淺談數形結合思想在教學中的應用畢業(yè)論文

1、<p>　　淺談數形結合思想在教學中的應用</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　數形結合就是把問題的數量關系和空間形式結合起來考察，根據解決問題的需要，可以把數量關系的問題轉化為圖形的性質問題去討論，或者把圖形的性質問題轉化為數量關系的問題來研究，簡言之“數形相互取長補短”。 數形結合作為一種常見的數學方法, 溝通了代數、三角與

2、幾何的內在聯(lián)系。一方面,借助于圖形的性質可以將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化,給人以直覺的啟示。另一方面,將圖形問題轉化為代數問題,以獲得精確的結論。因此,數形結合不應僅僅作為一種解題方法，而應作為一種十分重要的數學思想方法, 它可以拓寬學生的解題思路, 提高他們的解題能力，將它作為知識轉化為能力的“橋”。</p><p>　　關鍵詞: 數形結合思想；直觀；數學教學；應用</p><

3、;p>　　Discusses the number shape union thought shallowly in the teaching application</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　Counts the shape union is unifying the question stoichiometri

4、c relation and the space form to inspect, according to solving the question need, we can transform the stoichiometric relation question for the graph nature question discusses, or transform the graph nature question for

5、the stoichiometric relation question studies, “the number shape makes up for one's deficiency by learning from others strong points mutually in short”. Counts the shape union as one common mathematical method, has co

6、mmu</p><p>　　Key words: Counts the shape union thought，Intuitively, Mathematics teaching, Application</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　一、前言…………………………………………3</p><

7、p>　　二、正文…………………………………………3</p><p>　　解決集合問題………………………………………………………………5</p><p>　　解決函數問題………………………………………………………………5</p><p>　　解決方程與不等式的問題………………………………………………………………………6</p><p>　

8、　解決三角函數問題………………………………………………………………………8</p><p>　　解決線性規(guī)劃問題 ………………………………………………………………………………9</p><p>　　解決數列問題…………………………………………………………………………………… 10</p><p>　　解決解析幾何問題 ……………………………………………………………

9、…………………10</p><p>　　三、 結束語……………………………………………………………………………………………………11</p><p>　　前言：數學思想就是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論的本質認識。數學思想、數學方法是密不可分的，對于數學方法來說，思想是其相應的方法的精神實質和理論基礎，方法則是實施有關思

10、想的技術手段。中學數學中出現的數學觀點和各種數學方法，都體現著一定的數學思想。</p><p>　　在數學思想中，有一類思想是體現基礎數學中的具有奠基性和總結性的思維成果，這些思想可以稱之為基本數學思想。中學階段的基本數學思想包括：分類討論的思想、數形結合的思想、變換與轉化的思想、整體思想、函數與方程的思想、抽樣統(tǒng)計思想、極限思想等等。中學數學教學中處處滲透著基本數學思想，如果能使它落實到學生學習和運用數學的思維

11、活動上，它就能在發(fā)展學生的數學能力方面發(fā)揮出一種方法論的功能。在這些數學思想方法中數形結合思想是一種很重要的方法，它貫穿于整個中學數學的教學課程。本文就針對數形結合思想在數學教學中的應用簡單談一下自己的看法。</p><p>　　正文：數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。中學數學研究的對象可分為兩大部分，一部分是數，一部分是形，但數與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數形結合

12、或形數結合。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非”，“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。我認為，數形結合主要指的是數與形之間的一一對應關系。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。 </p><p>　　作為一種數學思想方法

13、，數形結合的應用大致又可分為兩種基本形式，一是“形”的問題轉化為用數量關系去解決，運用代數、三角知識進行討論，它往往把技巧性極強的推理論證轉化可具體操作的代數運算，很好的起到化難為易的作用。在解析幾何中就常常利用數量關系去解決圖形問題。二是“數”的問題轉化為形狀的性質去解決，它往往具有直觀性，易于理解與接受的優(yōu)點。數形結合在解題過程中應用十分廣泛，如在解決集合問題，求函數的值域和最值問題，解方程和解不等式問題，三角函數問題，解決線性規(guī)劃

14、問題，解決數列問題，解決解析幾何問題中都有體現，運用數形結合思想解題，不僅直觀易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計算和推理，簡化解題過程。下面就數形結合思想在集合問題、函數、方程、不等式、線性規(guī)劃、數列及解析幾何中的應用做一個系統(tǒng)的分析。</p><p>　　(一)、解決集合問題</p><p>　　在集合運算中常常借助于數軸、文氏圖來處理集合的交、并、補等運算，從而使問題得以簡化，使運算

15、快捷明了。</p><p>　　例 1: 已知集合 A=[0,4],B=[-2,3], 求 A∩B。</p><p>　　分析: 對于這兩個有限集合, 我們可以將它們在數軸上表示出來, 就可以很清楚的知道結果。如圖 1, 由圖我們不難得出A∩B=[0,3]。</p><p><b>　　圖1</b></p><p>　　

16、(二)、解決函數問題</p><p>　　利用圖形的直觀性來討論函數的值域(或最值)，求解變量的取值范圍，運用數形結合思想考查化歸轉化能力、邏輯思維能力，是函數教學中的一項重要內容。</p><p>　　例 2: 對于 xR, y 取 4 - x, x + 1，(5 - x)三個值的最小值。求y 與x 的函數關系及最大值。</p><p>　　分析：在分析此題時,

17、要引導學生利用數形結合思想, 在同一坐標系中, 先分別畫出 y = 4 - x, y = x + 1, y = (5 - x)的圖像，如圖2。易得:A (1, 2) ，B (3, 1) , 分段觀察函數的最低點，故y與x 的函數關系式是:</p><p><b>　　y= </b></p><p><b>　　圖2</b></p&

18、gt;<p>　　它的圖像是圖形中的實線部分。結合圖像很快可以求得,當x= 1 時, y 的最大值是 2。 </p><p>　　例 3 :若函數 f(x)是定義在R上的偶函數,在(- ∞,0]上是減函數，且f(2)= 0 ,求 f(x)< 0的x的范圍。</p><p>　　解:由偶函數的性質,y = f(x)關于y軸對稱,由y = f(x)在(- ∞,0 )上為

19、減函數,且 f(-2) = f(2) = 0 ,做出圖3,由圖像可知f(x)< 0 ，所以x（- 2，2) </p><p><b>　　圖3</b></p><p>　　(三)、解決方程與不等式的問題</p&g

20、t;<p>　　處理方程問題時，把方程的根的問題看作兩個函數圖像的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結論出發(fā)，聯(lián)系相關函數，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。</p><p>　　例 4: 已知關于x 的方程=px，有 4個不同的實根, 求實數p 的取值范圍。</p><p>　　分析: 設y ==與y=px這兩個函數在同一坐標系內, 畫出這兩個函數的圖像, 如

21、圖4?？芍?lt;/p><p><b>　　圖4</b></p><p>　　(1)直線y= px 與y= -(x- 4x+ 3) , x[ 1, 3 ]相切時原方程有3個根。</p><p>　　(2) y= px 與 x 軸重合時, 原方程有兩個解, 故滿足條件的直線y= px 應介于這兩者之間, 由: 得</p><p&

22、gt;　　x+ (p - 4)x+ 3= 0, 再由△=0 得, p = 4±2 , 當p= 4+ 2時, x= - [1, 3 ]舍去, 所以實數p的取值范圍是 0< p< 4- 2 。</p><p>　　例 5: 若不等式 x- ㏒x < 0, 在（0,)內恒成立, 則a的取值范圍是什么?</p><p>　　分析: 原不等式可化為x < ㏒x，

23、x（0,)，設y= x與y= ㏒x，在坐標系中作出y= x，x（0,)的圖像，如圖當x=時，y= x =，顯然, 當x（0,)時，y< 就恒成立。</p><p>　?、佼攁 >1 時, 在（0,)上y= ㏒x圖像( 如圖5 )在y= x的圖像下方, 不合題意。</p><p><b>　　圖5</b></p><p>　?、诋?0

24、< a< 1 時，y= ㏒x在（0,)上的圖像（ 如圖6 ）是減函數。只需 y ，就可以使x< ㏒x，x（0,)恒成立。</p><p><b>　　圖6</b></p><p>　　故㏒，㏒a4，所以a（）= , 綜上有a∈ 。</p><p>　　把方程不等式轉化為函數, 利用函數圖像解決問題是數形結合的一種重要渠道?！　?/p>

25、</p><p>　　(四)、解決三角函數問題</p><p>　　有關三角函數單調區(qū)間的確定或比較三角函數值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數圖像來處理，數形結合思想是處理三角函數問題的重要方法。</p><p>　　例 6： 設 x，求證: cscx - cotx - 1 </p><p>　　分析: 由條件聯(lián)想等腰三角形,不妨構造

26、一個等腰直角三角形ABC, 如圖7，設∠CDB=x, 利用 AD+DBAB=，可得cscx - cotx - 1。</p><p><b>　　圖7</b></p><p>　　例 7：已知0<x<y<，求證:+2sinxcosy+2sinycosz>sin2x+sin2y+sin2z。</p><p>　　證明: 如圖

27、8,在單位圓中,設∠AOD=x, ∠BOD=y, ∠COD=z,則 A,B,C點的坐標分別為(cosx,sinx),(cosy,siny),(cosz,sinz) 。</p><p>　　圖中三個矩形面積分別為2sinx(cosx-siny),2siny(cosy-sinz), 2sinzcosz。</p><p>　　顯然，這三個矩形面積之和小于半圓面積，即有+2sinxcosy+2si

28、nycosz >sin2x+sin2y+sin2z。</p><p><b>　　圖8</b></p><p>　　(五)、解決線性規(guī)劃問題</p><p>　　線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標函數的最值的問題。從圖形上找思路恰好就體現了數形結合思想的應用。</p><p>　　例8：已知1x - y2且2x +

29、y4,求 4x - 2y 的范圍。</p><p>　　解此題可直接利用代數方法用換元法去求解, 這里用數形結合法來解決。</p><p>　　在平面坐標系中作出直線 x + y = 2 ，x + y = 4 , x - y = 1 , x - y = 2 ,則 1x - y2和2x + y4表示平面上的陰影部分(包括邊界) ,如圖9所示，令4x - 2y = m ,則y = 2x - ，

30、顯然 m 為直線系4x - 2y = m 在y軸上截距2倍的相反數,易看出,直線4 x - 2 y = m 過陰影最左邊的點 A（) 時, m 取最小值 5 ；過陰影最右邊的點 C(3 ,1) 時, m 取最大值10。即 4 x - 2 y 的范圍是[5，10]。</p><p><b>　　圖9</b></p><p>　　該題是用線性規(guī)劃的思想,數形結合解決了具有

31、約束條件的函數的最值問題。</p><p>　　(六)、解決數列問題</p><p>　　數列是一種特殊的函數，數列的通項公式以及前n項和公式可以看作關于正整數n的函數。用數形結合的思想研究數列問題是借助函數的圖像進行直觀分析，從而把數列的有關問題轉化為函數的有關問題來解決。</p><p>　　例9： 等差數列{ a}中,前m項的和S= S( mn) ,求 S的值

32、。</p><p>　　解：代入等差數列的求和公式,則由S= S，得ma + = na + ,因為mn，所以a + = 0，S=（m+n）a + = (m+n)= 0。</p><p>　　這種解法易上手,但繁瑣。若能利用數列求和公式的二次函數式,其解法又將進一步簡化。</p><p>　　由S=An+Bn，S=Am+Bm 。因為mn，所以S= A(m+n)

33、+B（m+n）（m+n） = (m+n) = 0 。若再進一步利用S=An+Bn的二次函數圖像就可產生如下解法：由S=An+Bn，不妨設A< 0，而 y = Ax+Bx的圖像是一個過坐標原點的拋物線，則由S= S( mn)可知，該拋物線的對稱軸方程是x = ，易知,拋物線和x軸的一個交點是原點,另一交點的橫坐標是(m + n)，故S=0 。</p><p>　　這個問題的第二種解法用到了數形結合,培養(yǎng)了學生

34、由數列聯(lián)想到函數圖像,二者之間相互映證、轉化,使學生感到一種數學變化的快樂。</p><p>　　(七)、解決解析幾何問題</p><p>　　解析幾何的基本思想就是數形結合，在解題中善于將數形結合的數學思想運用于對點、線、曲線的性質及其相互關系的研究中。</p><p>　　例 10：如圖10 ,矩形ABCD，AD = a ，DC = b ,在 AB上找一點 E,

35、使 E點與 C，D的連線將矩形分成的3個三角形相似。設AE = x，問: 這樣的E點是否存在,若存在,這樣的點E有幾個?請說明理由。</p><p>　　解：假設在AB上存在點 E，使得3個三角形相似,所以△ECD一定是直角三角形。</p><p>　　∴Rt△ADE ∽ Rt△ECD ∽ Rt△BEC.</p><p>　　∵AD = a，DC = b , AE

36、= x ,</p><p>　　∴BE = b - x </p><p>　　于是 = ,得 =，即x- bx + a = 0 </p><p>　　∴Δ = b- 4a = (b + 2a) ( b - 2a) </p><p>　　∵b + 2a > 0,a > 0,b > 0 </p><p>

37、　　∴ ①當 b - 2a < 0 ,即 b < 2a時,Δ< 0 ,方程無實數解, E點不存在；</p><p>　　②當 b - 2a = 0 ,即 b = 2a時,Δ= 0 ,方程有兩個相等的正實數根,E點只有一個；</p><p>　?、郛?b - 2a > 0 ,即 b > 2a時,Δ> 0 ,方程有兩個不相等的正實數根, E點有兩個 。<

38、;/p><p><b>　　圖10</b></p><p>　　說明：本題是一道幾何問題,其幾何量之間的關系運用代數式及方程來表示,并根據方程的理論進行了由數到形的探究 。</p><p>　　結束語：數形結合是將抽象的數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，發(fā)揮數與形兩種信息的轉換及其優(yōu)勢互補與整合，巧妙應用數形結合的思想方法,

39、不僅能直觀地發(fā)現解題的途徑,而且能避免復雜的計算與推理,大大簡化解題的過程。“數無形時不直觀, 形無數時難入微” 。華羅庚先生恰當地指出了 “數” 與 “形” 的相互依賴、相互制約的辯證關系, 是對數形結合方法最通俗的、最深刻的剖析。</p><p>　　總之，在教學中要注重數形結合思想方法的培養(yǎng)，在培養(yǎng)學生數形結合思想的過程中, 要充分挖掘教材內容, 將數形結合思想滲透于具體的問題中, 在解決問題中讓學生正確理

40、解 “數”與 “形” 的相對性, 使之有機地結合起來。當然, 要掌握好數形結合的思想方法并能靈活運用, 就要熟悉某些問題的圖形背景, 熟悉有關數學式中各參數的幾何意義, 建立結合圖形思考問題的習慣, 在學習中不斷摸索, 積累經驗, 加深和加強對數形結合思想方法的理解和運用。用數學思想指導知識，方法的靈活運用，培養(yǎng)思維的深刻性、抽象性；通過組織引導對解法的簡潔性的反思評估、不斷優(yōu)化思維品質、培養(yǎng)思維的嚴謹性、批判性。豐富的合理的聯(lián)想，是對

41、知識的深刻理解及類比、轉化、數形結合、函數與方程等數學思想運用的必然。 數學方法、數學思想的自學運用往往使我們運算簡捷、推理機敏，是提高數學能力的必由之路?！笆谥贼~ ,不如授之以漁” ，方法的掌握、思想的形成 ,才能最終使學生受益終生。</p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　【1】 徐國央.數形結合思想在數學解題中的應用[J].寧波教育

42、學院學報, 2009,(01).</p><p>　　【2】楊琴.高等數學教學中應重視數形結合思想的作用[J].才智,2009,(15).</p><p>　　【3】劉雨智.淺談數形結合在解題中的應用[J].各界(科技與教育),2009,(02). 【4】葉柏團.淺談數學思想方法在數列解題中的應用[J ].福建教育學院學報,2003(6):92 - 93.<