基函數(shù)中帶形狀參數(shù)的幾何造型理論與方法研究.pdf

1、構(gòu)造帶形狀參數(shù)的基函數(shù)是近年來(lái)計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中的一個(gè)熱門研究課題，有重要的理論意義和廣闊的應(yīng)用前景。本文分別在新的擬三次代數(shù)函數(shù)空間和擬三次三角函數(shù)空間中運(yùn)用開(kāi)花方法構(gòu)造帶兩個(gè)指數(shù)形狀參數(shù)的擬三次Bernstein基和擬三次三角Bernstein基。在此基礎(chǔ)上，分別構(gòu)造兩組帶兩個(gè)局部指數(shù)形狀參數(shù)的擬三次非均勻B樣條基和擬三次三角非均勻B樣條基。所構(gòu)造的基函數(shù)具有單位性，非負(fù)性，線性無(wú)關(guān)性和全正性等重要性質(zhì)。引入的指數(shù)形狀參數(shù)具有張力

2、作用效果，對(duì)所生成的曲線曲面形狀具有明確的幾何調(diào)控意義。傳統(tǒng)的樣條基只能生成逼近曲線或插值曲線，本文構(gòu)造了一組既可生成逼近曲線也可生成局部插值或整體插值曲線的擬四次三角非均勻B樣條基。保形插值樣條在工業(yè)設(shè)計(jì)和科學(xué)數(shù)據(jù)可視化中具有重要的研究?jī)r(jià)值，在過(guò)去三十年中一直受到學(xué)者的廣泛關(guān)注。但在已有的C2連續(xù)保形插值樣條中，有些方法只能保單調(diào)性，有些方法只能保凸性，而且為了獲得C2連續(xù)的樣條，大多數(shù)方法需要求解樣條在節(jié)點(diǎn)上滿足二階連續(xù)性的線性方程

3、組，本文構(gòu)造了一類可自動(dòng)達(dá)到C2連續(xù)的四次有理保形插值樣條基。本文的主要研究工作及成果如下:
　　(1)在擬三次代數(shù)函數(shù)空間Span{1，3t2-2t3，（1-t）α，tβ}中運(yùn)用開(kāi)花方法構(gòu)造了一組帶兩個(gè)指數(shù)形狀參數(shù)的擬三次Bernstein基?；谛绿岢龅臄M三次Bernstein基，構(gòu)造了一類帶兩個(gè)局部指數(shù)形狀參數(shù)的擬三次非均勻B樣條基。此外，將擬三次Bernstein基推廣至三角域上，構(gòu)造了一類三角域上帶三個(gè)指數(shù)形狀參數(shù)的擬三

4、次Bernstein-Bézier基。
　　擬三次Bernstein基包含經(jīng)典的三次Bernstein基和三次Said-Ball基為特例。在擬擴(kuò)展切比雪夫空間理論框架下，證明了該擬三次Bernstein基構(gòu)成一組最優(yōu)規(guī)范全正基。為了高效和穩(wěn)定地計(jì)算相應(yīng)的擬三次Bézier曲線，開(kāi)發(fā)了一種新的割角算法?；诎j(luò)理論與拓?fù)溆成涞姆椒▽?duì)擬三次Bézier曲線進(jìn)行了形狀分析，給出了曲線上含有奇點(diǎn)，拐點(diǎn)和曲線為局部凸或全局凸的充分必要條件，

5、這些條件完全由控制多邊形和形狀參數(shù)決定。證明了擬三次非均勻B樣條基具有單位性，局部支撐性，線性無(wú)關(guān)性和全正性等性質(zhì)。相應(yīng)的擬三次非均勻B樣條曲線對(duì)單節(jié)點(diǎn)具有C2連續(xù)性，包含經(jīng)典的三次非均勻B樣條曲線為特例，且對(duì)特別的形狀參數(shù)取值，曲線可以達(dá)到C2∩FCk+3（k∈Z+）階連續(xù)性。基于擬三次Bernstein-Bézier基，給出了一類三角域上的擬三次Bernstein-Bézier曲面片。開(kāi)發(fā)了一種計(jì)算三角域上擬三次Bernstein-

6、Bézier曲面片的De Casteljau-type算法，并給出了G1光滑拼接兩張三角域上擬三次Bernstein-Bézier曲面片的充分條件。
　　(2)在擬三次三角函數(shù)空間Span{1，sin2 t，（1-sint）α，(1-cost)β}中運(yùn)用開(kāi)花方法構(gòu)造了一組帶兩個(gè)指數(shù)形狀參數(shù)的擬三次三角Bernstein基。基于擬三次三角Bernstein基，構(gòu)造了一類帶兩個(gè)局部指數(shù)形狀參數(shù)的擬三次三角非均勻B樣條基。利用張量積技巧

7、，構(gòu)造了一類矩形域上帶四個(gè)指數(shù)形狀參數(shù)的雙擬三次三角Bézier基。此外，將擬三次三角Bernstein基推廣至三角域上，構(gòu)造了一類三角域上帶三個(gè)指數(shù)形狀參數(shù)的擬三次三角Bernstein-Bézier基。
　　在擬擴(kuò)展切比雪夫空間理論框架下，證明了該擬三次三角Bernstein基構(gòu)成一組最優(yōu)規(guī)范全正基。開(kāi)發(fā)了一種高效和穩(wěn)定計(jì)算擬三次三角Bézier曲線的割角算法。給出了擬三次三角Bézier曲線精確表示任意一段橢圓弧和拋物弧的控

8、制點(diǎn)選擇方案。證明了新構(gòu)造的擬三次三角B樣條基具有單位性，局部支撐性，線性無(wú)關(guān)性和全正性等性質(zhì)。相應(yīng)的擬三次三角非均勻B樣條曲線對(duì)單節(jié)點(diǎn)具有C2∩ FC3連續(xù)性，且對(duì)均勻節(jié)點(diǎn)曲線可以達(dá)到C3甚至C5階連續(xù)性。給出了G1，G2，G3和G5光滑拼接兩張雙擬三次三角Bézier曲面片的充分條件。給出了雙擬三次三角Bézier曲面片精確表示橢球面片和拋物面片的控制點(diǎn)選擇方案?；跀M三次三角Bernstein-Bézier基，構(gòu)造了一類三角域上的

9、擬三次三角Bernstein-Bézier曲面片。該曲面片能夠用于生成邊界曲線為橢圓弧或拋物弧的三角曲面片。開(kāi)發(fā)了一種計(jì)算擬三次三角Bernstein-Bézier曲面片的De Casteljau-type算法。此外，推導(dǎo)出了G1光滑拼接兩張三角域上擬三次三角Bernstein-Bézier曲面片的充分條件。
　　(3)在一類帶有兩個(gè)指數(shù)形狀參數(shù)的擬四次三角函數(shù)空間Span{1，αsint(1-sint）α-1，βcost(1-c

10、ost)β-1，(1-sint)α，(1-cost)β}中構(gòu)造了一組與四次Bernstein基性質(zhì)類似的擬四次三角Bernstein基?；谠摂M四次三角Bernstein基，構(gòu)造了一類帶四個(gè)局部形狀參數(shù)的擬四次三角非均勻B樣條基。
　　由擬四次三角Bernstein基定義的擬四次三角Bézier曲線能夠精確表示橢圓弧和拋物弧。給出了擬四次三角非均勻B樣條基具有局部支撐性和線性無(wú)關(guān)性的充分條件。相應(yīng)的樣條曲線具有保單調(diào)性和保凸性，且

11、對(duì)特別的形狀參數(shù)取值，曲線可以達(dá)到C2∩ FC2k+3(k∈Z+)階連續(xù)性。利用擬四次三角非均勻B樣條基，無(wú)需求解線性方程組，通過(guò)改變局部形狀參數(shù)取值可靈活方便地生成逼近或插值控制點(diǎn)的C2連續(xù)樣條曲線。
　　(4)構(gòu)造了一類帶兩個(gè)局部形狀參數(shù)的四次有理插值樣條基。
　　無(wú)需求解線性方程組，該插值樣條可以達(dá)到C2連續(xù)。分析了該插值樣條的收斂性并給出了插值誤差公式，結(jié)果表明該插值樣條具有O(h2)逼近階。通過(guò)限制兩個(gè)局部形狀參數(shù)