畢業(yè)論文--求函數(shù)極限的方法

1、<p><b>　　目 錄</b></p><p>　　摘 要…………………………………………………………………………………...….....1</p><p>　　Abstract…………………………………………………………………………………...........1</p><p>　　1 引 言……………………………………

2、………….……………………………….........2</p><p>　　2 求函數(shù)極限的方法…………………………....…………………………..........................2</p><p>　　2.1 利用定義求極限..........................................................................

3、...............................2</p><p>　　2.2 利用迫斂性求極限.....................................................................................................4</p><p>　　2.3 利用歸結(jié)原則求極限...............

4、..................................................................................4</p><p>　　2.4 利用洛比達(dá)法則求極限.............................................................................................5</p

5、><p>　　2.5 利用泰勒公式求極限.................................................................................................7</p><p>　　2.6 用導(dǎo)數(shù)的定義求極限........................................................

6、.........................................8</p><p>　　2.7 利用定積分求極限.....................................................................................................9</p><p>　　2.8 利用級(jí)數(shù)收斂的必要性求極限.

7、..............................................................................10</p><p>　　2.9 利用Stolz公式求極限...........................................................................................10</p&g

8、t;<p>　　3 總結(jié).......................................................................................................................................13</p><p>　　參考文獻(xiàn)……………………………………………………………………………………...13

9、</p><p><b>　　求函數(shù)極限的方法</b></p><p>　　摘 要：函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，它是微積分的理論基礎(chǔ)，所以求函數(shù)極限成為這一部分的重中之重.靈活掌握函數(shù)極限的求法是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).函數(shù)的極限有很多種求法，比如: 利用函數(shù)極限的定義、利用泰勒公式、利用洛必達(dá)法則、利用級(jí)數(shù)收斂性、利用Stolz公式等.</p>&

10、lt;p>　　關(guān)鍵詞: 函數(shù)極限; 洛必達(dá)法則; 泰勒公式; 級(jí)數(shù)收斂性; Stolz公式.</p><p>　　The Counting Methods of Function Limit</p><p>　　Abstract: Function limit which is an important part of advanced mathematics, is the the

11、oretical basis of calculus, Therefore, counting the function limit is a top priority for it. The flexibility to master the counting methods of the function limit is the foundation of learning advanced mathematics well. T

12、here are various ways to counting the function limit, such as using the definition of function limit, the Taylor's formula, the L'Hopital's rule, the series convergence, the Stolz formula and s</p><

13、;p>　　Key words: The function limit; the L'Hopital's rule; the Taylor's formula; the series convergence; the Stolz formula</p><p><b>　　引言</b></p><p>　　在自然科學(xué)、工程技術(shù)，甚至某些社會(huì)

14、科學(xué)中，函數(shù)是被廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)概念，從小學(xué)開始我們就已經(jīng)接觸到了函數(shù)，函數(shù)貫穿了我們整個(gè)的學(xué)習(xí)時(shí)段.既然函數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中處于核心地位，那么我們用什么方法來研究函數(shù)呢？這個(gè)方法就是極限.在數(shù)學(xué)分析與微積分學(xué)中，極限的概念占有主要的地位并以各種形式出現(xiàn)而貫穿全部?jī)?nèi)容，因此掌握好極限的求解方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和微積分的關(guān)鍵一環(huán).本文將通過一些典型例題來討論求函數(shù)極限的方法.</p><p><b>　　求函數(shù)極

15、限的方法</b></p><p><b>　　利用定義求極限</b></p><p>　　定義2.1.1(趨于時(shí)的函數(shù)極限)：函數(shù)在點(diǎn)的空心鄰域內(nèi)有定義，是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任意的正數(shù)，存在，使得當(dāng)時(shí)，都有，則稱趨向于的極限存在，且為，記作.</p><p>　　下面舉例說明如何根據(jù)定義來求這種函數(shù)極限，我們要特別注意的值是如何確

16、定的，它和有什么關(guān)系.</p><p>　　例2.1.1 證明 </p><p>　　證： ＞0， ＜成立，</p><p><b>　　解得 ＜</b></p><p>　　取于是存在0 ＜＜ ,</p><p><b>　　有＜</b></p><

17、p><b>　　故 </b></p><p>　　注：一般的取值要依賴于，但它不是由唯一確定的.在上例中還可以把取得更小一些，這取決于函數(shù)式放縮的程度.</p><p>　　定義2.1.2(趨向時(shí)的函數(shù)極限)：設(shè)為定義在上的函數(shù)，為定值，若對(duì)任給正數(shù)，存在正數(shù)(≥）使得當(dāng)＞時(shí)有 ＜.則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限，記作或.</p><p>　　趨向

18、于時(shí)的函數(shù)極限的定義與定義2.1.2相似，只要把定義中的＞改為即可.</p><p>　　下面同樣舉例說明用定義求這種函數(shù)極限的方法.</p><p>　　例2.1.2 證明 =</p><p>　　分析 這是一個(gè)關(guān)于自變量n趨向于無窮大的函數(shù)極限，n相當(dāng)于定義中的，先將函數(shù)式適當(dāng)放大，再根據(jù)函數(shù)定義求證函數(shù)極限.</p><p><

19、;b>　　證： ，</b></p><p><b>　　當(dāng) ，</b></p><p><b>　　有 ，</b></p><p><b>　　， </b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，有 </b></p>&l

20、t;p><b>　　故 =</b></p><p>　　注 1 在上式中運(yùn)用了適當(dāng)放大的方法，這樣求解比較簡(jiǎn)便.但要注意這種放大必須要“適度”，這樣才能根據(jù)給定的來確定N，同時(shí)要注意此題中的N不一定非要是整數(shù)，只要是正數(shù)即可.</p><p>　　注 2 函數(shù)在所求點(diǎn)的極限與函數(shù)在此點(diǎn)是否連續(xù)無關(guān)，函數(shù)極限表示的是自變量趨向某點(diǎn)時(shí)函數(shù)值的變化規(guī)律.<

21、;/p><p><b>　　利用迫斂性求極限</b></p><p>　　我們常說的迫斂性或夾逼定理：若有且 則.</p><p>　　例 2.2.1 求極限</p><p>　　分析： 即，易知關(guān)于單調(diào)遞增.</p><p><b>　　即得 </b></p>

22、<p>　　當(dāng)，上式左、右兩端各趨于0和1，似乎無法利用迫斂性，原因在于放縮太過粗糙，應(yīng)尋求更精致的放縮.</p><p>　　解： 對(duì)各項(xiàng)的分母進(jìn)行放縮，而同時(shí)分子保持不變. 就得如下不等關(guān)系：</p><p>　　令，上式左、右兩端各趨于，得</p><p><b>　　利用歸結(jié)原則求極限</b></p>&l

23、t;p>　　歸結(jié)原則 設(shè)在內(nèi)有定義，存在的充要條件是：對(duì)任何含于且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相等．</p><p>　　例 2.3.1 求極限</p><p>　　分析： 利用復(fù)合函數(shù)求極限，令，求解．</p><p>　　解： 令 ，則有</p><p><b>　??；，</b></p>

24、<p>　　由冪指函數(shù)求極限公式得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　故由歸結(jié)原則得</b></p><p>　　注 1 歸結(jié)原則的意義在于把函數(shù)歸結(jié)為數(shù)列極限問題來處理，對(duì)于，，和這四種類型的單側(cè)極限，相應(yīng)的歸結(jié)原則可表示為更強(qiáng)的形式．</p><p&

25、gt;　　注 2 若可找到一個(gè)以為極限的數(shù)列，使不存在，或找到兩個(gè)都以為極限的數(shù)列與，使與都存在而不相等，則不存在．</p><p>　　利用洛比達(dá)法則求極限</p><p>　　洛比達(dá)法則一般被用來求型不定式極限及型不定式極限．用此種方法求極限要求在點(diǎn)的空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且作分母的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不為零．</p><p>　　例 2.4.1 求極限</p&

26、gt;<p><b>　　解： 由于，且有</b></p><p><b>　　，，</b></p><p>　　由洛比達(dá)法則可得: </p><p>　　例 2.4.2 求極限</p><p>　　解： 由于，并有，，</p><p><b>

27、　　由洛比達(dá)法則可得：</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　由于函數(shù)，均滿足洛比達(dá)法則的條件，所以再次利用洛比達(dá)法則：</p><p>　　注 1 如果仍是型不定式極限或型不定式極限，只要有可能，我們可再次用洛比達(dá)法則，即考察極限是否存在，這時(shí)和在的某鄰域內(nèi)必須滿足洛比達(dá)法則的條件．</p&g

28、t;<p>　　注 2 若不存在，并不能說明不存在．</p><p>　　注 3 不能對(duì)任何比式極限都按洛比達(dá)法則求解，首先必須注意它是不是不定式極限，其次是否滿足洛比達(dá)法則的其他條件．比如這個(gè)簡(jiǎn)單的極限雖然是型，但若不顧條件隨便使用洛比達(dá)法則，就會(huì)因右式的極限不存在而推出原極限不存在的錯(cuò)誤結(jié)論．</p><p><b>　　利用泰勒公式求極限</b>

29、;</p><p>　　對(duì)于求某些不定式的極限來說，應(yīng)用泰勒公式比使用洛比達(dá)法則更為方便，下列為常用的展開式：</p><p><b>　　1、</b></p><p><b>　　2、</b></p><p><b>　　3、</b></p><p>

30、<b>　　4、</b></p><p><b>　　5、</b></p><p><b>　　6、</b></p><p>　　上述展開式中的符號(hào)都有:</p><p>　　例 2.5.1 求極限</p><p>　　分析：當(dāng)時(shí)，此函數(shù)為型未定式，滿

31、足洛必達(dá)法則求極限.若直接用洛必達(dá)法則就會(huì)發(fā)現(xiàn)計(jì)算過程十分復(fù)雜，稍不注意就會(huì)出錯(cuò).先用泰勒公式將分子展開，再求極限就會(huì)簡(jiǎn)潔的多.</p><p><b>　　解： </b></p><p><b>　　因此 </b></p><p>　　所以 </p><

32、;p><b>　　用導(dǎo)數(shù)的定義求極限</b></p><p>　　常用的導(dǎo)數(shù)定義式：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則下列式子成立：</p><p><b>　　1．，</b></p><p><b>　　2．．</b></p><p>　　其中是無窮小，可以是，的函數(shù)或其他表達(dá)式．&

33、lt;/p><p>　　例 2.6.1 求極限 </p><p>　　分析 此題是時(shí)型未定式，在沒有學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，針對(duì)本題的特征，對(duì)分母分子同時(shí)進(jìn)行有理化便可求解．但在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義式之后，我們也可直接運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義式來求解．</p><p><b>　　解： 令，　　則</b></p>&

34、lt;p><b>　?。?</b></p><p><b>　　利用定積分求極限</b></p><p>　　由定積分的定義知，若在上可積，則可對(duì)用某種特定的方法并取特殊的點(diǎn)，所得積分和的極限就是在上的定積分．因此，遇到求一些和式的極限時(shí)，若能將其化為某個(gè)可積函數(shù)的積分和，就可用定積分求此極限．這是求和式極限的一種方法．</p&g

35、t;<p>　　例 2.7.1 求極限</p><p>　　解： 對(duì)所求極限作如下變形：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　不難看出，其中的和式是函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)積分和，所以有</p><p>　　利用級(jí)數(shù)收斂的必要性求極限</p><p>　　給出一

36、數(shù)列，對(duì)應(yīng)一個(gè)級(jí)數(shù)，若能判定此級(jí)數(shù)收斂，則必有.由于判別級(jí)數(shù)收斂的方法較多，因而用這種方法判定一些以零為極限的數(shù)列極限較為方便.</p><p><b>　　例 2.8.1 </b></p><p>　　解：設(shè)，則級(jí)數(shù)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).</p><p><b>　　由比值審斂法：</b></p><p>

37、;　　所以 收斂，</p><p>　　所以 </p><p>　　利用Stolz公式求極限</p><p>　　Stolz公式和洛必達(dá)法則是求極限的有效方法，它們分別適用于數(shù)列和函數(shù)的情形.對(duì)于一些分子分母為求和式的比式極限題目用通常方法進(jìn)行證明是非常麻煩的，但是用

38、此定理就非常的簡(jiǎn)單了，而用此定理可使分子分母中的很多項(xiàng)消去從而簡(jiǎn)化計(jì)算，應(yīng)用比較方便.首先介紹一下此定理： </p><p>　　Stolz 定理1（）：已知兩個(gè)數(shù)列｛｝、{},數(shù)列{}嚴(yán)格單調(diào)上升，而且+，當(dāng)+,=,其中為有限數(shù)或?yàn)椋颍瓌t＝；</p><p>　　Stolz 定理2（）：已知兩數(shù)列{}、{}，0當(dāng)+；數(shù)列{}嚴(yán)格單調(diào)下降而且0當(dāng)+；= ，其中為有限數(shù)或?yàn)椋颍?則<

39、;/p><p>　　Stolz 定理的函數(shù)形式：</p><p>　　Stolz定理3（型）：若T>0為常數(shù)，</p><p><b>　　,,</b></p><p>　　+,當(dāng)+且,在[a, +]內(nèi)閉有界，即b>a,， 在[a ,b]上有界，</p><p><b>　?。?/p>

40、. </b></p><p><b>　　則＝</b></p><p>　　Stolz 定理4（）：若T>0為常數(shù)，</p><p><b>　　1)0 ，</b></p><p>　　2) =0, =0，</p><p><b>　　3) ＝.

41、</b></p><p>　　則,其中＝或有限數(shù)或</p><p>　　例 2.9.1 設(shè)求</p><p>　　證明： 因?yàn)閱握{(diào)遞增且趨于</p><p><b>　　又 </b></p><p>　　故由Stolz定理知: </p><p>

42、<b>　　=</b></p><p>　　例2.9.2 若在（a,）內(nèi)有定義，而且內(nèi)閉有界，即任意[]（a,）, 在[]上有界，則</p><p><b>　　1）＝[ - ] </b></p><p>　　2) ()= ,其中（>c>0）.</p><p>　　證明：1）從題意知

43、 令=,則,都符合定理的條件，令T=1所以可以直接套用定理，</p><p><b>　?。剑絒 - ],</b></p><p>　　2) 令y=(),則=, </p><p><b>　　== ＝，</b></p><p>　　由的連續(xù)性，所以 =</p><p>&l

44、t;b>　　得證.</b></p><p>　　從上可以看出利用Stolz定理求極限的形式是非常有規(guī)律的，我們要善于發(fā)現(xiàn)式子的規(guī)律，但應(yīng)具體問題具體分析，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)所要求極限式的特點(diǎn).</p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　本文比較全面地總結(jié)了求函數(shù)極限的方法，包括利用函數(shù)極限的定義、利用迫斂性、利用歸

45、結(jié)原則、利用洛比達(dá)法則、利用泰勒公式、利用導(dǎo)數(shù)的定義、利用定積分、利用級(jí)數(shù)收斂的必要性、利用Stolz公式，從而幫助我們解決求各類函數(shù)極限過程中所遇到的問題.對(duì)函數(shù)極限求解方法的討論是本文的核心點(diǎn)，但需要注意的是，實(shí)際求函數(shù)極限時(shí)并不是依靠單一方法，而是把多種方法加以綜合運(yùn)用.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn):</b></p><p>　　[1] 龔思德、劉序球

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47、97.</p><p>　　[5] 溫啟軍．高等數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)思考[J].長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào).2003：13（5），19～20.</p><p>　　[6] 陳剛、米平治.關(guān)于高等數(shù)學(xué)中極限思想的研究[J].工科數(shù)學(xué).2001：17（3），69～71.</p><p>　　[7] 杜吉佩、李廣全．高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社.2005.</p>&l