分?jǐn)?shù)階PID控制器及參數(shù)不確定分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定域分析.pdf

1、分?jǐn)?shù)階微積分(Fractional-Order Calculus)是傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的廣義化形式,它和整數(shù)階微積分同時(shí)產(chǎn)生,且具有和整數(shù)階微積分一樣相似的概念和分析工具。分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)和整數(shù)階控制系統(tǒng)相類似,都具有時(shí)域、頻域及復(fù)域不同的表示方法；另外,它還具有穩(wěn)定性、魯棒性、可觀性、可控性等分析方法,所有這些方法都是研究分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。隨著分?jǐn)?shù)階微積分在控制系統(tǒng)中研究的不斷深入,出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階控制器與分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象,其中分?jǐn)?shù)階PIλ

2、Dμ控制器是傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器的拓展,它比整數(shù)階PID控制器多了兩個(gè)可調(diào)參數(shù),即積分階次λ和微分階次μ。因此,可取得比整數(shù)階PID控制器更好的動(dòng)態(tài)性能。然而,由于分?jǐn)?shù)階控制尚處于研究階段,對(duì)分?jǐn)?shù)階控制器及分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究方面還有許多進(jìn)一步待研究的內(nèi)容。本文針對(duì)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的設(shè)計(jì)及由分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器構(gòu)成的參數(shù)不確定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了相應(yīng)的研究,具體工作包括以下內(nèi)容:
　　 1.對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)學(xué)的

3、發(fā)展、基本理論和性質(zhì)等進(jìn)行了闡述,并對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)學(xué)在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用、分?jǐn)?shù)階PIμDμ控制器設(shè)計(jì)及其穩(wěn)定性分析方法等問題進(jìn)行了綜述。
　　 2.對(duì)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)及分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的階次及仿真步長(zhǎng)的變化對(duì)性能影響進(jìn)行了分析。通過對(duì)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)微分方程的數(shù)值求解,分析了控制系統(tǒng)的仿真步長(zhǎng)及微分階次的變化對(duì)控制系統(tǒng)性能產(chǎn)生的影響。另外,當(dāng)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的積分階次λ和微分階次μ在范圍(0,2)內(nèi)變化時(shí),從Bode圖和

4、時(shí)域階躍響應(yīng)圖上,分別分析了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器積分階次和微分階次的選擇對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響,并闡述了兩圖的聯(lián)系。通過對(duì)仿真步長(zhǎng)、控制系統(tǒng)的階次及分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器階次的選擇對(duì)控制系統(tǒng)性能的影響進(jìn)行分析,為后續(xù)章節(jié)和工程實(shí)際應(yīng)用中,如何根據(jù)控制系統(tǒng)性能的要求合理的選擇參數(shù)提供了依據(jù)。
　　 3.利用控制系統(tǒng)的魯棒性條件,針對(duì)參數(shù)不確定時(shí)滯系統(tǒng)設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器。當(dāng)分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)在滿足相位裕度和幅值裕度的條件下,針

5、對(duì)被控對(duì)象的時(shí)間常數(shù)具有不確定變化,提出了對(duì)時(shí)間常數(shù)的不確定變化具有魯棒性的五參數(shù)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的設(shè)計(jì)方法。同時(shí),利用相位裕度和相位波特率在Bode圖上指定處的截止頻率是處于相對(duì)平坦的魯棒性條件,針對(duì)被控對(duì)象的增益常數(shù)具有不確定的變化,提出了對(duì)增益變化具有魯棒性的五參數(shù)分?jǐn)?shù)PIλDμ控制器的設(shè)計(jì)方法。通過兩個(gè)算例分別對(duì)兩種分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了驗(yàn)證和仿真實(shí)驗(yàn)分析,并與相應(yīng)的整數(shù)階PID控制器的性能進(jìn)行比較。其仿真

6、實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在滿足魯棒性條件下設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器,具有比傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器較好的魯棒性及系統(tǒng)響應(yīng)性能。
　　 4.針對(duì)參數(shù)不確定時(shí)滯系統(tǒng),提出了采用分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器求其系統(tǒng)穩(wěn)定域的算法。利用Kharitonov理論,將參數(shù)不確定時(shí)滯系統(tǒng)分解成若干個(gè)參數(shù)確定的子系統(tǒng),并求各個(gè)子系統(tǒng)的閉環(huán)其準(zhǔn)特征多項(xiàng)式；然后采用D分解法,求取各個(gè)準(zhǔn)特征多項(xiàng)式在獲得最大穩(wěn)定域時(shí)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ及PIDμ控制器參數(shù)λ和μ。以此

7、參數(shù)λ和μ值重新構(gòu)建分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器,并計(jì)算各個(gè)子系統(tǒng)的穩(wěn)定域,各個(gè)子系統(tǒng)穩(wěn)定域的交集,即為參數(shù)不確定時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定域。通過數(shù)值和圖像結(jié)果表明:所提出的穩(wěn)定域算法對(duì)分析和設(shè)計(jì)復(fù)雜的參數(shù)不確定時(shí)滯分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)較為簡(jiǎn)單且行之有效。且本算法可為參數(shù)不確定時(shí)滯系統(tǒng)獲得分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的穩(wěn)定域,即參數(shù)域。將為后續(xù)使用最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器時(shí),提供了參數(shù)搜索的尋找范圍,大大縮短了參數(shù)尋優(yōu)時(shí)間和計(jì)算量,從而提高了分?jǐn)?shù)階PI

8、λDμ控制器的設(shè)計(jì)效率。
　　 5.針對(duì)參數(shù)和階次同時(shí)具有不確定的分?jǐn)?shù)階線性時(shí)不變被控對(duì)象,提出了一種基于穩(wěn)定域分析的分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的設(shè)計(jì)方法。依據(jù)參數(shù)和階次的上下屆,利用Kharitonov理論將參數(shù)不確定分?jǐn)?shù)階線性時(shí)不變被控對(duì)象分解成若干個(gè)子系統(tǒng),并構(gòu)建相應(yīng)子系統(tǒng)的閉環(huán)準(zhǔn)特征多項(xiàng)式；然后,采用D分解法構(gòu)建各個(gè)子準(zhǔn)特征多項(xiàng)式的穩(wěn)定域,并獲得在相對(duì)較大穩(wěn)定域時(shí)分?jǐn)?shù)階PIλ控制器的參數(shù)λ值；再在(κp,κI)參數(shù)平面內(nèi)構(gòu)建各個(gè)

9、子準(zhǔn)特征多項(xiàng)式穩(wěn)定域的交集,此交集便是分?jǐn)?shù)階PIλ控制器參數(shù)κp,κI的取值范圍。由此,便可以獲得所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλ控制器所有參數(shù)的集合。在參數(shù)集內(nèi)任取分?jǐn)?shù)階PIλ控制器參數(shù)κp、κI幻的值,對(duì)分?jǐn)?shù)階參數(shù)不確定線性時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)行階躍響應(yīng)分析,其結(jié)果表明,各個(gè)子系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線都在名義子系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線的上下波動(dòng),且系統(tǒng)的超調(diào)量小,穩(wěn)定性較好,且由此設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器表現(xiàn)出了對(duì)分?jǐn)?shù)階參數(shù)不確定線性時(shí)不變系統(tǒng)較強(qiáng)的魯棒性。<

10、br>　　 6.針對(duì)區(qū)間參數(shù)不確定分?jǐn)?shù)階時(shí)滯系統(tǒng),提出了求分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器魯棒穩(wěn)定域的方法,并測(cè)試了其穩(wěn)定域具有的魯棒性。采用邊界理論,將分?jǐn)?shù)階閉環(huán)控制系統(tǒng)的準(zhǔn)特征多項(xiàng)式族分解為若干個(gè)子頂點(diǎn)準(zhǔn)特征多項(xiàng)式,然后利用值集構(gòu)建凸多面體的棱邊。通過D分解方法求解各個(gè)子頂點(diǎn)準(zhǔn)特征多項(xiàng)式在最大穩(wěn)定域時(shí)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的參數(shù)λ和μ,以獲得的參數(shù)λ和μ作為分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的積分和微分階次,求取各個(gè)子頂點(diǎn)準(zhǔn)特征多項(xiàng)式穩(wěn)定域的交集。在

11、穩(wěn)定域內(nèi)任意取分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制的參數(shù)κp、κI、κd,用值集理論和零排除原理,檢測(cè)穩(wěn)定域的魯棒穩(wěn)定性。通過算例對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證,結(jié)果表明,此方法對(duì)于求取穩(wěn)定域且驗(yàn)證穩(wěn)定域的魯棒性時(shí)簡(jiǎn)單而有效的。同時(shí),該方法對(duì)分?jǐn)?shù)階參數(shù)不確定時(shí)滯系統(tǒng)所設(shè)計(jì)的魯棒分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器時(shí),能夠?yàn)槠涮峁敯舴€(wěn)定性判斷的理論支持。
　　 7.針對(duì)分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象和分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器,把模糊控制理論與其相結(jié)合,采用分?jǐn)?shù)階微積分方程的數(shù)值求解的方法,提

12、出了模糊自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的實(shí)現(xiàn)步驟與方法。由于分?jǐn)?shù)階微積分定義的不同,目前沒有統(tǒng)一的離散化方法和數(shù)值解法,尤其被控對(duì)象是分?jǐn)?shù)階的情況下,研究其模糊分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器數(shù)值實(shí)現(xiàn)方法的較少。因此,依據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分方程的數(shù)值解法,并計(jì)算由分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象與模糊自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階PIλDμ制器所構(gòu)成的分?jǐn)?shù)階閉環(huán)控制系統(tǒng)的數(shù)值表達(dá)式,并給出了詳細(xì)的數(shù)值計(jì)算推導(dǎo)過程。在此基礎(chǔ)上提出了模糊自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的實(shí)現(xiàn)方法。最后,通過對(duì)所設(shè)

13、計(jì)的模糊自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器進(jìn)行單位階躍仿真分析。并對(duì)整數(shù)階PID控制器、分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器及模糊自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器進(jìn)行階躍響應(yīng)性能比較。文中提出的模糊自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的方法,以后可為分?jǐn)?shù)階被控對(duì)象設(shè)計(jì)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器等相關(guān)的模糊控制器提供一種可以借鑒和參考的方法。
　　 最后對(duì)論文的主要工作進(jìn)行了概括性的總結(jié),闡述了所獲得的一般性結(jié)論。列出了論文工作的主要?jiǎng)?chuàng)新之處,對(duì)后續(xù)的研