幾種求平面圖形面積的方法畢業(yè)論文

1、<p><b>　　畢 業(yè) 論 文</b></p><p>　　題 目：幾種求平面圖形面積的方法</p><p>　　學(xué)生姓名　 xxx 　　 指導(dǎo)教師　 xxx</p><p>　　系（部）　師范教育系 專 業(yè) 數(shù)學(xué)教育</p><p>　　班　　級(jí)　 　

2、 　 學(xué)　　號(hào) xxxxxx</p><p>　　提交日期 201 年 月 日 答辯日期 201 年 月 日</p><p>　　201 年 月 日</p><p>　　幾種求平面圖形面積的方法</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　本文研究

3、的主要問題是平面內(nèi)圖形面積的幾種解法，解題方法是指解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，總體上所采取的方針、原則和方案。不同題目通過分析條件與結(jié)論之間的差異，并不斷縮小目標(biāo)差來完成的。</p><p>　　關(guān)鍵詞：平面圖形 面積 </p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　現(xiàn)介紹幾種常用的方法……………………………………（1）</

4、p><p>　?。ㄒ唬┺D(zhuǎn)化法 …………………………………………………………（1）</p><p>　?。ǘ┖筒罘?…………………………………………………………（1）</p><p>　?。ㄈ┲丿B法 …………………………………………………………（2）</p><p>　?。ㄋ模┭a(bǔ)形法 …………………………………………………………（2）</

5、p><p>　?。ㄎ澹┢唇臃?…………………………………………………………（2）</p><p>　?。┨厥馕恢梅?……………………………………………………（3）</p><p>　?。ㄆ撸┐鷶?shù)法 …………………………………………………………（3）</p><p>　?。ò耍┲苯亲鴺?biāo)系-積分法 …………………………………………（4）</

6、p><p>　　1、巧選積分變量 ………………………………………………（4）</p><p>　　2、巧用對(duì)稱性 …………………………………………………（5）</p><p>　　參考文獻(xiàn) ……………………………………………（6）</p><p><b>　?。ㄒ唬┺D(zhuǎn)化法</b></p><p>　　

7、此法就是通過等積變換、平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)等方法將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成面積相等的規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的面積公式，計(jì)算出所求的不規(guī)則圖形的面積。</p><p>　　例1. 如圖1，點(diǎn)C、D是以AB為直徑的半圓O上的三等分點(diǎn)，AB=12，則圖中由弦AC、AD和圍成的陰影部分圖形的面積為_________。</p><p>　　分析：連結(jié)CD、OC、OD，如圖2。易證AB//CD，則的面積相等，

8、所以圖中陰影部分的面積就等于扇形OCD的面積。</p><p><b>　　易得，故。</b></p><p><b>　　和差法</b></p><p>　　有一些圖形結(jié)構(gòu)復(fù)雜，通過觀察，分析出不規(guī)則圖形的面積是由哪些規(guī)則圖形組合而成的，再利用這些規(guī)則圖形的面積的和或差來求，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。</p>

9、<p>　　例2. 如圖3是一個(gè)商標(biāo)的設(shè)計(jì)圖案，AB=2BC=8，為圓，求陰影部分面積。</p><p>　　分析：經(jīng)觀察圖3可以分解出以下規(guī)則圖形：矩形ABCD、扇形ADE、。所以，。</p><p><b>　?。ㄈ┲丿B法</b></p><p>　　就是把所求陰影部分的面積問題轉(zhuǎn)化為可求面積的規(guī)則圖形的重疊部分的方法。這類題

10、陰影一般是由幾個(gè)圖形疊加而成。要準(zhǔn)確認(rèn)清其結(jié)構(gòu)，理順圖形間的大小關(guān)系。</p><p>　　例3. 如圖4，正方形的邊長(zhǎng)為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)作半圓，求所圍成陰影部分圖形的面積。</p><p>　　解：因?yàn)?個(gè)半圓覆蓋了正方形，而且陰影部分重疊了兩次，所以陰影部分的面積等于4個(gè)半圓的面積和與正方形面積的差。故。</p><p><b>　?。ㄋ模┭a(bǔ)

11、形法</b></p><p>　　將不規(guī)則圖形補(bǔ)成特殊圖形，利用特殊圖形的面積求出原不規(guī)則圖形的面積。</p><p>　　例4. 如圖5，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，A=60°，B=D=90°，求四邊形ABCD所在陰影部分的面積。</p><p>　　解：延長(zhǎng)BC、AD，交于點(diǎn)E，因?yàn)椋越荅等于30°，又，

12、易求得，所以</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　?。ㄎ澹┢唇臃?lt;/b></p><p>　　例5. 如圖6，在一塊長(zhǎng)為a、寬為b的矩形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路任何地方的水平寬都是c個(gè)單位），求陰影部分草地的面積。</p><p>　　解：（1）將“小路”沿著

13、左右兩個(gè)邊界“剪去”；（2）將左側(cè)的草地向右平移c個(gè)單位；（3）得到一個(gè)新的矩形（如圖7）。由于新矩形的縱向?qū)捜匀粸閎，水平方向的長(zhǎng)變成了，所以草地的面積為。</p><p><b>　?。┨厥馕恢梅?lt;/b></p><p>　　例6. 如圖8，已知兩個(gè)半圓中長(zhǎng)為4的弦AB與直徑CD平行，且與小半圓相切，那么圖中陰影部分的面積等于_______。</p>

14、;<p>　　分析：在大半圓中，任意移動(dòng)小半圓的位置，陰影部分面積都保持不變，所以可將小半圓移動(dòng)至兩個(gè)半圓同圓心位置（如圖9）。</p><p>　　解：移動(dòng)小半圓至兩半圓同圓心位置，如圖9。設(shè)切點(diǎn)為H，連結(jié)OH、OB，由垂徑定理，知。又AB切小半圓于點(diǎn)H，故，故</p><p><b>　?。ㄆ撸┐鷶?shù)法</b></p><p>

15、　　將圖形按形狀、大小分類，并設(shè)其面積為未知數(shù)，通過建立方程或方程組來解出陰影部分面積的方法。</p><p>　　例7. 如圖10，正方形的邊長(zhǎng)為a，分別以兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)為圓心、以a為半徑畫弧，求圖中陰影部分的面積。</p><p>　　解：設(shè)陰影部分的面積為x，剩下的兩塊形狀、大小相同的每塊面積為y，則圖中正方形的面積是，而是以半徑為a的圓面積的。故有，。解得。即陰影部分的面積是。<

16、;/p><p>　?。ò耍┲苯亲鴺?biāo)系-積分法</p><p>　　求平面圖形的面積是定積分在幾何中的重要應(yīng)用.把求平面圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求定積分問題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.求解此類題常常用到以下技巧.</p><p><b>　　1、巧選積分變量</b></p><p>　　求平面圖形面積時(shí)，要注意選擇積分變量，以

17、使計(jì)算簡(jiǎn)便.</p><p>　　例8 求拋物線與直線圍成的平面圖形的面積．</p><p>　　解析：如圖1，解方程組得兩曲線的變點(diǎn)為．</p><p>　　方法一：選取橫坐標(biāo)為積分變量，則圖中陰影部分的面積應(yīng)該是兩部分之和，即．</p><p>　　方法二：選取縱坐標(biāo)為積分變量，則圖中陰影部分的面積可據(jù)公式求得，即．</p>

18、<p>　　點(diǎn)評(píng)：從上述兩種解法可以看出，對(duì)y積分比對(duì)x積分計(jì)算簡(jiǎn)捷.因此，應(yīng)用定積分求平面圖形面積時(shí)，積分變量的選取是至關(guān)重要的.但同時(shí)也要注意對(duì)y積分時(shí)，積分函數(shù)應(yīng)是，本題須將條件中的曲線方程、直線方程化為的形式，然后求得積分．另外還要注意的是對(duì)面積而言，不管選用哪種積分變量去積分，面積是不會(huì)變的，即定積分的值不會(huì)改變.</p><p><b>　　2、巧用對(duì)稱性</b>&

19、lt;/p><p>　　在求平面圖形面積時(shí)，注意利用函數(shù)的奇偶性等所對(duì)應(yīng)曲線的對(duì)稱性解題，也是簡(jiǎn)化計(jì)算過程的常用手段. </p><p>　　例9 求由三條曲線所圍圖形的面積.</p><p>　　解析：如圖2，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，根據(jù)對(duì)</p><p>　　稱性，只算出軸右邊的圖形的面積再兩倍即可．</p><p>　　解方

20、程組和得交點(diǎn)坐標(biāo) ．</p><p>　　方法一：選擇為積分變量，</p><p><b>　　則．</b></p><p>　　方法二：可以選擇y為積分變量，求解過程請(qǐng)同學(xué)們自己完成.</p><p>　　點(diǎn)評(píng)：對(duì)稱性的應(yīng)用和積分變量的選取都影響著計(jì)算過程的繁簡(jiǎn)程度.</p><p>　　

21、平面圖形面積的傳統(tǒng)教學(xué)過程中，教師們常重結(jié)果而非過程，教師恨不得把所有的數(shù)學(xué)知識(shí)都灌輸?shù)綄W(xué)生的腦子里，這種教法實(shí)際上是孤立地傳授知識(shí)的細(xì)節(jié)部分，缺乏對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體聯(lián)系。新課程主張，“重結(jié)果更重過程，過程比結(jié)果更重要”，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成與應(yīng)用過程，在知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法。特別對(duì)于平面圖形的面積的求解中應(yīng)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法和空間的想象能力。</p><p>　　在教學(xué)中，一方面要講清數(shù)學(xué)概念

22、，另一方面要引導(dǎo)學(xué)生挖掘其中的解題過程。有的時(shí)候再解題時(shí)可能會(huì)發(fā)生題中所給的信息中產(chǎn)生信息，從同一來源產(chǎn)生各種各樣為數(shù)眾多的信息。即從問題的多種可能方向擴(kuò)散出去，探索問題的多種解法?？墒顾季S廣闊，對(duì)一個(gè)問題能根據(jù)客觀情況的變化而變化。在學(xué)生的腦海中形成解題的三步曲：觀察—聯(lián)想—轉(zhuǎn)化，通過對(duì)題目的觀察，由概念、原理、法則的接近而產(chǎn)生的聯(lián)想，由命題的已知條件和結(jié)論的外表形態(tài)與結(jié)構(gòu)特征，想到相關(guān)的、相似的定義、定理、公式和圖形等，通過變化使面

23、臨的問題轉(zhuǎn)化為自己會(huì)解決的問題。上面例題解答方法中就是通過這樣的模式在學(xué)生思維中轉(zhuǎn)化，從而在學(xué)生思維中形成獨(dú)立的、連動(dòng)的、多向的、跨越的、綜合的網(wǎng)絡(luò)模式，從三個(gè)層次進(jìn)行解答，即一般性解決、功能性解決和特殊性解決。如上的例題中都是從這三個(gè)層次分析解答的。</p><p>　　不管是平面圖形還是其他問題，解題的目的有三個(gè)方面：知識(shí)基礎(chǔ)性、方法技能性、觀念意識(shí)性，分別對(duì)應(yīng)著認(rèn)識(shí)論、方法論、世界觀。分四點(diǎn)來論述:一、加深

24、理解概念，鞏固拓展知識(shí)；二、掌握數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)技能；三、領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練思維品質(zhì)；四、發(fā)展個(gè)性心理，形成科學(xué)精神。</p><p>　　建議在平時(shí)教學(xué)中從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，在充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用的前提下，善于激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的求知欲和學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生積極開展思維活動(dòng)，主動(dòng)獲得知識(shí)的意識(shí)，有利于注重調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性,引導(dǎo)他們獨(dú)立思考,積極探索,生動(dòng)活潑地學(xué)習(xí),自覺地掌握科學(xué)知識(shí)，提高分析問題、解決問題的

25、能力，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體特性。學(xué)生只有主動(dòng)參與其中,親身感受、體會(huì)、思索、提煉才能逐步領(lǐng)悟、形成、掌握數(shù)學(xué)思想方法。</p><p>　　致謝：感謝xxx老師對(duì)我論文的精心指導(dǎo)。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]鄭毓信，肖柏榮，熊萍著.數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法論四川：四川教育出版社，2001.</p&g