曲線造型中關于擬合、參數化及形狀優(yōu)化問題的研究.pdf

1、計算機輔助設計和計算機輔助制造技術起源于航空工業(yè)，由于飛機的外形復雜，含有大量的自由曲線曲面，因此，CAD/CAM技術從一開始就與自由曲線曲面造型技術緊密的聯(lián)系在一起。至今，隨著計算機圖形學和計算機輔助設計與制造技術的不斷發(fā)展，曲線曲面造型技術在現代工業(yè)產品設計和制造中的應用越來越廣，在社會各行各業(yè)都得到了更為廣泛的應用，范圍覆蓋了航天技術、數字化城市、媒體設計、醫(yī)療可視化及工業(yè)產品設計等，并產生了巨大的經濟效益。其中在曲線造型技術中，

2、曲線擬合是一項古老而常用的技術，是模式識別、計算機視覺和逆向工程中的一項基本工作，CAD和CAGD中的許多問題都與擬合問題有關，在工程、統(tǒng)計和計算機圖形學等方面，曲線擬合有著廣泛的應用。其次，為了構造形狀較好的曲線，曲線參數化方法也是一個關鍵的問題，選擇合適的曲線參數化方法不僅會給多種操作帶來方便，而且會得到理想的曲線形狀。另外，曲線形狀優(yōu)化模型的選擇與構造也直接影響曲線造型的效果。近年來，對曲線造型問題的研究取得了大量的理論和應用成果

3、，但仍然有很多問題有待解決，例如如何較好的對平面上的散亂數據點進行曲線擬合，如何構造新的形狀優(yōu)化模型，使構造的曲線具有理想的形狀等都是目前研究的熱點問題，但仍然沒有很好的解決方法，因此有待我們進行更深一步的研究。
　　 基于以上研究問題，本文的工作主要圍繞三個方面展開討論:
　　 1）平面上散亂數據點的隱式二次曲線擬合方法研究;
　　 2）滿足端點約束和弦長參數的三次有理曲線的構造;
　　 3）曲線形狀和

4、優(yōu)化模型的關系討論。本文就這幾個問題的解決給出了新的理論和算法，具體的研究工作和成果包括:
　　 1、平面上散亂數據點的隱式二次曲線擬合方法
　　 對于平面上散亂數據點的隱式二次曲線擬合問題，選取數據點到擬合曲線的代數距離極小作為目標函數，提出了基于坐標變換和系數加權組合的兩種擬合方法。在基于坐標變換的擬合方法中，考慮到如果采用非凡何不變量的約束條件，在不同的坐標系下會得到不同的擬合結果這一事實，研究了如何對原始坐標系通

5、過平移和旋轉變換得到一個新的坐標系，在新坐標系下進行曲線擬合，然后把擬合曲線反變換到原始坐標系下，從而保證了擬合曲線的逼近效果更好。在系數加權組合的擬合方法中，首先對數據點分別做指定橢圓、雙曲線和拋物線形狀的曲線擬合，得到三組擬合曲線，然后對這三組曲線的系數加權組合，通過極小化點線間的代數距離平方和，得到最終的擬合曲線，這樣得到的曲線不僅能夠保持二次曲線數據點的來源形狀，而且可改進一般數據點的擬合效果。此外，針對較常用的橢圓擬合中存在的

6、高曲率偏差問題，提出了一種調整該偏差的新的目標函數。
　　 2、滿足端點約束和弦長參數的三次有理曲線的構造
　　 曲線弧長參數化是曲線造型中最好的選擇，但對于非線性多項式曲線及有理曲線，卻無法采用弧長參數，因此，人們經常用弦長參數來近似表示弧長參數，并應用于離散數據點的插值和逼近中。已有的研究工作給出了滿足弦長參數的三次有理Bezier曲線的構造方法，在該研究基礎上，我們通過分析其所構造曲線的三個性質，提出了滿足端點約束

7、和弦長參數的三次有理Bezier曲線的構造方法。該方法針對整個切矢角區(qū)域(α0，α1)∈[-π，π]×[-π，π]，采用的是分段曲線的構造思想，并且證明了曲線段數最多為三段，曲線整體滿足G1連續(xù)，在某些情況下滿足C1和G2連續(xù)。
　　 3、曲線形狀和優(yōu)化模型的關系
　　 在曲線造型問題中，曲線能量極小或曲率變化率極小是比較常用的形狀優(yōu)化模型。為討論曲線形狀和優(yōu)化模型的關系，我們分別以三次Hermite曲線和三次樣條曲線作

8、為研究目標。對于給定兩端點位置和切向的三次Hermite曲線的構造問題，分別以曲線能量極小和曲線曲率變化率極小作為目標函數，采用數值計算技術求解三次Hermite曲線的切矢模長，實驗結果表明，對于切矢角區(qū)域(θ，(φ))∈[-π，π]×[-π，π]:
　　 (1)很多情況下的三次Hermite曲線不能直接由極小化曲線能量或曲線曲率變化率構造出來;
　　 (2)通過求解曲線能量或曲率變化率的局部極值，可以構造大約60％的三