求函數(shù)極限的方法

1、1求函數(shù)極限的方法求函數(shù)極限的方法1.預(yù)備知識預(yù)備知識1.1函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義定義定義1設(shè)為定義在上的函數(shù)，為定數(shù)若對任給的，存在正f??a??A0??整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極??Ma?xM???fxA???fx??A限記作：或??limxfxA????????fxAx????定義定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù)，若f0x??00Ux?A對任給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有，則稱函0???????00x

2、x??????fxA???數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限記作：或fx0xA??0limxxfxA??????0fxAxx??定義定義3設(shè)函數(shù)在（或）內(nèi)有定義，為定數(shù)若對任f??00Ux????00Ux??A給的，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)（或）有0???????00xxx????00xxx????，則稱數(shù)為函數(shù)當(dāng)趨于（或）時(shí)的右（左）極限記作：??fxA???Afx0x?0x?或????00limlimxxxxfxAfxA?????????????????

3、?????00fxAxxfxAxx??????1.2函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1（唯一性）（唯一性）若極限存在，則此極限是唯一的??0limxxfx?性質(zhì)性質(zhì)2（局部有界性）（局部有界性）若存在，則在的某空心鄰域內(nèi)有??0limxxfx?f0x??00Ux界性質(zhì)性質(zhì)3（局部保號性）（局部保號性）若（或），則對任何正數(shù)（或??0lim0xxfxA???0?rA?），存在，使得對一切有（或）rA????00Ux??ooxUx???

4、0fxr????0fxr???性質(zhì)性質(zhì)4（保不等式性）（保不等式性）設(shè)與都存在，且在某鄰域??0limxxfx???0limxxgx???00Ux?內(nèi)有，則????fxgx?????00limlimxxxxfxgx???性質(zhì)性質(zhì)5（迫斂性）（迫斂性）設(shè)，且在某鄰域內(nèi)有????00limlimxxxxfxgxA??????00Ux?32.2利用函數(shù)的連續(xù)性求極限利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例2求??4limtanxxx????解??43limt

5、antan444xxx?????????????????此題是利用函數(shù)的連續(xù)性求其極限，因?yàn)楹瘮?shù)在處連????tanfxxx???4x??續(xù)，所以可把直接代入求極限若以后遇到此類函數(shù)可用此方法求其極限4x??2.3利用兩個(gè)重要極限求極限利用兩個(gè)重要極限求極限首先給出兩個(gè)重要極限的一般形式（1）；（2）0sinlim1xxx??1lim1xxex??????????例3求極限sinsinlimxaxaxa???解，cossinsinsin

6、sin222cos222xaxaxaxaxaxaxaxa????????????于是有sinsinsin2limlimcos22xaxaxaxaxaxaxa?????????sin2limcoslim22xaxaxaxaxa???????cosa?先利用和差化積對函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要使用，必須使函數(shù)中出現(xiàn)此類0sinlim1xxx??型的式子，如當(dāng)時(shí)，此時(shí)，再進(jìn)行求解xa?02xa??sin2lim12xaxaxa????例4求極限（為給定