15927.具有分布勢函數(shù)的sturmliouville問題的譜性質(zhì)

1、具具具有有有分分分布布布勢勢勢函函函數(shù)數(shù)數(shù)的的的SturmLiouville問問問題題題的的的譜譜譜性性性質(zhì)質(zhì)質(zhì)SpectralPropertiesofSturmLiouvilleProblemswithDistributionalPotentials一級學科：數(shù)學學科專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學研究生：閆軍指導教師：史國良教授天津大學理學院二〇一五年五月二十七日摘摘摘要要要作為常微分算子理論的起源SturmLiouville問題已經(jīng)發(fā)展成為數(shù)學界和

2、物理學界的一個非常重要的研究領(lǐng)域.眾所周知經(jīng)典的SturmLiouville理論是量子力學中描述微觀粒子狀態(tài)的主要數(shù)學工具在量子力學中為了描述微觀粒子之間的相互作用Schrodinger方程中的勢函數(shù)可以為廣義函數(shù)(例如Diracδ函數(shù))而此類問題超出了經(jīng)典的SturmLiouville理論的研究范圍.因此研究具有分布勢函數(shù)(勢函數(shù)為廣義函數(shù))的SturmLiouville問題就顯得尤為必要.本文主要研究具有分布勢函數(shù)的SturmLio

3、uville問題的譜性質(zhì)全文分為五個部分內(nèi)容如下:第一章為緒論部分敘述了問題的研究背景研究現(xiàn)狀以及本文的主要工作.第二章介紹了本文所涉及的基本概念以及相關(guān)性質(zhì).第三章討論了有限區(qū)間上具有分布勢函數(shù)的SturmLiouville問題的譜性質(zhì)主要圍繞自伴邊界條件下的第n個特征值關(guān)于算子的依賴性問題以及特征函數(shù)的振蕩性質(zhì)展開討論.首先研究第n個特征值關(guān)于邊界條件的連續(xù)性以及第n個特征值關(guān)于算子系數(shù)的連續(xù)性和可微性.其次討論不同自伴邊界條件下特

4、征值之間的不等式關(guān)系并由此分析特征函數(shù)的振蕩性質(zhì).本章將構(gòu)造一個經(jīng)典SturmLiouville算子序列使其在預(yù)解算子逼近的意義下收斂到具有分布勢函數(shù)的SturmLiouville算子從而得到該算子序列的特征值與具有分布勢函數(shù)的算子特征值之間的關(guān)系.本文利用這一新的思路展開研究推廣了經(jīng)典SturmLiouville算子的相關(guān)結(jié)果.此外本章最后一節(jié)還將利用所得結(jié)果研究一類具有轉(zhuǎn)移條件的SturmLiouville問題的譜性質(zhì).第四章主要研

5、究具有分布勢函數(shù)的SturmLiouville問題的有限譜理論.首先本章在減弱的算子系數(shù)條件下對分離型邊界條件下特征值的存在性以及特征函數(shù)的振蕩性質(zhì)進行研究.其次對區(qū)間進行分割并且使得系數(shù)在每個子區(qū)間上滿足一定的條件從而構(gòu)造具有有限多個特征值的SturmLiouville問題并且分析不同邊界條件下特征值之間的不等式關(guān)系.最后探討具有有限譜的SturmLiouville問題與矩陣特征值問題之間的關(guān)系.第五章主要考慮無窮區(qū)間上具有δ作用(δ