淺談數學教學中的數型結合

1、<p>　　淺談數學教學中的數型結合</p><p>　　諸暨市楓橋鎮(zhèn)中 汪慧蓮</p><p>　　數和形是數學知識體系中兩大基礎概念,數型結合，簡單的講就是把抽象的數學語言、數量關系通過圖形直觀地表現出來，然后引入一定的幾何知識，在簡單分析的基礎上迅速找到解題的方向，再通過簡單的計算得到答案。這種將抽象思維與形象思維有機結合在一起的方法有時在快速方便地解選擇題和填空題的時候

2、尤為管用。數學家華羅庚先生曾說過：“數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休”?？梢姅敌徒Y合的重要性。因此，我們在平時的教學中應重視數與形的結合與轉化，以探求事半功倍的教學效果。</p><p>　　一．利用數形結合，幫助理解公式</p><p>　　數學公式很重要，但死記硬背也容易忘記，若能學會公式的推導，問題就能迎刃而解。比如完全平方和公式和平方差公式就可利用下圖

3、的面積形象地反映出來</p><p>　　如圖1，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形（a>b）。把剩下的部分拼成一個梯形，就可以推導出平方差公式：a2 － b2 =(a＋b)(a－b)</p><p>　　如圖2，可利用幾何圖形的面積推導出完全平方公式：（a＋b）2 = a2 ＋2ab＋ b2</p><p>　　這樣的例子還有很多。</p

4、><p>　　二．利用數型結合，方便快速解題</p><p>　　例1：計算 ＋＋＋＋…… ＋=？ 可設計圖3求出</p><p>　　例2：小華和小王在一條長100米的直跑道上來回跑步，小華的速度是每秒跑10米，小王的速度是每秒15米。在小華跑完兩個來回的過程中，可以和小王相遇 次?</p><p>　　對于此題，可設計圖4快速得到

5、答案，交點的個數即為相遇的次數。</p><p>　　例3：觀察下面的圖形（每個正方形的邊長均為1）和相應的等式，探究其中的規(guī)律：</p><p>　?、?×=1- </p><p>　　②2×=2- </p><p><b>　?、?×=3-<

6、;/b></p><p><b>　?、?×=4-</b></p><p><b>　　……</b></p><p>　　寫出第五個等式，并在下面給出的五個正方形上畫出與之對應的圖形：</p><p>　　猜想并寫出與第n個圖形相對應的等式。</p><p>

7、　　三．利用數形結合，進行知識串聯(lián)</p><p>　　在數學教學中利用數形結合將知識點進行串聯(lián)，有利于學生對各知識點的掌握和應用，更有利于掌握它們的共性及內在聯(lián)系。</p><p>　　1.二次三項式ax2+bx+c(a≠0)與其他知識點之間的串聯(lián)</p><p>　　變量x與其對應的代數式的值，作為一對有序實數，在直角坐標系中，得到二次函數y= ax2+bx+c

8、(a≠0)的圖象。二次函數y= ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標就是方程ax2 + bx +c = 0(a≠0)的兩個根。而在x軸上方或下方的對應的x的值，即為不等式ax2 + bx +c > 0（或ax2 + bx +c <0）的解。掌握了以下的圖表，（以a> 0為例）也就掌握了四個二次的關系和二次函數的性質。</p><p>　　例4：二次函數y=ax2 + bx +c (

9、a≠0)的部分對應值如下表，請你通過學過的處理數的辦法，探究不等式ax2 + bx +c>0的x的取值范圍是 </p><p>　　分析：由表可知，拋物線的對稱軸為直線x=1,而拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，即方程ax2 + bx +c = 0(a≠0)的兩個根為x1=-1，x2=3。因為在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大。所以拋物線開口向上，

10、所以ax2 + bx +c > 0的x的取值范圍是x<-1 或x>3。</p><p>　　2．函數圖像與解方程和方程組之間的串聯(lián)</p><p>　　例5.解方程x2=2 x+3</p><p>　　可轉化為求函數y= x2-2 x -3 的圖像與x軸的交點橫坐標，橫坐標的值即為方程的解。</p><p>　　例2.解方程

11、組 </p><p>　　可轉化為求函數y= x2-3和函數y=2 x 的圖像的交點坐標，交點坐標即為方程組的解。</p><p>　　例6.判斷方程 的實數根的個數</p><p>　　此方程不是我們熟悉的一元二次方程，所以用判別式無法判斷其根的個數，但我們可以將此題轉化為求二次函數和反比例函數圖像的交點個數，有幾個交點就意味著方程

12、有幾個實數解。。</p><p>　　四．利用數型結合，解三角問題</p><p>　　比如，15角的三角函數值，可以通過構造幾何圖形，再用代數的方法，求出直角三角形的邊長，或直角三角形的兩邊的比，達到由數到形，再由形到數的巧妙結合。</p><p>　　例7、求sin150 和cos150</p><p>　　解：如圖6，延長300的直角三

13、角形的一邊CB至D，使AB=BD， </p><p>　　則∠D=∠DAB=∠ABC=150，設AC=1，則DB=AB=2，BC=，由勾股定理得：AD=＋，</p><p>　　sin150=== cos150===</p><p>&