三角曲線與孤子方程的代數(shù)幾何解.pdf

1、偏微分方程的求解是一個(gè)在理論和實(shí)際應(yīng)用上都十分重要的研究課題,特別是顯式解的給出為方程的各種性質(zhì)的討論提供了強(qiáng)大的工具.另外,尋找孤子方程的代數(shù)幾何解具有重要的意義,它不僅可以揭示解的內(nèi)在結(jié)構(gòu),描述非線性現(xiàn)象的擬周期行為,還可以約化出孤子解、周期解、橢圓函數(shù)解等.在可積系統(tǒng)的理論中,代數(shù)幾何方法提供了求周期解和擬周期解的有效途徑,這些解可以借助Riemann面上的θ函數(shù)顯式給出.
　　 本文主要借助于代數(shù)幾何方法來(lái)求解幾個(gè)著名的

2、與3×3矩陣譜問題相聯(lián)系的孤子方程族,給出它們的代數(shù)幾何解.文中詳細(xì)討論的與3×3矩陣譜問題相聯(lián)系的孤子方程族分別是Hirota-Satsuma修正Boussinesq方程族,Mikhailov-Shabat-Sokolov方程族,Sawada-Kotera方程族和混合Boussinesq方程族.
　　 首先引入Lenard遞推方程,由此經(jīng)零曲率方程構(gòu)造與3×3矩陣譜問題相聯(lián)系的孤子方程族.接著,借助于定態(tài)方程的Lax矩陣的特征

3、多項(xiàng)式,定義一條算數(shù)虧格為m-1的m次三角曲線,其緊致化產(chǎn)生一個(gè)三葉Riemann面,并給出定態(tài)的Baker-Akhiezer函數(shù)和相應(yīng)的亞純函數(shù).隨著橢圓坐標(biāo)的引入,定態(tài)方程被分解成可解的Dubrovin-type常微分方程組.然后,構(gòu)造三類Abel微分,通過研究三類Abel微分和Bakcr-Akhiczer函數(shù)與亞純函數(shù)的漸近性質(zhì),利用代數(shù)幾何方法得到定態(tài)的Baker-Akhiczer函數(shù)和亞純函數(shù),尤其是整個(gè)方程族的位勢(shì)的顯式Ri