CAGD中Offset和RMF的有理變換研究.pdf

1、等距(Offset)有理構(gòu)造與掃掠曲面生成中的最小旋轉(zhuǎn)標(biāo)架(Rotation-MinimizingFrame簡(jiǎn)稱RMF)的有理構(gòu)造是CAGD研究領(lǐng)域中的兩重要內(nèi)容。本文從平面PH(或OR)樣條曲線逼近平面基曲線以及空間PH樣條曲線逼近空間基曲線的角度出發(fā)，對(duì)平面等距線和空間最小旋轉(zhuǎn)標(biāo)架的構(gòu)造算法作了深入的研究。目前對(duì)等距線的處理是單純地從逼近或精確兩個(gè)獨(dú)立的角度進(jìn)行研究的。逼近的方法主要是針對(duì)已產(chǎn)生的等距線表達(dá)式采用函數(shù)逼近的方式，通常

2、會(huì)出現(xiàn)解線性或非線性方程組，非線性歸劃，無(wú)理積分等較為復(fù)雜的運(yùn)算。同時(shí)，產(chǎn)生的結(jié)果時(shí)常具有不穩(wěn)定性；純粹的精確解法會(huì)涉及到判斷等距有理化問(wèn)題，要通過(guò)繁瑣的結(jié)式計(jì)算才能實(shí)現(xiàn)，其適用范圍非常狹窄。而在實(shí)際的曲線設(shè)計(jì)中，我們總希望所采用的基曲線本身就具有精確的等距線，但遺憾的是絕大多數(shù)CAD系統(tǒng)只兼容多項(xiàng)式參數(shù)曲線，所采用的曲線很難具有精確有理形式的等距線。因此，構(gòu)造兼容CAD系統(tǒng)中基曲線的等距線是一必要而困難的任務(wù)。本文結(jié)合逼近與精確的思想

3、，提出了PH樣條和OR樣條逼近構(gòu)造算法。(1)基于PH曲線的構(gòu)造。根據(jù)設(shè)計(jì)要求的不同，在一定精度范圍內(nèi)，分別采用G1三次PH樣條曲線，C1五次PH樣條曲線以及可能同時(shí)含有G1，C1，G2，C2組合的混合形式的PH樣條曲線，對(duì)Bézier或B樣條形式的基曲線作逼近，然后產(chǎn)生PH樣條的精確有理形式的等距線，該等距線又可作為原基曲線的等距逼近。同時(shí)，估計(jì)了對(duì)基曲線逼近的誤差和等距線誤差；(2)基于OR曲線構(gòu)造。Offset-rational曲

4、線(簡(jiǎn)稱OR曲線)是指具有精確有理等距線的參數(shù)曲線。本文根據(jù)平面多項(xiàng)式曲線的等距有理參數(shù)化條件，分別構(gòu)造了二次G1連續(xù)的OR曲線及加上調(diào)控因子的三次G1連續(xù)的OR曲線；四次C1連續(xù)的OR曲線；具有過(guò)渡點(diǎn)的C2連續(xù)的六次OR插值曲線；C2連續(xù)的八次OR插值曲線。由于OR曲線可通過(guò)恰當(dāng)?shù)膮?shù)變換產(chǎn)生有理形式的等距線，因此，根據(jù)給定Bézier曲線離散端點(diǎn)條件，可構(gòu)造特定連續(xù)階的OR樣條曲線來(lái)逼近該Bézier曲線。特別討論了用三次具有調(diào)控因

5、子的OR樣條曲線來(lái)逼近三次Bézier曲線，其逼近誤差可得到最優(yōu)化控制。OR樣條的精確等距線可作為Bézier曲線的等距線逼近。而對(duì)B樣條曲線，可加入重節(jié)點(diǎn)，使之轉(zhuǎn)化為若干段同階的Bézier曲線，最終產(chǎn)生對(duì)B樣條曲線的PH或OR樣條曲線逼近及等距線。 利用以上關(guān)于平面曲線的PH樣條逼近的思想，可進(jìn)一步推廣到空間Bézier曲線或B樣條曲線的最小旋轉(zhuǎn)標(biāo)架的構(gòu)造。通過(guò)對(duì)一空間Bézier曲線插入?yún)?shù)節(jié)點(diǎn)后，構(gòu)造出與其對(duì)應(yīng)的G1空間