求函數(shù)極限的方法

1、1求函數(shù)極限的方法求函數(shù)極限的方法1.預備知識預備知識1.1函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義定義定義1設(shè)為定義在上的函數(shù)，為定數(shù)若對任給的，存在正f??a??A0??整數(shù)，使得當時有，則稱函數(shù)當趨于時以為極??Ma?xM???fxA???fx??A限記作：或??limxfxA????????fxAx????定義定義2設(shè)函數(shù)在點的某個空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù)，若f0x??00Ux?A對任給的，存在正數(shù)，使得當時有，則稱函0???????00x

2、x??????fxA???數(shù)當趨于時以為極限記作：或fx0xA??0limxxfxA??????0fxAxx??定義定義3設(shè)函數(shù)在（或）內(nèi)有定義，為定數(shù)若對任f??00Ux????00Ux??A給的，存在正數(shù)，使得當時（或）有0???????00xxx????00xxx????，則稱數(shù)為函數(shù)當趨于（或）時的右（左）極限記作：??fxA???Afx0x?0x?或????00limlimxxxxfxAfxA?????????????????

3、?????00fxAxxfxAxx??????1.2函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1（唯一性）（唯一性）若極限存在，則此極限是唯一的??0limxxfx?性質(zhì)性質(zhì)2（局部有界性）（局部有界性）若存在，則在的某空心鄰域內(nèi)有??0limxxfx?f0x??00Ux界性質(zhì)性質(zhì)3（局部保號性）（局部保號性）若（或），則對任何正數(shù)（或??0lim0xxfxA???0?rA?），存在，使得對一切有（或）rA????00Ux??ooxUx???

4、0fxr????0fxr???性質(zhì)性質(zhì)4（保不等式性）（保不等式性）設(shè)與都存在，且在某鄰域??0limxxfx???0limxxgx???00Ux?內(nèi)有，則????fxgx?????00limlimxxxxfxgx???性質(zhì)性質(zhì)5（迫斂性）（迫斂性）設(shè)，且在某鄰域內(nèi)有????00limlimxxxxfxgxA??????00Ux?32.2利用函數(shù)的連續(xù)性求極限利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例2求??4limtanxxx????解??43limt

5、antan444xxx?????????????????此題是利用函數(shù)的連續(xù)性求其極限，因為函數(shù)在處連????tanfxxx???4x??續(xù)，所以可把直接代入求極限若以后遇到此類函數(shù)可用此方法求其極限4x??2.3利用兩個重要極限求極限利用兩個重要極限求極限首先給出兩個重要極限的一般形式（1）；（2）0sinlim1xxx??1lim1xxex??????????例3求極限sinsinlimxaxaxa???解，cossinsinsin

6、sin222cos222xaxaxaxaxaxaxaxa????????????于是有sinsinsin2limlimcos22xaxaxaxaxaxaxa?????????sin2limcoslim22xaxaxaxaxa???????cosa?先利用和差化積對函數(shù)進行轉(zhuǎn)化，要使用，必須使函數(shù)中出現(xiàn)此類0sinlim1xxx??型的式子，如當時，此時，再進行求解xa?02xa??sin2lim12xaxaxa????例4求極限（為給定