參數(shù)曲線造型中保形理論與算法的研究.pdf

1、保形插值是幾何設(shè)計(jì)的一項(xiàng)基本技術(shù),在自由型曲線曲面造型、數(shù)值逼近以及逆向工程等領(lǐng)域中都有重要的應(yīng)用價(jià)值.然而現(xiàn)有的保形插值方法都還存在或多或少的不足,如：絕大多數(shù)方法都只適用于函數(shù)型點(diǎn)列,真正適用于參數(shù)型點(diǎn)列的方法很少；或都需要通過求解方程組或繁瑣的迭代過程或求解一個(gè)最值問題,才能得到保形的插值曲線.有鑒于此,本文在深入研究了曲線曲面造型中的各種保形理論與算法的基礎(chǔ)上,提出了幾類新的保形插值的方法,解決了已有保形插值方法存在的不足,主要

2、成果及創(chuàng)新點(diǎn)為： 1.利用奇異混合的思想構(gòu)造出一類帶有形狀參數(shù)的多項(xiàng)式樣條曲線,即均勻α-B樣條曲線,在無需反求方程組、迭代過程和最值求解的情況下就能輕松做到插值給定的點(diǎn)列；它含有形狀參數(shù)α,這就增加了曲線的柔性,同時(shí)又和原B樣條曲線具有相同的參數(shù)連續(xù)性.再利用Bemstein多項(xiàng)式的正性條件,找到形狀參數(shù)α的取值范圍,使得當(dāng)且僅當(dāng)參數(shù)α在該范圍內(nèi)時(shí),相應(yīng)的整條α-B樣條插值曲線都是保單調(diào)的,且為C2連續(xù)；其次,為實(shí)際使用方便并

3、提高算法效能,對(duì)α-B樣條插值曲線的每段曲線,選取不同的參數(shù),使整條曲線也是保單調(diào)的,并達(dá)到G1連續(xù)。 2.進(jìn)一步研究了上述均勻α-B樣條曲線的保凸插值問題.首先推導(dǎo)出該類曲線的相對(duì)曲率的表達(dá)式；然后對(duì)每一個(gè)整體凸的點(diǎn)列,利用相對(duì)曲率不變號(hào)的準(zhǔn)則找出形狀參數(shù)α的統(tǒng)一的或分段的取值范圍,使得與該范圍內(nèi)每個(gè)形狀參數(shù)相應(yīng)的插值樣條曲線都是保凸的.接著,將上述結(jié)論推廣到分段凸點(diǎn)列的情形,最終得出一個(gè)方便快捷的自動(dòng)保凸插值方法。

4、3.為了能通過調(diào)整節(jié)點(diǎn)間距來改變連續(xù)階,使得曲線上有尖點(diǎn)或夾有直線段,給設(shè)計(jì)千姿百念的復(fù)雜曲線提供可能.我們接著引進(jìn)了非均勻α-B樣條曲線,并相應(yīng)地研究其保形(保單調(diào)和保凸)插值的可能性與算法.對(duì)單調(diào)點(diǎn)列,得到了非均勻α-B樣條插值曲線保單調(diào)的充要條件；對(duì)凸點(diǎn)列,在一定的條件下得到曲線無拐點(diǎn)和尖點(diǎn)的充分條件。 4.為了彌補(bǔ)普通三角多項(xiàng)式樣條曲線在形狀調(diào)整方面的不足,同時(shí)又考慮到多項(xiàng)式樣條曲線不能精確表示一些超越曲線,我們利用奇異