周期解迄今為止很少有人得到這樣的結論,只有一

8、處考慮過這種情況.所以,我們將考慮系統(tǒng)(P2)在局部超二次條件下解的存在性問題.主要結論如下：定理2假設F滿足條件(A),(H1),(3.2),(H3)和下面的定理：(H'4)若E包含于[0,T],而且存在E的一個正測度子集使得 lim inf|x|→∞(F(t,x))/(|x|2)0對a.e.t∈E都成立.那么系統(tǒng)(P2)至少存在一個非平凡T-周期解.定理3假設F滿足(A),(H1),(H'2),(H3)和(H'4).那么系統(tǒng)(P2)