畢業(yè)論文--無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的若干方法

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p>　　題　　目 無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的若干方法 </p><p>　　學(xué)生姓名　 </p><p>　　專業(yè)名稱　 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的若干方法</p><

2、p>　　摘 要：本文介紹了十種無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的方法，并通過(guò)舉例說(shuō)明這些方法的應(yīng)用. </p><p>　　關(guān)鍵詞：無(wú)窮級(jí)數(shù)；級(jí)數(shù)收斂；級(jí)數(shù)發(fā)散；求和</p><p>　　無(wú)窮級(jí)數(shù)包括數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).它是表示函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要工具，也是對(duì)函數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一個(gè)重要手段.我們較常見到的無(wú)窮級(jí)數(shù)求和多為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)的求和，無(wú)窮級(jí)數(shù)求和問(wèn)題是無(wú)窮級(jí)數(shù)中的難點(diǎn)，因此這里給出的十種方法

3、主要是針對(duì)上述兩種級(jí)數(shù)，并通過(guò)例題講述這些求和方法的應(yīng)用.</p><p><b>　　1 定義法[1]</b></p><p>　　這是利用無(wú)窮級(jí)數(shù)和的定義來(lái)求級(jí)數(shù)和的一種方法，這種方法用于級(jí)數(shù)前項(xiàng)部分和數(shù)列比較好求的級(jí)數(shù)，在此我又把其分為以下三類.</p><p>　　(1) 直接法：適用于為等差或等比級(jí)數(shù)或通過(guò)簡(jiǎn)單變換易化為這兩種級(jí)數(shù)

4、.</p><p>　　例1 求級(jí)數(shù) 的和，.</p><p>　　解 (1)</p><p>　　中各項(xiàng)的系數(shù)1、3、5、是公差為2的等差數(shù)列，(1)的兩邊同乘以得： (2)</p><p><b&g

5、t;　　(1)－(2)得：</b></p><p><b>　　因?yàn)?，所?lt;/b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　(2) 拆項(xiàng)法：. </p><p>　　例2 求級(jí)數(shù)的和.</p><p><b>　　解 <

6、/b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　(3) 遞推法：是利用問(wèn)題本身所具有的遞推關(guān)系來(lái)求解問(wèn)題的一種方法.</p><p>　　例3

7、 求級(jí)數(shù)的和.</p><p><b>　　解 </b></p><p>　　由數(shù)學(xué)歸納法可證： </p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　.</b></p

8、><p>　　2 阿貝爾法[2]（即構(gòu)造冪級(jí)數(shù)法）</p><p>　　若級(jí)數(shù)收斂，則.由構(gòu)造一個(gè)冪級(jí)數(shù)是很簡(jiǎn)單的，而冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)可通過(guò)逐項(xiàng)微分或積分得到，故易得的和.</p><p><b>　　例4 級(jí)數(shù)的和.</b></p><p><b>　　解 令,. </b></p>

9、<p>　　之所以這樣構(gòu)造冪級(jí)數(shù),是為了消去系數(shù)中的因子.逐項(xiàng)積分</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　上式兩邊對(duì)求導(dǎo): ,</p><p>

10、;<b>　　故</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　3 逐項(xiàng)微分法[2]</p><p>　　由于冪函數(shù)在微分時(shí)可以產(chǎn)生一個(gè)常系數(shù)，這便為我們處理某些冪函數(shù)求和問(wèn)題提供方法.當(dāng)然從實(shí)質(zhì)上講，這是求和運(yùn)算與求導(dǎo)（微分）運(yùn)算交換次序問(wèn)題，因而應(yīng)當(dāng)心冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間（對(duì)后面的逐項(xiàng)積分法亦如此）

11、.</p><p>　　例5 級(jí)數(shù) 的和函數(shù)，其中.</p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　令,.</b></p><p><b>　　由,則;</b></p><p><b>　　類似地,</b>

12、;</p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　有時(shí)候，所求級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為另一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而以這些函數(shù)為通項(xiàng)的級(jí)數(shù)易于求和，則可將這些函數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo).</p><p>　　例6 求級(jí)數(shù)的和函數(shù)，在區(qū)間內(nèi).</p><p>

13、;<b>　　解 </b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　4 逐項(xiàng)積分法</b></p><p>　　同逐項(xiàng)微分法一樣，逐項(xiàng)積分法也是級(jí)數(shù)求和的一種重要方法，這里當(dāng)然也是運(yùn)用函數(shù)積分時(shí)產(chǎn)生的常系數(shù)，而使逐項(xiàng)積分后的新級(jí)數(shù)便于求和.</p><

14、;p>　　例7 求級(jí)數(shù)的和函數(shù)，這兒.</p><p><b>　　解 令,.</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　故</b></p><p>

15、;<b>　　,</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　5 逐項(xiàng)微分、積分</p><p>　　有時(shí)在同一個(gè)級(jí)數(shù)求和式中既需要逐項(xiàng)微分,又需要逐項(xiàng)積分,這往往是將一個(gè)級(jí)數(shù)求和問(wèn)題化為兩個(gè)級(jí)數(shù)求和問(wèn)題才會(huì)遇到

16、.</p><p>　　例8 求級(jí)數(shù)的和函數(shù)，這兒.</p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　6 通過(guò)函數(shù)展開法</p><p>　　數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和也可通過(guò)函數(shù)冪級(jí)數(shù)或傅里葉級(jí)數(shù)展開后賦值而得到（當(dāng)然它們常與

17、冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分、積分技巧配合使用）.</p><p>　　(1) 冪級(jí)數(shù)的賦值法：根據(jù)所給數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)容易求和的冪級(jí)數(shù)，在此冪級(jí)數(shù)的收斂域內(nèi)有一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)所得的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)恰是要求和的級(jí)數(shù).設(shè)所求級(jí)數(shù)的和為，冪級(jí)數(shù)的和為，則.</p><p>　　例9 求級(jí)數(shù)的和.</p><p><b>　　解 作,由,</b></p>

18、;<p><b>　　則 </b></p><p><b>　　令,則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　(2) 傅里葉級(jí)數(shù)的賦值法：利用函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開再賦值是求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的一個(gè)重要手段.</p><p>　　例10

19、 求級(jí)數(shù)的和.</p><p>　　解 把在上展成余弦級(jí)數(shù)</p><p><b>　　令,則 ,</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　7 復(fù)數(shù)法[1]（三角級(jí)數(shù)求和法）<

20、/p><p>　　這是求三角級(jí)數(shù)和常用的方法，為了求級(jí)數(shù)及的和，常把它們視為復(fù)數(shù)域內(nèi)的冪級(jí)數(shù)（其中）的實(shí)部和虛部.如果的和好求，則級(jí)數(shù)及級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題就已解決.</p><p>　　例11 求級(jí)數(shù)的和函數(shù).</p><p><b>　　解 ,其中</b></p><p><b>　　令 ,</b

21、></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　8 積分法</b></p><p>　　(1) [2]積分概念實(shí)際上可視

22、為無(wú)窮級(jí)數(shù)求和概念的拓廣，但相對(duì)來(lái)說(shuō)，定積分較無(wú)窮級(jí)數(shù)好處理，因而有些級(jí)數(shù)求和問(wèn)題可化為定積分問(wèn)題去考慮，但它與定積分的遞推公式有關(guān).</p><p>　　例12 求級(jí)數(shù)的和.</p><p><b>　　解 令,考慮到.</b></p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，由于，故,</b></p><p&

23、gt;<b>　　于是，即，又，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　綜合上兩式有 ,故.再者遞推可有</p><p>　　, (3)</p><p>　　

24、又.將(3)式兩邊取極限且</p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　(2)[3]利用公式，.</p><p>　　來(lái)求無(wú)窮級(jí)數(shù)的和，當(dāng)、為非負(fù)整數(shù)時(shí)，利用此公式求級(jí)數(shù)的和特別簡(jiǎn)單，下面我們驗(yàn)證此公式的正確性.</p><

25、p><b>　　作函數(shù) </b></p><p><b>　　由于，故</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　,</b></p>&

26、lt;p><b>　　所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　例13 求級(jí)數(shù)的和.</p><p>　　解 此級(jí)數(shù)與上面公式比較知從而</p><p><b>　　.</b></p><p>　　9 化為微分

27、方程求解</p><p>　　有些級(jí)數(shù)的和函數(shù)經(jīng)過(guò)微分后，再與原來(lái)的級(jí)數(shù)作某種運(yùn)算后，可以組成一個(gè)簡(jiǎn)單的微分方程，這樣級(jí)數(shù)求和問(wèn)題就化為微分方程的求解問(wèn)題.</p><p>　　例14 求的和函數(shù)，.</p><p><b>　　解 設(shè),考慮到,</b></p><p><b>　　則</b>&

28、lt;/p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　又，則，這樣可有</b></p><p><b>　　.</b&g

29、t;</p><p>　　10 利用無(wú)窮級(jí)數(shù)的乘積[2]</p><p>　　有些級(jí)數(shù)可視為兩個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的乘積，這時(shí)便可將所求級(jí)數(shù)和問(wèn)題化為先求兩個(gè)級(jí)數(shù)積（當(dāng)然它們應(yīng)該好求），再計(jì)算它們的乘積，當(dāng)然這基于下面的結(jié)論：</p><p>　　若級(jí)數(shù)與均收斂，又也收斂，其中,則.</p><p>　　若,都收斂且至少其中之一絕對(duì)收斂，其中收斂于.

30、</p><p>　　例15 求級(jí)數(shù)的和函數(shù)，其中.</p><p>　　解 考慮為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)，且收斂，這里.</p><p><b>　　又,</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　,</b></p&g

31、t;<p><b>　　再由</b></p><p><b>　　,,</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的方法遠(yuǎn)不止這十種，還有待于繼續(xù)探索和總結(jié)，有些求

32、和問(wèn)題用一種方法求解很麻煩，甚至不可能，它需要多種方法的靈活交錯(cuò)使用，有些題目則可以多種方法求解，比如例13用定義法求和也可以(拆項(xiàng)相消就可求出部分和),這就要求我們熟練掌握上述方法,根據(jù)具體的題型尋找簡(jiǎn)單可行的途徑來(lái)求解.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] 陳文燈，黃先開，曹顯兵，施明有．高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)[M]．北京：清華大