幾類不同系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性及多重振動共振現(xiàn)象.pdf

1、隨機穩(wěn)定性是隨機動力學領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容之一，它刻畫隨機動力系統(tǒng)在平穩(wěn)解鄰域內(nèi)的穩(wěn)定性，其研究指標為最大Lyapunov指數(shù)和矩Lyapunov指數(shù)，分別確定系統(tǒng)響應(yīng)的幾乎肯定漸近穩(wěn)定性和p階矩漸近穩(wěn)定性。由于噪聲在自然界的普遍存在性，隨機穩(wěn)定性問題在自然科學及工程科學等領(lǐng)域都具有重要的研究價值。
　　 一些受高頻信號和微弱低頻信號同時激勵的非線性系統(tǒng)，其響應(yīng)在低頻信號頻率處的幅值隨加入高頻信號幅值的變化呈現(xiàn)非線性關(guān)系，出現(xiàn)類似

2、于“共振”的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象定義為振動共振。利用振動共振機理，可以實現(xiàn)系統(tǒng)中微弱低頻信號的放大。雙頻信號在通訊技術(shù)、激光物理、離子物理、聲學、神經(jīng)科學等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，因此研究振動共振具有重要的意義，實現(xiàn)對振動共振的控制在諸多領(lǐng)域具有潛在的價值。
　　 本文重點研究不同噪聲參激系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性與非線性系統(tǒng)的多重振動共振及其控制兩方面的內(nèi)容，主要進行了以下工作：
　　 (1)研究了高斯白噪聲參激余維2分岔系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性

3、問題。基于一維擴散過程的奇異邊界理論，討論了一維相擴散過程存在奇異邊界的所有情形。針對不同情形，推導出了參激矩陣的取值條件，得到了系統(tǒng)不變測度的解析解，并研究了其P-分岔問題。最后根據(jù)最大Lyapunov指數(shù)的結(jié)果，給出了各種情形下系統(tǒng)幾乎肯定漸近穩(wěn)定的邊界。
　　 (2)研究了實噪聲(n維Ornstein-Uhlenbeck向量過程的可積函數(shù))參激余維2分岔系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性問題。通過進行n維線性濾波系統(tǒng)的譜分析，得到了實噪聲的

4、譜密度函數(shù)，用攝動法得到了系統(tǒng)不變測度的標準FPK方程及最大Lyapunov指數(shù)的求解式。通過討論一維相擴散過程存在奇異邊界的所有情形，給出了對應(yīng)參激矩陣的取值條件，得到了不變測度的解析式及系統(tǒng)響應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)。研究了不變測度的P-分岔，給出了系統(tǒng)響應(yīng)幾乎肯定漸近穩(wěn)定的邊界。
　　 (3)研究了一類非高斯色噪聲參激的van der Pol-Duffing振子的隨機穩(wěn)定性。將噪聲近似簡化之后，通過尺度變換和線性隨機變

5、換求得了矩Lyapunov指數(shù)的二階近似解，給出了系統(tǒng)響應(yīng)p階矩穩(wěn)定性和幾乎肯定漸近穩(wěn)定的條件。
　　 (4)研究了受雙頻信號激勵的一維多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)了一種新穎且規(guī)律性較強的多重振動共振現(xiàn)象。在欠阻尼和過阻尼情形下，通過解析分析和數(shù)值模擬揭示了序列性多重振動共振現(xiàn)象發(fā)生的機理，重點研究了阻尼系數(shù)對共振效應(yīng)的影響，給出了多重振動共振現(xiàn)象潛在的應(yīng)用價值。
　　 (5)研究了高頻信號和微弱低頻信號同時激勵下，線性時滯反饋對不

6、同非線性系統(tǒng)中振動共振現(xiàn)象的影響，結(jié)果表明通過調(diào)節(jié)時滯參數(shù)可以引起系統(tǒng)的輸出發(fā)生多重振動共振現(xiàn)象，從而實現(xiàn)對振動共振的有效控制。時滯反饋不僅可以控制振動共振的發(fā)生或消失。而且還可以增強振動共振的程度，從而進一步放大微弱低頻信號。研究還發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)對低頻信號響應(yīng)的幅值增益隨時滯參數(shù)的變化同時呈現(xiàn)兩種不同的周期性關(guān)系，它們分別等于兩激勵信號的周期。在一些不存在經(jīng)典振動共振現(xiàn)象的非線性系統(tǒng)中，引入線性時滯反饋之后，通過調(diào)節(jié)時滯參數(shù)也可以引發(fā)多重振