畢業(yè)論文---數(shù)列的差分及其教學研究

1、<p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　論文題目：數(shù)列的差分及其教學研究</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p&g

2、t;<b>　　1引言1</b></p><p><b>　　2數(shù)列的差分1</b></p><p><b>　　3遞推數(shù)列4</b></p><p>　　4數(shù)列的基本定理11</p><p><b>　　4.1數(shù)列11</b></p>

3、;<p>　　4.2等差數(shù)列11</p><p>　　4.3等差數(shù)列的前項和11</p><p>　　4.4等比數(shù)列12</p><p>　　4.5等比數(shù)列的前項和12</p><p>　　5數(shù)列通項公式的求法13</p><p><b>　　5.1觀察法13</b>&l

4、t;/p><p><b>　　5.2遞推法13</b></p><p>　　5.3轉化構造法14</p><p><b>　　5.4歸納法14</b></p><p>　　6差分與數(shù)列的教學設計研究15</p><p>　　6.1高中數(shù)列教學設計的內容15</p&

5、gt;<p>　　6.1.1知識結構15</p><p>　　6.1.2數(shù)學概念15</p><p>　　6.1.3數(shù)學公式15</p><p>　　6.1.4數(shù)學方法16</p><p>　　6.2數(shù)列教學涉及的因素分析16</p><p>　　6.2.1數(shù)列的教學設計思路17</p&

6、gt;<p>　　6.2.2數(shù)列教學設計的學法探討17</p><p>　　6.3對數(shù)列教學設計的實踐分析18</p><p>　　6.3.1探討最優(yōu)的教學設計18</p><p>　　6.3.2教學設計要適合學生18</p><p>　　6.3.3教學案例18</p><p><b>

7、;　　致 謝21</b></p><p><b>　　參考文獻21</b></p><p>　　數(shù)列的差分及其教學研究</p><p>　　摘要： 數(shù)列不僅是數(shù)學的基礎知識之一，蘊含著類比、猜想、歸納、遞歸等豐富的數(shù)學思想方法，而且數(shù)列知識在日常生活、社會實踐中有著廣泛的應用.同時，數(shù)列的教學也是培養(yǎng)觀察、分析、歸納、猜想、邏輯

8、推理以及運用數(shù)學知識提出問題、分析問題和解決問題的必不可少的重要途徑.差分是2003版《高中數(shù)學課程標準》中選修課程三中的一門選修知識，也是《高中數(shù)學課程標準》中較之原教大綱新增的內容之一，因此，有必要探討與數(shù)列相關的知識的聯(lián)系與教學規(guī)律.所以，研究數(shù)列的教學設計可以洞察高中數(shù)學教學設計的一般規(guī)律，進而在高中教學研究的理論與實踐之間架起一座更為堅實的橋梁.進行數(shù)列的教學設計，既要考慮到教學內容的特點，又要考慮到學生的因素，還與教師的教學

9、風格有關，要綜合多種因素，因情況而定，但好的教學設計就是既達到知識的傳授，又能對學生的能力發(fā)展有一定的促進作用.</p><p>　　關鍵詞：數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 差分 數(shù)列的教學研究</p><p>　　Difference of Sequence of number and its Teaching Research</p><p>　　Abstr

10、act: Sequence of number is not only one of the basic knowledge of mathematics, contains many ways of mathematical thinking, such as analogy, imagine, draw conclusions, recursive, but also, it has a wide range of applicat

11、ions in our everyday life. At the same time, the sequence teaching also is raises the observation, the analysis, the induction, the suspicion, the logical inference as well as using mathematics knowledge proposed the que

12、stion, the analysis question and solve the question ess</p><p>　　Keywords: Sequence of number；Arithmetic Sequence of number；Geometric Sequence of number； difference；Teaching Research of Sequence of number&l

13、t;/p><p><b>　　1引言</b></p><p>　　數(shù)學是一門邏輯性很強的基礎科學，人們運用通過數(shù)學推導出的種種概念、原理與規(guī)律指導日常生活.有人把數(shù)學對于人類的意義比作生活中不能缺少鹽一樣.離開了數(shù)學，人們的生活將寸步難行.數(shù)學早已確立了其在人類文明中的基礎地位，恩格斯說過，“一個學科成熟的標志，就是數(shù)學的介入.”這充分體現(xiàn)出了數(shù)學的重要性.自然科學和工程

14、領域中數(shù)學知識無處不在，甚至在人文學科中數(shù)學也扮演著越來越重要的角色.一切科學、技術的發(fā)展都需要數(shù)學，這是因為數(shù)學的抽象，使外表完全不同的問題之間有了深刻的聯(lián)系.因此數(shù)學是自然科學中最基礎的學科，因此常被譽為科學的皇后.</p><p>　　數(shù)列是一種特殊的函數(shù).有時候也把它稱為“離散”的函數(shù).它不僅是數(shù)學中一種重要的研究對象，也是研究數(shù)學問題的一種重要的方法和工具.數(shù)列不僅是數(shù)學的基礎知識之一，蘊含著類比、猜想

15、、歸納、遞歸等豐富的數(shù)學思想方法，而且數(shù)列知識在日常生活、社會實踐中有著廣泛的應用.同時，數(shù)列的教學也是培養(yǎng)觀察、分析、歸納、猜想、邏輯推理以及運用數(shù)學知識提出問題、分析問題和解決問題的必不可少的重要途徑.數(shù)學公式只是一些符號，學生記憶容易，但用起來困難，因此，公式的記憶要借助于對知識點的理解.在教學中，設置的問題由易到難，在解決問題過程中，一步一步引向要學的知識，讓學生在問題中尋找規(guī)律、方法，并加以總結，最后得到數(shù)列的公式；在課堂練習

16、中，增加討論、小節(jié)這一環(huán)節(jié)，幫助學生提高認識、歸納方法，通過分析公式中各個量，只要知道其中的任意幾個量就可以求另一個，如果是求兩個量，可以用公式聯(lián)立方法組解決問題.這樣，通過對問題解決方法的歸納，提高了學生的解題能力.</p><p>　　因而，研究數(shù)列的教學設計可以洞察高中數(shù)學教學設計的一般規(guī)律，進而在高中教學研究的理論與實踐之間架起一座更為堅實的橋梁.因此，進行數(shù)列的教學設計，既要考慮到教學內容的特點，又要考

17、慮到學生的因素，還與教師的教學風格有關，要綜合多種因素，因情況而定，但好的教學設計就是既達到知識的傳授，又能對學生的能力發(fā)展有一定的促進作用.</p><p><b>　　2數(shù)列的差分</b></p><p>　　通過學習數(shù)列的差分理解數(shù)列的一、二階差分，高階差分以及它們對描述數(shù)列變化的意義，結合數(shù)列，了解差分與數(shù)列并懂得運用差分的思想去解決一些常見的遞推數(shù)列.<

18、;/p><p>　　定義 對于數(shù)列，稱為的一階差數(shù)列，并稱</p><p>　　為的一階差分（簡稱差分）；</p><p><b>　　的一階差分</b></p><p><b>　　叫做的二階差分；</b></p><p>　　一般地，設是任一正整數(shù)，則稱</p>

19、<p>　　為的階差分，這里，.</p><p>　　由定義可以直接推出差分的如下性質.</p><p>　　定理 1 對于數(shù)列，，有</p><p>　?。?），這里，為常數(shù)；</p><p><b>　?。?），或；</b></p><p><b>　?。?）.</

20、b></p><p>　　證明：僅證（3）.由（2），有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　由定義可知，如果，，那么，</p>

21、;<p><b>　　.</b></p><p>　　例2.1 求數(shù)列的前項的和.</p><p><b>　　解 由 ，</b></p><p>　　得 ，</p><p><b>　　.</b></p><p>

22、;　　例2.1表明，公比不等于1的等比數(shù)列的一階差數(shù)列仍是等比數(shù)列，從而這種等比數(shù)列的任意階差數(shù)列都是等比數(shù)列.</p><p>　　定理 2 若是階等差數(shù)列，它的前項的和為，則是階等差數(shù)列，且</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明：因為是階等差數(shù)列，且前項的和為，顯然是階等差數(shù)列，</p><p

23、><b>　　又因為</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　例2.2 求3階等差數(shù)列前項的和.</p><p><b>　　解一 設</b></p><p&

24、gt;<b>　　，，</b></p><p><b>　　則 ，，，</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　根據(jù)定理 2，</b></p><p><b>　　.</b></p>

25、<p><b>　　解二 令</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　這就有 ，</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　3遞推數(shù)列</b><

26、/p><p>　　定義1 對任何自然數(shù)，由遞推關系</p><p>　　確定的數(shù)列叫做遞推數(shù)列.</p><p>　　例如，設 ，則確定數(shù)列的初始條件和遞推關系為</p><p><b>　　， ，；</b></p><p>　　或 ，，</p>

27、<p><b>　　，；</b></p><p>　　或 ，，，</p><p><b>　　，.</b></p><p>　　定義2 若數(shù)列自第項以后的任一項都是其前項的線性組合，即</p><p>　　，

28、 （I）</p><p>　　其中是任意自然數(shù)，是常數(shù)，且，則稱為階線性遞歸數(shù)列，（I）叫做的遞歸方程.</p><p>　　線性遞歸數(shù)列是經常遇到的數(shù)列.例如：</p><p>　　公比為的等比數(shù)列是一階線性遞歸數(shù)列，遞歸方程為</p><p><b>　　，，；</b></p>&l

29、t;p>　　一階等差數(shù)列是二階線性遞歸數(shù)列，遞歸方程為</p><p><b>　　，；</b></p><p>　　菲波那契（Fibonacci）數(shù)列也是二階線性遞歸數(shù)列，遞歸方程為</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　并且，；</b>

30、</p><p>　　二階等差數(shù)列是三階線性遞歸數(shù)列.</p><p>　　把（2），（4）加以推廣，有下面的</p><p>　　定理3 階等差數(shù)列是由遞歸方程</p><p>　　所確定的階線性遞歸數(shù)列.</p><p>　　證 對作數(shù)學歸納法.</p><p>　　當時，由（2）知結論成立

31、.</p><p>　　假定對階等差數(shù)列，結論成立.當是階等差數(shù)列時，是階等差數(shù)列，由歸納假定</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　即結論對階等差數(shù)

32、列也成立.</p><p>　　根據(jù)數(shù)學歸納法原理，定理3得證.</p><p>　　為了尋求（I）所確定數(shù)列的通項公式，我們指出如下事實:</p><p>　?。?）如果是由（I）所確定的個數(shù)列，是任意常數(shù)，那么也是由（I）確定的數(shù)列.</p><p>　?。?）令.代入（I），得</p><p><b>

33、　　，</b></p><p><b>　　上式兩邊除以，有</b></p><p>　　， （II）</p><p>　　可見，是方程（II）的根.</p><p>　　反過來，若是方程（II）的根，由知，并且適合（I）.</p><p>　

34、　所以，（I）確定等比數(shù)列的充要條件是為（II）的根.</p><p>　?。↖I）叫做（I）的特征方程.</p><p>　　定理4 若（II）有個相異的根，則（I）所確定遞歸數(shù)列的通項公式為，</p><p>　　其中是下面線性方程組的唯一解：</p><p>　　證 由前述兩點事實，可知是由（I）確定的數(shù)列.現(xiàn)在只要證明上面線性方程組有

35、唯一解.事實上，它的系數(shù)行列式為，這里</p><p>　　是級范德蒙行列式.因為均不為零，且互不相等，所以，于是上面方程組有唯一解.</p><p><b>　　例3.1 已知，，</b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　求.</b>&l

36、t;/p><p><b>　　解 特征方程</b></p><p>　　有兩個相異的根，，根據(jù)定理3，通項公式為</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　代入前兩項的值，得</b></p><p>　　解得

37、 ，.</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例3.2 已知，，，</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　求.</b></p><p><b>　　解 特征方程</b></

38、p><p>　　有三個相異的根，，.于是通項公式為</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　代入初始值，得</b></p><p>　　解得 ，，.</p><p><b>　　.</b>&l

39、t;/p><p>　　定理5 若（II）有重根，則（I）所確定的遞歸數(shù)列的通項公式為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中是下面線性方程組的唯一解：</p><p>　　證 這時，（II）是</p><p><b>　　，</b></p>

40、<p>　　即 .</p><p><b>　　相應的（I）為</b></p><p>　　. （7）設是階等差數(shù)列，根據(jù)定理3，是階線性遞歸數(shù)列，且</p><p>　　. （8）（8）

41、的兩邊同乘以，得</p><p>　　. （8） 于是適合（7）.</p><p>　　反之，若適合（7）.令，由（7）得（9），（9）的兩邊同時除以，得到（8）.根據(jù)定理3的逆定理，是階等差數(shù)列.</p><p>　　由多項式的因式分解的定理知，是的次多項式，所以</p><p><b>　　.

42、</b></p><p>　　代入前項的值，得定理3中線性方程組.它的系數(shù)行列式為，這里</p><p>　　是階范德蒙行列式，它的第二行諸元素互不相同，于是，又，所以定理3中的方程組有唯一解.</p><p>　　例3.3 已知，，，</p><p><b>　　，，</b></p><

43、p><b>　　求.</b></p><p><b>　　解 方程</b></p><p>　　有三重根，依定理3，</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中滿足方程組</b></p><p>

44、<b>　　解此方程組，得</b></p><p><b>　　，，，</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　定理6 若（II）有重根，重根，…，重根，則（I）所確定遞歸數(shù)列的通項公式為</p><p><b>　　，</b>

45、</p><p>　　其中是在上面通項公式中令，所得到的線性方程組的唯一解.</p><p>　　例3.4 已知，，，</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　求.</b></p><p><b>　　解 方程</b><

46、;/p><p>　　的根為，，根據(jù)定理6，</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中滿足方程組</b></p><p>　　解此方程組，得，，，</p><p><b>　　.</b></p><p>

47、　　例3.5 已知，，，</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　求.</b></p><p><b>　　解 特征方程</b></p><p>　　的根為，，，根據(jù)定理6，</p><p><b>　　.<

48、/b></p><p><b>　　代入初始條件，得</b></p><p><b>　　解得，，，.</b></p><p><b>　　其中是正整數(shù).</b></p><p>　　定理7 若是由（I）確定的階線性遞歸數(shù)列，它的前項的和為，則是階線性遞歸數(shù)列，其遞歸方程

49、為</p><p><b>　　.</b></p><p>　　例3.6 已知是線性遞歸數(shù)列，其特征方程為，這個數(shù)列的前項的和為，求證的特征方程為.</p><p>　　證 設是由（I）確定的階線性遞歸數(shù)列，則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　由定

50、理7可知的特征方程為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　即 ，</p><p>　　亦即 .</p><p><b>　　4數(shù)列的基本定理</b></p><

51、p><b>　　4.1數(shù)列</b></p><p>　　按一定次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項，各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，…，第項，….</p><p>　　數(shù)列的一般形式可以寫成</p><p><b>　　.</b></p><p>　　其

52、中是數(shù)列的第項.有時我們把上面的數(shù)列簡記作.如果數(shù)列的第項與之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.如果已知一個數(shù)列的通項公式，那么只要依次用1，2，3，…代替公式中的，就可以求出這個數(shù)列的各項.</p><p>　　如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.</p><

53、p><b>　　4.2等差數(shù)列</b></p><p>　　一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做這個等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示.</p><p>　　如果等差數(shù)列的首項是，公差是，那么等差數(shù)列的通項公式為</p><p><b>　　.</

54、b></p><p>　　4.3等差數(shù)列的前項和</p><p>　　設等差數(shù)列的前項和為，即</p><p><b>　　，</b></p><p>　　根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，可以得到前項和公式</p><p>　　即等差數(shù)列的前項和等于首末項的和與項數(shù)乘積的一半.</p>

55、<p>　　又因為 ，</p><p>　　所以上面的公式又可以寫成</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　4.4等比數(shù)列</b></p><p>　　一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個

56、數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示. 通項公式為 .</p><p>　　其中，與均不為.由于當時上面等式兩邊均為，即等式也成立，說明上面公式當時都成立，因而它就是等比數(shù)列的通項公式.</p><p>　　4.5等比數(shù)列的前項和</p><p>　　一般地，設有等比數(shù)列</p><

57、;p><b>　　，</b></p><p><b>　　它的前項和是</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　等比數(shù)列的前項和的公式</p><p><b>　　.</b></p><p>　　因

58、為 ，</p><p>　　所以上面的公式還可以寫成</p><p><b>　　.</b></p><p>　　5數(shù)列通項公式的求法</p><p>　　數(shù)列是高中數(shù)學的重點和難點，它方法靈活，技巧性強，往往難以把握，數(shù)列通項又是數(shù)列中的難中之難，同學們常常因不得解題要領而束手無策，那么，如何幫助大家系統(tǒng)的

59、掌握數(shù)列通項公式的求法呢？下面通過實例來展示常規(guī)題型的解法，希望能對大家有點幫助.</p><p><b>　　5.1觀察法</b></p><p>　　所謂觀察法，是通過觀察題目中數(shù)字的變化規(guī)律及位置特點，從而發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關系，把題目解答出來的一種解題方法.觀察要有次序，要看得仔細、真切，在觀察中想出道理、找出規(guī)律.</p><p>　　

60、例5.1 已知數(shù)列，寫出數(shù)列的一個通項公式.</p><p>　　解析 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列的各項由以下三部分組成的特征：符號、分子、分母，所以應逐個考察其規(guī)律.先看符號，第一項有點違反規(guī)律，需改寫為，由此整體考慮，得數(shù)列的符號規(guī)律是；再看分母，都是偶數(shù)，且呈現(xiàn)的數(shù)列規(guī)律是；最后看分子，其規(guī)律是每個分子的數(shù)比分母都小3，即.</p><p>　　所以數(shù)列的通項公式為</p>

61、<p><b>　　.</b></p><p><b>　　5.2遞推法</b></p><p>　　遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關系求問題解的一種方法.</p><p>　　例5.2 已知是首項為1的正項數(shù)列，并且</p><p><b>　　則它的通項公式<

62、/b></p><p>　　解析 對所給式子的左邊分解因式得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，.</b></p><p><b>　　又，故，</b></p><p><b>　　得公式.</b

63、></p><p>　　5.3轉化構造法 </p><p>　　構造法是數(shù)學解題中一種常見方法，體現(xiàn)了一種廣泛聯(lián)系與相互轉化的哲學思想．通過構造某種數(shù)學模型(如函數(shù)，數(shù)列，方程等)作為中介，實現(xiàn)條件與結論的聯(lián)系和轉化．因此構造法既是一種方法，更是一種思想．</p><p>　　例5.3 若中，，且（是正整數(shù)），則數(shù)列的通項公式</p><

64、p>　　解析，，兩邊取對數(shù)，得.</p><p>　　是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列.</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　5.4歸納法</b></p><p>　　歸納法或

65、歸納推理，有時叫做歸納邏輯，是論證的前提支持結論但不確保結論的推理過程.是指將一系列具體的內容按其不同的特點和規(guī)律分門別類的歸納在一起的方法.</p><p>　　例5.4 已知數(shù)列的地推公式是，且，，求數(shù)列的前5項，并推測數(shù)列的通項公式.</p><p><b>　　解析 由，，得</b></p><p><b>　　，</b

66、></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可歸納推測 .</b></p><p>　　6差分與數(shù)列的教學設計研究</p><p>　　6.1高中數(shù)列教學設計的內容</p&

67、gt;<p><b>　　6.1.1知識結構</b></p><p>　　數(shù)列這一章應主要包括一般的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及數(shù)列的應用四部分，重點是等差數(shù)列以及等比數(shù)列這兩個部分.數(shù)列這一部分主要是數(shù)列的概念、特點、分類以及數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩個部分內容主要介紹了兩類特殊數(shù)列的概念、性質、通項公式以及數(shù)列的前項和公式；數(shù)列的應用重點是新理念下研究性學習專題

68、，即數(shù)列在分期付款中的應用以及儲蓄問題.因此，數(shù)列的主要只是結構可以如下：</p><p><b>　　6.1.2數(shù)學概念</b></p><p>　　數(shù)學概念是反映數(shù)學對象本質屬性的思維形式，它的定義方式有描述性的，指明外種延的，有種概念加類差等方式.一個數(shù)學概念需要記住名稱，說出本質屬性，體會出所涉及的范圍，并應用概念準確進行判斷.數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、通項公

69、式等都屬于數(shù)學概念，而且都屬于陳述性概念，再設計這些概念的教學時，教師要注意向同學表明這些定義所揭露的概念的特點、本質，因為這些概念既是后續(xù)學習相應公式以及性質的基礎，更是同學們準確解題的依據(jù).</p><p><b>　　6.1.3數(shù)學公式</b></p><p>　　公式在一定的范圍內具有普遍適用性，因而也具有抽象性，公式中的字母代表一定范圍內的無窮多個數(shù).有的學

70、生在學習公式時，可以再短時間內掌握，而有的學生卻要翻來覆去地體會，才能跳出千變萬化的數(shù)字關系的泥堆里.數(shù)列主要設計到等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的前項和公式及其變形公式，等比數(shù)列通項公式，等比數(shù)列前項和公式及其變形公式.要使同學能牢固的記住并熟練應用這些公式就必須讓他們懂得公式的來龍去脈，掌握其推導思想及過程.數(shù)列里有很多的變形公式，因此，要明確哪個公式適用于哪種情形，以使解題變得簡單易行.</p><p>&l

71、t;b>　　6.1.4數(shù)學方法</b></p><p>　　數(shù)列中蘊含著多種數(shù)學思想及方法，如函數(shù)思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教學本身也包含著豐富的數(shù)學方法，掌握這些思想方法不僅可以增進對數(shù)列概念、公式的理解，而且運用數(shù)學思想方法解決問題的過程，往往能誘發(fā)知識的遷移，產生舉一反三、融會貫通的解決多數(shù)列的問題.在數(shù)列里主要用到了以下幾種數(shù)學方法：</p><p>

72、　　6.1.4.1不完全歸納法</p><p>　　不完全歸納法不但可以培養(yǎng)學生的數(shù)學直觀，而且可以幫助學生有效地解決問題，在等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項公式推導的過程就是用到了不完全歸納法.</p><p>　　6.1.4.2倒敘相加法</p><p>　　等差數(shù)列前項和公式的推導過程中，就根據(jù)等差數(shù)列的特點，很好的應用了倒敘相加法，而且很多問題都直接或間接地用到了這

73、種方法.</p><p>　　6.1.4.3錯位相減法</p><p>　　錯位相減法是另一種數(shù)列求和的方法，它主要應用于求和的項之間通過一定的變形可以相互轉化，并且是多個數(shù)求和的問題.等比數(shù)列的前項和公式的推導就用到了這種思想方法.</p><p>　　6.1.4.4函數(shù)的思想方法</p><p>　　數(shù)列本身就是一個特殊的函數(shù)，而且是離散

74、的函數(shù)，因此在解題過程中，尤其在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類特殊的數(shù)列時，可以將他們看成一個函數(shù)，進而運用函數(shù)的性質和特點來解決問題.</p><p>　　6.1.4.5方程的思想方法</p><p>　　數(shù)列涉及了多個關于首項、末項、項數(shù)、公差、公比、第項和前項和這些量的數(shù)學公式，而公式本身就是一個等式，因此，在球這些數(shù)學量的過程中，可將它們看成相應的已知量和未知數(shù)，通過公式建立關于求未

75、知量的方程，可以使解題變得清晰、明了，而且簡化了解題過程.</p><p>　　6.2數(shù)列教學涉及的因素分析</p><p>　　在數(shù)學知識體系內部，數(shù)列占據(jù)著非常重要的地位，而且在現(xiàn)實生活當中有著巨大的應用價值，對學生能力的培養(yǎng)也起到了不可估量的作用，因此要重視數(shù)列的教學.那么，在新的理念下，如何進行數(shù)列的教學設計才能將知識更好地傳給學生，才能對學生的發(fā)展有幫助，才可以稱得上是個好的教學

76、設計呢？哪些因素影響了數(shù)列的教學設計呢？</p><p>　　6.2.1數(shù)列的教學設計思路</p><p>　　教師是教學的實施者，是教學涉及的實踐者，尤其是優(yōu)秀的教師，他們積累了大量的教學經驗，因此有絕對充分的發(fā)言權：</p><p>　　6.2.1.1重視教學情境的設置以及教學案例的使用</p><p>　　要使學生學好數(shù)學，首先要培養(yǎng)學

77、生的學習興趣，而恰當?shù)慕虒W情境及教學案例的使用不但能更好的啟發(fā)學生，激發(fā)學生的學習興趣，而且有助于增強學生的應用意識.</p><p>　　6.2.1.2 對等差數(shù)列概念的教學，采用以學生為中心的教學設計風格更適合學生深刻理解知識</p><p>　　“等差數(shù)列”這個概念本身就很形象的描述了它的本質，因此應當創(chuàng)設恰當?shù)那榫?，讓學生在這個情境中自覺領會和發(fā)現(xiàn)知識的形成過程，在感悟的過程中深刻

78、體會其蘊含的數(shù)學思想和方法，理解知識的本質.在教學過程中應組織學生研究、討論，培養(yǎng)學生的合作意識和能力，在合作中發(fā)現(xiàn)學習的樂趣，從而提高學生的學習興趣，開發(fā)學生智力.</p><p>　　6.2.1.3 對等差數(shù)列通項公式推導的教學設計</p><p>　　等差數(shù)列通項公式的推導思想非常重要，他不但有助于理解公式，而且在以后的解題中也會用到，但只要通過適當?shù)闹v解，加以適當?shù)囊龑В瑢W生便能掌

79、握.而有的教師則持另一種觀點，他們認為，等差數(shù)列通項公式的推導思想并不是很順理成章，水到渠成的，單純的講解可能對有的學生來說很生澀，因此，有必要再這一教學環(huán)節(jié)設置適當?shù)那榫?，啟發(fā)與引導學生，這樣才能達到更佳的教學效果.</p><p>　　6.2.1.4 對等比數(shù)列的概念以及通項公式的教學，有多種教學設計風格</p><p>　　等比數(shù)列與等差數(shù)列雖然是兩類不同的數(shù)列，但是它們在研究方法、

80、性質上都有很多的共通之處.因此，等比數(shù)列的教學設計可以采用對比法，即在概念、性質、公式的教學過程當中對比著相應的等差數(shù)列的內容進行設計，這也符合心理學中順應教學法.有了等差數(shù)列的教學設計基礎，因此有的教師見意可采用類似等差數(shù)列相應知識的教學設計法，學生不但可以很容易的接受等比數(shù)列的內容，還可以加深學生對等差數(shù)列的理解，但兩種方法都各有自己的長處，教師可根據(jù)個人風格自己進行選擇設計，當然如果將兩種方法結合起來，針對不同的內容進行優(yōu)化設計，

81、可能會收到更好的效果.</p><p>　　6.2.2數(shù)列教學設計的學法探討</p><p>　　教學設計的對象是學生，最終的著眼點是為了學生的發(fā)展，因此從學生的角度出發(fā)考慮教學設計變得尤其重要.</p><p>　　6.2.2.1對于等差數(shù)列的概念以及通項公式的教學設計，學生更希望教師能給自己更多的參與空間.</p><p>　　比如對于等

82、差數(shù)列概念的教學，學生更期望老師能先列舉幾個等差數(shù)列的例子，讓同學思考、說出它的特點，找出規(guī)律，從而總結出什么是等差數(shù)列.因為作為高中生已經初步具備了一定的數(shù)學思維，已經學會了用思考、分析、理解去解決問題，這種求知的方式不僅能讓他們體會知識的形成過程，能深刻的理解與記憶知識，而且能夠提高他們分析問題、解決問題，以及戰(zhàn)勝困難的能力.</p><p>　　6.2.2.2數(shù)學史知識的引入可以提高學生的學習興趣</

83、p><p>　　數(shù)學史知識的適當引入不但能活躍課堂氣氛，調動大家學習的積極性，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，使枯燥的數(shù)學變得更加生動有趣，而且有助于他們更好的接納新知識，因此89.5%的學生都希望能在課堂上聽到教室講述有關的數(shù)學史知識.</p><p>　　6.3對數(shù)列教學設計的實踐分析</p><p>　　實踐是最好的問題發(fā)源地，何種類型的教學設計更容易讓學生接受，更易知識

84、的傳授，對學生的發(fā)展有幫助，要通過實踐才能得以驗證，為此觀察這一章的教學過程，有很大的啟發(fā)作用.</p><p>　　6.3.1探討最優(yōu)的教學設計</p><p>　　對數(shù)列的教學設計，不存在完全以“教”為中心，或以“學”為中心的極端教學設計風格.兩種風格的教學設計，并不是是我非你，是你非我的完全對立的關系，并不是一定要肯定一方，而否定另一方，采用哪種模式的教學設計，要針對不同的教學內容進

85、行選擇.比如等差數(shù)列前項和公式的推導課，一種是基于以教師的教為中心的風格，令一種是基于以學生的學為中心，兩種收到的效果也大相徑庭.第一種以降解為主，又由于本身能力所限，不能對學生進行很好的啟發(fā)、誘導，因此很難將同學們的思路引導正確的路線上來，以至于同學們表現(xiàn)得不夠積極，而且公式的推導也因為同學們的無法配合而顯得過于生硬、艱難；另一種則將公式推導與梯形面積公式的證明聯(lián)系起來，創(chuàng)設了恰當?shù)慕虒W情境，使公式的推導顯得簡單而水到渠成，而且同學們

86、表現(xiàn)得也非常積極，教學效果非常好.但是對于等比數(shù)列的概念的教學，兩種風格的教學設計若經過教師認真的思考，斟酌，都會是一個好的教學設計.</p><p>　　6.3.2教學設計要適合學生</p><p>　　教學設計最終是為學生服務的，而學生原有認知水平，認知結構，以及接受能力都會因人而異，對于水平相對弱些的學生，如果把課堂教給他們，讓他們自己去探索、發(fā)現(xiàn)知識可能會有一些困難，因此，對于這樣

87、的學生更適合傳統(tǒng)的講授式教學，這不但能讓他們在盡可能短的時間內掌握最基本的知識，而且通過強化，能幫助他們對知識的記憶.</p><p><b>　　6.3.3教學案例</b></p><p>　　如何沖洗衣服最干凈又不廢水</p><p><b>　　（一）問題的提出</b></p><p>　　我

88、們都知道水是可再生能源，但由于人們在生產、生活中的過度用水，導致了水資源的嚴重匱乏，有的地區(qū)還出現(xiàn)了定點供水的現(xiàn)象，有人甚至做過雖有些夸張但毫不危言聳聽的預測：“世界上的最后一滴水將會是人的眼淚”，因此節(jié)約水資源已經迫在眉睫.家庭用水是一筆不小的開支，而且中國是一個有著近 14 億人口的泱泱大國，如果每個家庭都為節(jié)約水資源貢獻一份力量，那么集體的力量是不可估量的.洗衣用水是每個家庭必不可少的，如果我們能找到一種可以使衣服洗得干凈，但用水

89、量卻最少的方法，并且將每個家庭都動員起來，這對中國的節(jié)水事業(yè)無疑是一個令人振奮的消息.</p><p>　　在洗衣服的過程中，人們把衣服洗干凈后，還要用大量的清水將洗衣粉等堿性物質</p><p>　　投洗掉，在投洗的過程中，通常有兩種處理方法：一種方法是每次只投洗盡可能少的衣</p><p>　　服，這樣可以減少投衣服次數(shù)，而另一種方法則是將同類衣服一起投洗.我們

90、所要關心</p><p><b>　　的是：</b></p><p>　　問題：如果在同樣的用水量下，哪種方法更容易將衣服洗干凈呢，更可取呢？</p><p><b>　?。ǘ﹩栴}的解決</b></p><p><b>　　1．活動設計</b></p><

91、p>　　將全班同學分成兩組，每組分得四個洗臉盆，其中一個盆中盛有 4000g 的水，四塊已被洗干凈但未經投洗的毛巾，每塊毛巾重 200g，所含洗衣粉重 10g.再將每個組分成A、B、C 三個小隊，其中 A 隊的同學負責實驗操作，B 隊的同學負責觀察對比，C 隊的同學負責數(shù)據(jù)的處理.第一組的同學采用第一種投洗衣服方式，由 A 隊的同學將水平均分成四份，分放在四個洗臉盆當中，將四塊毛巾單獨放入四個盆子當中進行清洗，洗完后將毛巾拿出，并

92、盡可能擰掉毛巾中所含的水.第二組的同學采用第二種投洗方式，由 A 隊的同學將四塊毛巾分四次一起進行投洗，每次的用水量相同.</p><p>　　2．問題解決的過程分析</p><p>　　每組 B 隊的同學將兩組投毛巾后的水進行對比，他們會發(fā)現(xiàn)，第二組的投洗毛巾后的水明顯要比第一組的水清凈，因此我們認為，第二種投衣服方式明顯要優(yōu)于第一種處理方式.由每組 C 隊的同學對數(shù)據(jù)進行分析計算，找出

93、問題的原因所在.</p><p>　　(1)對第一種處理方式的研究</p><p>　　第一塊毛巾投洗掉的洗衣粉重量為：,</p><p>　　所以第一塊毛巾經投洗后，四塊毛巾所含的洗衣粉的量約為：. </p><p>　　因為對四塊毛巾采用同樣的處理方法，所以第二塊毛巾經投洗后，四塊毛巾所含洗衣粉的重量約為：；同樣的計算方法，第三、四塊毛巾

94、經投洗后，所含洗衣粉的重量分別是：和.</p><p>　　由此可以看出，每塊毛巾經投洗后，四塊毛巾所含總的洗衣粉重量構成了一個以 40為首項，8.33 為公差的等差數(shù)列，其中 40g 是四塊毛巾最初的含洗衣粉量，8.33g 是每次投洗掉的洗衣粉的量，因此總的計算式為：</p><p>　　這種投洗衣服的數(shù)學模型為：設每塊毛巾（含水）重，有塊需要清洗，每塊毛巾中含洗衣粉，共有水.每次投洗后

95、毛巾所含總的洗衣粉重量構成了一個以為首項，為公差的等差數(shù)列，那么經次投洗后所含洗衣粉的重量，也就是數(shù)列的第項為：.</p><p>　　(2)對第二種處理方式的研究</p><p>　　經第一次投洗后，四塊毛巾所含洗衣粉的重量為：</p><p><b>　　;</b></p><p>　　經第二次投洗后，四塊毛巾所含洗

96、衣粉的重量為：</p><p><b>　　;</b></p><p>　　經第三次投洗后，四塊毛巾所含洗衣粉的重量為：</p><p><b>　　;</b></p><p>　　經第四次投洗后，四塊毛巾所含洗衣粉的重量為：</p><p><b>　　.<

97、/b></p><p>　　由數(shù)據(jù)的得出過程，可以清晰地看出，這是一個以 40 為首項，以即為公比的等比數(shù)列，因此，投洗后四塊毛巾所含的洗衣粉重量的總計算式為：</p><p>　　這種投洗衣服的數(shù)學模型為：設每塊毛巾（含水）重，有塊需要清洗，每塊毛巾中含洗衣粉，共有水.每次投洗后毛巾后，所含總的洗衣粉重量構成了一個以為首項，為公比的等比數(shù)列，那么經次投洗后所含洗衣粉的重量，也就是數(shù)

98、列的第項為：</p><p>　　經第二種投衣方式處理后，衣服中所含洗衣粉的量 1. 56g 明顯少于用第一種方式所得結果 6. 68g，因此，經過對比，我們發(fā)現(xiàn)，第二種投衣服方式雖然有些麻煩，而且需要人們更多的耐心和時間，但是它的效果要遠遠優(yōu)于第一種，可以用盡可能少的水將衣服洗得最干凈，這無疑給我們提供了一種可行的家庭節(jié)水方法，而且，如果將全國的人民一起動員起來，每個家庭在每次洗衣服時都采用這樣的處理方式，并一

99、貫堅持下去，積少成多，這種量的積累一定會達到質的飛躍.</p><p><b>　?。ㄈ┛偨Y與反思</b></p><p>　　在數(shù)學學習的過程中，學生往往感覺不到數(shù)學在現(xiàn)實生活中的應用性，本研究性學習課題是從學生所熟悉的生活實際出發(fā)，抽象出數(shù)學問題，再用數(shù)學方法讓學生動腦去解決，這不但大大激發(fā)了學生對數(shù)學學習的積極性，提高了問題解決的能力，而且讓學生親身體驗了數(shù)學

100、在實用價值.</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　首先要感謝我的指導老師，在本次畢業(yè)設計以及期間，XX老師給了我很多幫助.我從XX老師身上不僅學到了許多理論知識和技術，更重要的是學到了很多學習方法，并給了我很多有建設性的意見和建議.在此，感謝XX老師耐心的指導.同時我還要感謝在我大學四年的過程中，所有給予我?guī)椭母魑焕蠋熀屯瑢W，我的成長和進

101、步與你們的耐心幫助是分不開的.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]李興懷主編.金牌之路·競賽解題指導(高中數(shù)學) [M].西安：陜西師范大學出版社,2004</p><p>　　[2]曹汝成編著.組合數(shù)學[M].廣州：華南理工大學出版社，2000.1</p><p>　　[

102、3]Richard A. Brualdi,"Introductory Combinatorics[M].3rd 2002 reprint Edition"</p><p>　　[4]余元希，田萬海，毛宏德等.初等代數(shù)研究[M].高等教育出版社</p><p>　　[5]高中數(shù)學課程標準研制組.普通高中數(shù)學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2003 </p>