大學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)論文---定積分思想的理論延拓及應(yīng)用

1、<p>　　本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))</p><p>　　題目： 定積分思想的理論延拓及應(yīng)用</p><p>　　學(xué) 院 </p><p>　　專 業(yè) </p><p>　　班 級(jí) </p

2、><p>　　學(xué) 號(hào) </p><p>　　姓 名 </p><p>　　指導(dǎo)教師 </p><p><b>　　二Ｏ一一年 五月</b></p><p>　　定積

3、分思想的理論延拓及應(yīng)用</p><p><b>　　xxx</b></p><p>　　內(nèi)容摘要： 一直以來定積分問題就是大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是研究生入學(xué)考試重點(diǎn)考察的內(nèi)容之一，所以本文對(duì)定積分的起源、發(fā)展以及它在數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科的應(yīng)用做了重點(diǎn)研究。幷利用一些例題對(duì)這些問題做除了詳細(xì)解析。</p><p>　　關(guān)鍵詞： 定積

4、分 柯西 微分 方程 物理 幾何 經(jīng)濟(jì) 變量</p><p><b>　　一、定積分的概念</b></p><p><b>　　1.1定積分的定義</b></p><p>　　一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)</p><p>　　將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長度為（），在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，作

5、和式：</p><p>　　如果無限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分．記為： </p><p>　　其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限．</p><p>　　說明：（1）定積分是一個(gè)常數(shù)，即無限趨近的常數(shù)（時(shí)）稱為，而不是．</p><p>　　（2）用定義求定

6、積分的一般方法是：</p><p><b>　　①分割：等分區(qū)間；</b></p><p><b>　?、诮拼妫喝↑c(diǎn)；</b></p><p><b>　　③求和：；</b></p><p><b>　　④取極限：</b></p><

7、;p>　?。?）曲邊圖形面積：；變速運(yùn)動(dòng)路程；</p><p><b>　　變力做功 </b></p><p>　　1.2定積分的幾何意義 </p><p>　　如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積．</p><p>　　說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)

8、的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號(hào)，在軸下方的面積去負(fù)號(hào)． </p><p>　　分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負(fù)值．</p><p><b>　　考察和式</b></p><p><b>　　不妨設(shè)</b></p><p><b>　　于是和式即為</

9、b></p><p>　　陰影的面積—陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）</p><p><b>　　1.3定積分的性質(zhì)</b></p><p><b>　　性質(zhì)1 </b></p><p>　　性質(zhì)2 （其中k是不為0的常數(shù)） （定積分的線性性質(zhì)）</p><

10、p>　　性質(zhì)3 （定積分的線性性質(zhì)）</p><p>　　性質(zhì)4 （其中a<c<b）</p><p>　　1.4用定積分求解簡單的問題</p><p>　　1.4.1 求立體圖形的體積用類似求圖形面積的思想我們也可以求一個(gè)立體圖形的體積,常見的已知幾何體的截面積求幾何體的體積,另一種是求旋轉(zhuǎn)體的體積,解此類題常用的方法是我們將

11、此物體劃分成許多基本的小塊,每塊的厚度為,假設(shè)每一個(gè)基本的小塊橫截面積為A（x）,則此小塊的體積是A(x),將所有的小塊加起來，另，我們可以得到其體積v=lim其中 a和 b分別為計(jì)算體積的起始值和終了值. 下面來看幾個(gè)例題</p><p>　　例1 求橢圓面所圍立體的體積</p><p>　　解：以平面)截橢球面,得橢圓在YOZ平面上的正投影</p><p&

12、gt;　　所以截面面積函數(shù)為 </p><p><b>　　于是求得橢球體積</b></p><p>　　顯然當(dāng)=r 時(shí),就等于球的體積</p><p>　　1.4.2定積分在初等數(shù)學(xué)里的應(yīng)用</p><p>　　近些年來，定積分還越來越多的被廣泛應(yīng)用到初等數(shù)學(xué)中的一些問題上來，下面來討論一下定積分在證明不等式，等

13、式和一些數(shù)列的極限的方面的應(yīng)用</p><p><b>　　證明不等式</b></p><p>　　運(yùn)用積分來證明不等式，一般要利用到積分的如下性質(zhì)：設(shè)與都在上可積且；則特別的當(dāng)時(shí)，有</p><p>　　例2 證明貝努利不等式 已知且且</p><p><b>　　求證：</b></p&g

14、t;<p>　　證明：若或且時(shí)， 。因此 即為。若或且時(shí)因此 由此可得。</p><p>　　綜合以上可得：當(dāng)時(shí)，且 且 時(shí)有</p><p>　　由上面的證明我們可以推廣，去掉條件時(shí)，結(jié)論仍然成立．所以，我們可以得到一個(gè)一般的結(jié)論</p><p><b>　　設(shè) 則若時(shí)，有</b></p><p

15、><b>　　若或時(shí)，有</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩式中的等號(hào)成立</p><p>　　例3．已知是實(shí)數(shù)，并且，其中是自然對(duì)數(shù)的底，證明</p><p>　　證明：當(dāng)時(shí)，要證明，只要證明 既要證明 時(shí)，因?yàn)?從而</p><p>　　所以當(dāng)時(shí)， 于是得到</p><p&g

16、t;　　求和：根據(jù)微分與積分互為逆運(yùn)算的關(guān)系,先對(duì)和式積分,利用已知數(shù)列的和式得到積分和,再求導(dǎo)即可.</p><p>　　二、定積分在幾何中的應(yīng)用</p><p>　　2.1定積分的微元法</p><p>　　定積分的應(yīng)用很廣，僅介紹它在幾何方面和物理方面的一些應(yīng)用．首先說明一種運(yùn)用定積分解決實(shí)際問題時(shí)常用的方法——將所求量表達(dá)成為定積分的分析方法——微元法（或元

17、素法）.</p><p>　　在將具體問題中所求的量（如曲邊梯形的面積，變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）表達(dá)成定積分：</p><p>　　時(shí)，總是把所求量看作是與變量的變化區(qū)間相聯(lián)系的整體量．當(dāng)把區(qū)間劃分為若干小區(qū)間時(shí)，整體量就相應(yīng)地分為若干部分量，而整體量等于各部分量之和，這一性質(zhì)稱為所求量對(duì)于區(qū)間具有可加性.</p><p>　　劃分區(qū)間后，在各部分區(qū)間上，求出部分量的近

18、似表達(dá)式，由可加性，總量的近似值可以表達(dá)成和式（由于點(diǎn)任意選取時(shí)，和式極限有確定的值，常取為區(qū)間的左端點(diǎn)），從而這個(gè)和式的極限就是所求量的精確值，于是由定積分的定義，總量可用定積分來表達(dá)</p><p>　　一般地，如果某一實(shí)際問題中所求量滿足以下條件：</p><p>　　是與變量的變化區(qū)間有關(guān)的量，且對(duì)于該區(qū)間具有可加性，所求量就可用定積分來計(jì)算.具體步驟如下：</p>

19、<p>　?。?）確定積分變量，并求出相應(yīng)的積分區(qū)間</p><p>　?。?）在區(qū)間上任取一小區(qū)間，并在該小區(qū)間上找出所求量的微元</p><p>　?。?）寫出所求量的積分表達(dá)式，然后計(jì)算它的值.</p><p>　　這里通常稱為所求量的微分（或元素），這種直接在小區(qū)間上找積分表達(dá)式從而得出定積分表達(dá)式的方法，通常稱為微元法（或元素法）.</p&

20、gt;<p>　　2.2定積分求解平面圖形面積</p><p>　　2.2.1直角坐標(biāo)情形</p><p>　　根據(jù)定積分的幾何意義，由區(qū)間連續(xù)曲線、、及直線所圍成的平面圖形的面積A，由定積分的性質(zhì)，此式可寫為</p><p>　　(利用微元法求解可得同樣的結(jié)果)</p><p><b>　　其中d就是面積元素<

21、/b></p><p>　　2.2.2極坐標(biāo)情形 </p><p><b>　　圖 5-17</b></p><p>　　某些平面圖形，用極坐標(biāo)計(jì)算它們的面積比較方便．用微元法計(jì)算：由極坐標(biāo)方程所表示的曲線與射線所圍成的曲邊扇形面積（圖5-17）．</p><p>　　以極角為積分變量，積分區(qū)間為，在上任取一小

22、區(qū)間，與它相應(yīng)的小曲邊扇形面積近似于以為圓心角．為半徑的圓扇形面積，從而得到面積元素于是所求面積為</p><p>　　例4 計(jì)算心形線所圍成的平面圖形的面積（圖5-18）．</p><p>　　解：由于圖形對(duì)稱于極軸，只需算出極軸以上部分面積，再2倍即得所求面積A．</p><p>　　對(duì)于極軸以上部分圖形，的變化區(qū)間為．相應(yīng)于上任一小區(qū)間的窄曲邊扇形的面積近似

23、于半徑為、圓心角為的圓扇形的面積．從而得到面積元素</p><p><b>　　圖 5-18</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　得 =</b></p><p><b>　　= =</b></p>

24、<p><b>　　=</b></p><p><b>　　所以，所求面積為</b></p><p>　　2.3用定積分求解圖形體積</p><p>　　2.3.1旋轉(zhuǎn)體的體積</p><p>　　設(shè)一旋轉(zhuǎn)體是由曲線與直線、及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成（圖5-19）．現(xiàn)用微元法求它

25、的體積．</p><p>　　在區(qū)間上任取，對(duì)應(yīng)于該小區(qū)間的小薄片體積近似于以為半徑，以為高的薄片圓柱體體積，從而得到體積元素為</p><p><b>　　圖 5-19</b></p><p>　　從a到b積分，得旋轉(zhuǎn)體體積為</p><p>　　類似地，若旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線與直線及y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成，則其

26、體積為</p><p>　　例5 求橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積（圖5-20）．</p><p><b>　　圖 5-20</b></p><p><b>　　解 將橢圓方程化為</b></p><p><b>　　體積元素為</b></p><p&g

27、t;<b>　　所求體積為 =</b></p><p>　　當(dāng)a=b=R時(shí)，得球體積V=</p><p>　　2.3.2平行截面面積為已知的立體的體積</p><p>　　從計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的過程中可以看出：如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面的面積，那么，這個(gè)立體的體積也可以用定積分計(jì)算．</p>&l

28、t;p><b>　　圖5-22</b></p><p>　　如圖5-22所示，取上述定軸為x軸，并設(shè)該立體在過點(diǎn)x=a、x=b且垂直于x軸的兩個(gè)平面之間，以A(x)表示過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積．A(x)為x的已知的連續(xù)函數(shù)．</p><p>　　取x為積分變量，它的變化區(qū)間為．立體中相應(yīng)于上任一小區(qū)間的薄片的體積，近似于底面積為A(x)、高為dx的扁柱體的體

29、積，即體積元素</p><p>　　于是所求立體的體積為</p><p>　　例6 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角（圖5-23）．計(jì)算這個(gè)平面截圓</p><p><b>　　柱所得立體的體積．</b></p><p>　　解： 取這平面與圓柱體的底</p><p>　　面的

30、交線為x軸，以過底圓中心且垂直x軸的直線為y軸．此時(shí)，底圓的方程為</p><p><b>　?。Ⅲw中過點(diǎn)</b></p><p>　　x且垂直于x軸的截面是直</p><p>　　角三角形．它的兩條直角</p><p>　　邊的長度分別為，即．于是截面面積為</p><p><b>

31、　　圖 5-23</b></p><p><b>　　因此所求立體體積為</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　三．定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　3.1常見的經(jīng)濟(jì)學(xué)中的函數(shù)</p><p><b>　　3.1.

32、1需求函數(shù)</b></p><p>　　需求量是指在特定時(shí)間內(nèi)，消費(fèi)者打算并能夠購買的某種商品的數(shù)量，用Q 表示，它與商品價(jià)格P 密切相關(guān)，通常降低商品價(jià)格使需求量增加；提高商品價(jià)格會(huì)使需求量減少.</p><p>　　如果不考慮其它因素的影響（或其它因素不變），則Q 是P 的函數(shù)，稱為需求函數(shù)，記作</p><p><b>　　Q = f (

33、P)</b></p><p>　　它通常是一個(gè)單調(diào)減少函數(shù).</p><p>　　常見的需求函數(shù)有以下幾種類型：</p><p>　　1. 線性需求函數(shù)Q = a + bP (a > 0,b > 0)</p><p>　　2. 二次需求函數(shù)Q = a ? bP ? (a > 0,b > 0,c > 0

34、)</p><p>　　3. 指數(shù)需求函數(shù) (a > 0,b > 0)</p><p>　　有時(shí)也把Q = f (P)的反函數(shù)P = f ?1 (Q)也稱為需求函數(shù).</p><p><b>　　3.1.2供給函數(shù)</b></p><p>　　供給量是指在特定時(shí)間內(nèi)，廠商愿意并能夠出售的某種商品的數(shù)量，用S

35、表示，假設(shè)</p><p>　　除了商品的價(jià)格P 外影響供給的其它因素均不變，則S 是P 的函數(shù)</p><p><b>　　S = g(P)</b></p><p>　　它通常是一個(gè)單調(diào)增函數(shù).</p><p>　　常見的供給函數(shù)有以下幾種類型：</p><p>　　1. 線性供給函數(shù)S = ?

36、a + bP (a > 0,b > 0)</p><p>　　2. 指數(shù)供給函數(shù)S = (a > 0,b > 0)</p><p>　　當(dāng) Q=S 時(shí)，市場的供需處于平衡狀態(tài)，此時(shí)的價(jià)格稱為均衡價(jià)格，需求（或供給）量稱為均衡數(shù)量.</p><p>　　當(dāng)商品由某廠商獨(dú)家生產(chǎn)時(shí)，廠商是價(jià)格的制定者，它自然會(huì)考慮消費(fèi)者對(duì)價(jià)格的反應(yīng)并依需求規(guī)律組

37、織生產(chǎn)，其產(chǎn)量即需求量，價(jià)格與產(chǎn)量（需求量）的關(guān)系由需求函數(shù)確定，稱該商品市場為完全壟斷市場；當(dāng)商品由眾多互不占優(yōu)勢的廠商共同生產(chǎn)時(shí)，各廠商之間、消費(fèi)者之間展開競爭并最終使市場處于均衡狀態(tài)，此時(shí)商品價(jià)格即為均衡價(jià)格,單一廠商或消費(fèi)者的行為（改變產(chǎn)量或需求量）不再影響市場均衡，稱該商品市場為完全競爭市場.</p><p>　　3.1.3總成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)</p><p>　　在生

38、產(chǎn)和經(jīng)營活動(dòng)中，如果投入的各要素價(jià)格不變，則成本C 是產(chǎn)量開銷售量Q 的函數(shù)C = C(Q)，稱為總成本函數(shù).一般地總成本函數(shù)由兩部分組成</p><p><b>　　C(Q)= </b></p><p>　　其中 為固定成本，它與產(chǎn)量無關(guān)，如廠房、設(shè)備的折舊費(fèi)、企業(yè)管理費(fèi)等; 為可變成本，它隨產(chǎn)量的增加而增加，如原材料、動(dòng)力、工人的工資等.常見的成本函數(shù)是線性函數(shù)

39、.</p><p>　　C(Q)= +aQ (a.>0)</p><p>　　以總成本除以產(chǎn)量，得平均成本函數(shù)</p><p>　　其中與分別稱為平均固定成本與平均可變成本.</p><p>　　廠商銷售Q 單位的商品所提收入為R = R(Q)，稱為總收入（益）函數(shù).設(shè)商品的價(jià)格</p><p>　　為P，則總

40、收入函數(shù)為</p><p><b>　　R(Q)=PQ</b></p><p>　　總利潤L 等于總收入與總成本的差，于是總利潤函數(shù)為</p><p>　　L(Q) = R(Q) ?C(Q)</p><p><b>　　3.1.4生產(chǎn)函數(shù)</b></p><p>　　生產(chǎn)函數(shù)

41、是指指產(chǎn)量Q 與各種投入要素之間的函數(shù)關(guān)系</p><p>　　其中􀀢 為n 種要素的投入量.</p><p>　　如果只考慮兩種投入要素：資本K 和勞動(dòng)L,則生產(chǎn)函數(shù)為</p><p>　　Q = f (K, L)</p><p><b>　　常見的生產(chǎn)函數(shù)有</b></p><p

42、><b>　　1. 線性生產(chǎn)函數(shù)</b></p><p>　　Q = aK + bL (a,b > 0)</p><p>　　2. Cobb-Douglas 生產(chǎn)函數(shù)</p><p>　　(A,α ,β > 0)</p><p>　　上兩個(gè)生產(chǎn)函數(shù)都滿足f (λK,λL) = λf (K, L) ,這稱

43、為規(guī)模報(bào)酬不變.</p><p>　　3.2定積分在邊際函數(shù)中的應(yīng)用</p><p>　　積分是微分的逆運(yùn)算，因此，用積分的方法可以由邊際函數(shù)求出總函數(shù).</p><p>　　設(shè)總量函數(shù)P(x)在區(qū)間I 上可導(dǎo)，其邊際函數(shù)為P′(x)，[a, x]∈ I ，則總有函數(shù)</p><p>　　當(dāng) x 從a 變到b 時(shí)，P(x)的改變量為</

44、p><p>　　將 x 改為產(chǎn)量Q，且a=0 時(shí)，將P(x)代之以總成本C(Q)、總收入R(Q)、總利潤L(Q)，</p><p><b>　　可得</b></p><p>　　其中即為固定成本，為可變成本．</p><p><b>　?。?因?yàn)椋?lt;/b></p><p>　　例

45、 7 已知某公司獨(dú)家生產(chǎn)某產(chǎn)品，銷售Q 單位商品時(shí)，邊際收入函數(shù)為</p><p>　?。ㄔ?單位）（a>0,b>0,c>0）</p><p>　　求：(1)公司的總收入函數(shù)；(2)該產(chǎn)品的需求函數(shù).</p><p>　　解 ：(1)總收入函數(shù)為</p><p><b>　　===</b></p

46、><p>　　(2)設(shè)產(chǎn)品的價(jià)格為P，則，得需求函數(shù)為</p><p>　　例 8 某企業(yè)想購買一臺(tái)設(shè)備，該設(shè)備成本為5000 元．T 年后該設(shè)備的報(bào)廢價(jià)值為S(t)=5000-400t 元，使用該設(shè)備在t 年時(shí)可使企業(yè)增加收入850-40t（元）．</p><p>　　若年利率為5%，計(jì)算連續(xù)復(fù)利，企業(yè)應(yīng)在什么時(shí)候報(bào)廢這臺(tái)設(shè)備？此時(shí)，總利潤的現(xiàn)值是</p>

47、;<p><b>　　多少？</b></p><p>　　解： T 年后總收入的現(xiàn)值為</p><p>　　T 年后總利潤的現(xiàn)值為</p><p>　　令L′(T) = 0，得T=10．當(dāng)T<10 時(shí)，L′(T) > 0，當(dāng)T<10 時(shí)，L′(T) < 0，則T=10 是</p><p&

48、gt;　　惟一的極大值點(diǎn)．即T=10 時(shí)，總利潤的現(xiàn)值最大，故應(yīng)在使用10 年后報(bào)廢這臺(tái)機(jī)器．此</p><p>　　時(shí)企業(yè)所得的利潤的現(xiàn)值為</p><p><b>　　(元)</b></p><p>　　3.3定積分在消費(fèi)者剩余或生產(chǎn)者剩余中的應(yīng)用</p><p>　　在市場經(jīng)濟(jì)中，生產(chǎn)并銷售某一商品的數(shù)量可由這一商

49、品的供給曲線與需求曲線萊描述（下圖）．需求量與供給量都是價(jià)格的函數(shù)，用橫坐標(biāo)表示價(jià)格，縱坐標(biāo)表示需求量或供給量．在市場經(jīng)濟(jì)下，價(jià)格和數(shù)量在不斷調(diào)整，最后趨向平衡價(jià)格和平衡數(shù)量，分別用和表示，也即供給曲線與需求曲線的交點(diǎn)E．</p><p>　　在圖中， 是供給曲線在價(jià)格坐標(biāo)軸上的截距，也就是當(dāng)價(jià)格為時(shí)，供給量是零，中有價(jià)格高于時(shí)，才有供給量．而是需求曲線的截距，當(dāng)價(jià)格為時(shí)，需求量是零，只有價(jià)格低于時(shí)，才有需求．則

50、表示當(dāng)商品免費(fèi)贈(zèng)送是的最大需求</p><p>　　在市場經(jīng)濟(jì)中，有時(shí)一些消費(fèi)者愿意對(duì)某種商品付出比市場價(jià)格P0更高的價(jià)格，由此他們所得到的好處稱為消費(fèi)者剩余(CS).由圖7-16可以看出：</p><p><b>　　(1)</b></p><p>　　同理，對(duì)生產(chǎn)者來說，有時(shí)也有一些生產(chǎn)者愿意以比市場價(jià)格P0低的價(jià)格出售他們的商品，由此他們

51、所得到的好處稱為生產(chǎn)者剩余(PS)，如圖7-16所示，有</p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　例9　設(shè)需求函數(shù)Q＝8-，供給函數(shù)Q＝，求消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余.</p><p>　　解:　首先求出均衡價(jià)格與供需量.</p><p>　　得 ＝15，＝3.</p><p&g

52、t;　　令8-＝0，得P1＝24，令＝0，得＝9，代入(3)、(4)式得</p><p><b>　　CS＝，</b></p><p><b>　　PS＝.</b></p><p>　　3.4定積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用</p><p>　　3.4.1定積分在國民收入中的應(yīng)用</p>&l

53、t;p>　　現(xiàn)在，我們討論國民收入分配不平等的問題.觀察如下圖中的勞倫茨(MOLorenz)曲線.</p><p>　　橫軸OH表示人口(按收入由低到高分組)的累計(jì)百分比，縱軸OM表示收入的累計(jì)百分比.當(dāng)收入完全平等時(shí)，人口累計(jì)百分比等于收入累計(jì)百分比，勞倫茨曲線為通過原點(diǎn)、傾角為45°的直線；當(dāng)收入完全不平等時(shí)，極少部分(例如1%)的人口卻占有幾乎全部(100%)的收入，勞倫茨曲線為折線OHL.

54、實(shí)際上，一般國家的收入分配，既不會(huì)是完全平等，也不會(huì)是完全不平等，而是在兩者之間，即勞倫茨曲線是圖中的凹曲線ODL.</p><p>　　易見勞倫茨曲線與完全平等線的偏離程度的大小(即圖示陰影面積)，決定了該國國民收入分配不平等的程度.</p><p>　　為方便計(jì)算，取橫軸OH為x軸，縱軸OM為y軸，　</p><p>　　再假定該國某一時(shí)期國民收入分配的勞倫茨曲

55、線可近似表示為y＝f(x)，則</p><p>　　即 不平等面積A＝最大不平等面積(A+B)-B＝12-f(x)dx</p><p>　　系數(shù)表示一個(gè)國家國民收入在國民之間分配的不平等程度，經(jīng)濟(jì)學(xué)上，</p><p>　　稱為基尼(Gini)系數(shù)，記作G. </p><p><b>　?。?lt;/b></p&

56、gt;<p>　　顯然，G＝0時(shí)，是完全平等情形；G＝1時(shí)，是完全不平等情形.</p><p>　　例10 某國某年國民收入在國民之間分配的勞倫茨曲線可近似地由y＝x2，x∈［0，1］表示，試求該國的基尼系數(shù).</p><p>　　解:　如圖7-15所示，有</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p

57、><b>　　故所求基尼系數(shù)</b></p><p>　　3.4.2定積分在投資問題中的應(yīng)用</p><p>　　對(duì)于一個(gè)正常運(yùn)營的企業(yè)而言，其資金的收入與支出往往是分散地在一定時(shí)期發(fā)生的，比如購買一批原料后支出費(fèi)用，售出產(chǎn)品后得到貨款等等.但這種資金的流轉(zhuǎn)在企業(yè)經(jīng)營過程中經(jīng)常發(fā)生，特別對(duì)大型企業(yè)，其收入和支出更是頻繁的進(jìn)行著.在實(shí)際分析過程中為了計(jì)算的方便，我

58、們將它近似地看做是連續(xù)地發(fā)生的，并稱之為收入流(或支出流).若已知在t時(shí)刻收入流的變化率為f(t)(單位：元/年、元/月等)，那么如何計(jì)算收入流的終值和現(xiàn)值呢?</p><p>　　企業(yè)在［0，T］這一段時(shí)間內(nèi)的收入流的變化率為f(t)，連續(xù)復(fù)利的年利率為r.為了能夠利用計(jì)算單筆款項(xiàng)現(xiàn)值的方法計(jì)算收入流的現(xiàn)值，將收入流分成許多小收入段，相應(yīng)地將區(qū)間［0，T］平均分割成長度為Δt的小區(qū)間.當(dāng)Δt很小時(shí)，f(t)在每

59、一子區(qū)間內(nèi)的變化很小，可看做常數(shù)，在t與t+Δt之間收入的近似值為f(t)Δt，相應(yīng)收入的現(xiàn)值為f(t)e-rtΔt，再將各小時(shí)間段內(nèi)收入的現(xiàn)值相加并取極限，可求總收入的現(xiàn)值為</p><p>　　現(xiàn)值＝，　　　　(1)</p><p>　　類似地可求得總收入的終值為終值＝.　　　(2)</p><p>　　例11某企業(yè)將投資800萬元生產(chǎn)一種產(chǎn)品，假設(shè)在投資的前2

60、0年該企業(yè)以</p><p>　　200萬元/年的速度均勻地收回資金，且按年利率5%的連續(xù)復(fù)利計(jì)算，試計(jì)算該項(xiàng)</p><p>　　投資收入的現(xiàn)值及投資回收期.</p><p>　　解:　依題知f(t)＝200，由公式(1)知投資總收入的現(xiàn)值為</p><p><b>　　現(xiàn)值＝</b></p><p

61、>　?。?000(1-)＝2528.4.</p><p>　　假設(shè)回收期為T年，則由公式(1)知，</p><p>　　由此可解出T＝-20ln0.8＝4.46(年)，所以回收期約為4.46年.</p><p>　　若有一筆收益流的收入率為f ( t) , 假設(shè)連續(xù)收益流以連續(xù)復(fù)利率r 計(jì)息, 從而總現(xiàn)值</p><p>　　例12 現(xiàn)

62、對(duì)某企業(yè)給予一筆投資A, 經(jīng)測算,該企業(yè)在T 年中可以按每年a 元的均勻收入率獲得收入, 若年利潤為r, 試求：</p><p>　　( 1) 該投資的純收入貼現(xiàn)值;</p><p>　　( 2) 收回該筆投資的時(shí)間為多少?</p><p>　　解: ( 1) 求投資純收入的貼現(xiàn)值： 因收入率為a, 年利潤為r, 故投資后的T 年中獲總收入的現(xiàn)值為</p>

63、;<p>　　從而投資所獲得的純收入的貼現(xiàn)值為</p><p>　　( 2) 求收回投資的時(shí)間： 收回投資, 即為總收入的現(xiàn)值等于投資．</p><p><b>　　由得</b></p><p><b>　　即收回投資的時(shí)間為</b></p><p>　　結(jié)束：定積分與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系較近

64、，牛頓曾利用積分從萬有引力導(dǎo)出行星三定律．定積分在物理，化學(xué)，經(jīng)濟(jì)，工程中也有重要的應(yīng)用，我也相信，隨著人類認(rèn)識(shí)的不斷發(fā)展，定積分將越來越起著重要的作用．</p><p><b>　　參考文獻(xiàn) ： </b></p><p>　　[1] 華東師大數(shù)學(xué)系編 數(shù)學(xué)分析上冊(cè) 高等教育出版社</p><p>　　[2] 數(shù)學(xué)分析上冊(cè) 陳傳

65、璋 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系 </p><p>　　[3] 微積分及其應(yīng)用 李公國（譯） 徐氏基金會(huì)出版社</p><p>　　[4] 普通物理簡明教程 戴啟潤 西北大學(xué)出版社 </p><p>　　[5] 競賽數(shù)學(xué)教程 陳傳理 張同君 高等教育出版社 </p><p>　　[6]

66、 積分（經(jīng)管類） 吳贛昌 中國人民大學(xué)出版社</p><p>　　[7] 濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分 吳傳生 高等教育出版社</p><p>　　[8] 等數(shù)學(xué) 聶洪珍 中國對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易出版社</p><p>　　[9] 濟(jì)數(shù)學(xué) 雷伊 利弗諾等 中國人民大學(xué)出版社&

67、lt;/p><p>　　[10] 經(jīng)濟(jì)學(xué)原理 曼昆 北京大學(xué)出版社</p><p>　　Theory, extension and application of definite integral thought</p><p>　　Content summary ： Definite integral problem is that

68、 the University has always been focused on learning mathematics, is one of the graduate entrance examination focused on investigation of content, so this article on the origins, development, and its definite integral in

69、mathematics, geometry, physics, economics and other disciplines do focus on the application of. Bing with some examples in addition to the detailed analysis to these issues. </p><p>　　Keywords: Definite inte

70、gral Cauchy differential equations of physical geometry economic variables</p><p>　　定積分思想的理論、延拓及應(yīng)用</p><p><b>　　孔姍姍</b></p><p><b>　　內(nèi)容摘要</b></p><p&