幾類隨機數值方法的穩(wěn)定性與收斂性.pdf

1、隨機微分方程(SDES)廣泛應用于經濟、生物、物理、自動化等領域.很長時間以來,由于缺乏有效的求解SDES的數值方法以及充足的計算機資源,使得在建立描述物理現象的數學模型時都忽略了隨機的因素.近年來,在SDES數值解方面已取得一定的成果,這意味著某些隨機模型可以借助于計算機進行研究.本文首先介紹了隨機微分方程的背景知識及其理論解的重要性質,其中給出了解的存在唯一性定理及其矩性質,對于線性隨機微分方程,給出了解的解析表達式.由于隨機系統(tǒng)的

2、復雜性,一般情況很難得到方程理論解的解析表達式.這樣一來,數值方法的構造顯得尤為重要.與常微分方程(ODES)領域相比較,對SDES數值解的研究還遠遠不夠.由于隨機系統(tǒng)自身的特殊性質,使得不可能將ODES中的數值方法簡單地平移到SDES中.相反地,為了構造有效的數值方法,要詳實地分析其收斂性、穩(wěn)定性、誤差傳遞等性質.Euler方法是求解SDES的數值方法中最簡單的一種方法.對于兩種特殊情形,即乘性(multiplicative)噪聲和加

3、性(additive)噪聲,本文證明了當方程的偏移系數和擴散系數均滿足線性增長條件和Lipschitz條件時,方法的收斂階分別為0.5和1.0.隨機情形的泰勒展式可以通過結合ODES中的泰勒展式和Ito法則來獲得,并可將其用于構造求解SDES的數值方法.例如,本文中的三種Milstein方法就是截取泰勒展式的前四項.給出乘性噪聲和加性噪聲兩種情形的試驗方程后,本文討論了Milstein方法的A-穩(wěn)定性、均方穩(wěn)定性、T-穩(wěn)定性.當試驗方程