代數(shù)曲線與孤子方程的擬周期解.pdf

1、本文的主要內(nèi)容是基于代數(shù)曲線理論來研究孤子方程的Riemann theta函數(shù)表示形式的擬周期解，分別研究了Hu族，耦合修正Korteweg-de Vries族，Vakhnenko方程和一族新的耦合非線性演化方程等四個可積系統(tǒng).此外，為了將該領(lǐng)域的研究推廣到超可積系統(tǒng)中，本文還研究了兩個超可積系統(tǒng):超向量非線性Schr（o）dinger族和超耦合導(dǎo)數(shù)非線性Schr(o)dinger族.
　　第二章研究了Hu族流的拉直與擬周期解的構(gòu)

2、造，利用駐定情況的Lax矩陣的特征多項(xiàng)式構(gòu)造雙葉緊致Riemann面KN，在KN上研究亞純函數(shù)的漸近展式以及因子，給出了整個方程族流的拉直公式，借助于亞純函數(shù)的表示式，給出Hu族解的Riemann theta函數(shù)表示.
　　第三章到第五章分別構(gòu)造了耦合修正Korteweg-de Vries族，Vakhnenko方程和一族新的耦合非線性演化方程族的擬周期解，這三個問題共同的特點(diǎn)是與3×3矩陣譜問題相聯(lián)系，需要在三葉緊致Riemann

3、面上去考慮，與2×2的情況相比需要更大的計算量和更強(qiáng)的技巧性.利用零曲率方程導(dǎo)出非線性演化方程，通過駐定情況的Lax矩陣引入三葉緊致Riemann面，在其上定義Baker-Akhiezer函數(shù)及亞純函數(shù)，通過分析得到因子和漸近性質(zhì)，由Riemann-Roch定理給出Baker-Akhiezer函數(shù)和亞純函數(shù)的表示式，據(jù)此表示式得到非線性演化方程的擬周期解.與此同時，每一章又有各自的特點(diǎn).在第三章中，Riemann面具有三個無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，均不

4、為分支點(diǎn)，這種情況在三葉Riemann面的研究中很少.第四章研究的Vakhnenko方程為相應(yīng)方程族負(fù)冪流中的一個約化方程，引入的Riemann面具有一個無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，為三重分支點(diǎn)，在分析亞純函數(shù)的漸近展式時，需要同時考慮無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和零點(diǎn).第五章研究了一族新的耦合非線性演化方程族，相關(guān)的Riemann面具有兩個無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，其中一個是二重分支點(diǎn)，一個不是分支點(diǎn)，因此在局部坐標(biāo)的選取以及虧格的計算上都與第三章和第四章是不同的.
　　第六章從兩