幾類常微分方程典型的解法[畢業(yè)論文]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　幾類常微分方程典型的解法</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號 </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要:自然界中很多事物的運(yùn)動規(guī)律可用微分方程來刻畫,微分方程是研究

3、自然科學(xué)和社會科學(xué)中的事物、現(xiàn)象運(yùn)動的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法.在我們的現(xiàn)實(shí)生活中存在著各式各樣的微分方程,常微分方程是其比較重要的存在形式.常微分方程作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支,是人們解決各種實(shí)際問題的有效工具,因此對常微分方程進(jìn)行求解有一定的必要性.本文主要總結(jié)了幾種常微分方程的典型解法及相關(guān)應(yīng)用.</p><p>　　關(guān)鍵詞:常微分方程;變量分離;積分因子;伯努利方程</p><p>

4、;　　The Solution to Several Kinds of Differential Equations </p><p>　　Abstract: Many things in nature's law of motion can be used to characterize by the differential equations. Natural science, social sci

5、ence things, the phenomenon of movement of the most basic mathematical theory and methods differential equations can be studied by the differential equations. In our real world, there are a lot of kind differential equat

6、ions. Differential equation is one of the most important existing forms. As an important branch of modern mathematics, ordinary differential equat</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b&g

7、t;　　1 緒論1</b></p><p>　　1.1 論文選題的背景、意義1</p><p>　　1.2 常微分方程的發(fā)展動態(tài)2</p><p>　　2 幾類常微分方程的一般解法5</p><p>　　2.1 微分方程及其解的定義5</p><p>　　2.2 變量分離法7</p>

8、<p>　　2.3 變量代換法9</p><p>　　2.4 常數(shù)變易法15</p><p>　　3 幾類常微分方程的特殊解法19</p><p>　　3.1 湊全微分法19</p><p>　　3.2 積分因子法21</p><p>　　4 幾類解法在伯努利方程中的應(yīng)用25</p>

9、;<p>　　4.1 伯努利方程的由來25</p><p>　　4.2 伯努利方程的求解26</p><p>　　4.2.1 變量分離法26</p><p>　　4.2.2 變量代換法27</p><p>　　4.2.3 常數(shù)變易法28</p><p>　　4.2.4 部分湊微分法29<

10、/p><p><b>　　5 結(jié)束語30</b></p><p>　　6 致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　7 參考文獻(xiàn)31</b></p><p><b>　　緒論</b></p><p>　　論文選題的背景、意義</p>

11、;<p>　　自然界中很多事物的運(yùn)動規(guī)律可用常微分方程來刻畫,常微分方程是研究自然科學(xué)和社會科學(xué)中的事物、現(xiàn)象運(yùn)動的演變規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法.常微分方程理論研究已經(jīng)有300百年的歷史,當(dāng)牛頓(Newton,1642-1727)、萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)創(chuàng)立了微積分以后,數(shù)學(xué)家便開始謀求用微積分這一有力的工具去解決愈來愈多的物理問題,但他們很快發(fā)現(xiàn)不得不去對付一類新的更復(fù)雜的問題,這類問題不能

12、通過簡單的積分解決,要解決這類問題需要專門的技術(shù),這樣,微分方程這門學(xué)科就應(yīng)運(yùn)而生了.</p><p>　　微分方程,是一個有長期歷史,而又正在不斷發(fā)展的學(xué)科;是一個既有理論研究意義,又有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的學(xué)科;是一個既得力于其他數(shù)學(xué)分支的支持,又為其他數(shù)學(xué)分支服務(wù)的學(xué)科,是一個表現(xiàn)客觀自然規(guī)律的工具學(xué)科,又是一個數(shù)學(xué)可以為實(shí)際服務(wù)的學(xué)科.“300年來分析是數(shù)學(xué)里首要的分支,而微分方程又是分析的心臟.這是初等微積分的

13、天然后繼課,又是為了了解物理科學(xué)的一門最重要的數(shù)學(xué),而且在它所產(chǎn)生的較深的問題中,它又是高等分析里最大部分思想和理論的根源.”塞蒙斯(Simmons)曾如此評價(jià)微分方程在數(shù)學(xué)中的地位[1].</p><p>　　常微分方程的發(fā)展極大地推動了自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)和社會科學(xué)的發(fā)展.到今天它已廣泛地滲透到了物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)學(xué)乃至社會科學(xué)等各個領(lǐng)域,反過來這些領(lǐng)域中提出的實(shí)際問題也推動了微分方程的進(jìn)一步深化,

14、使之成為當(dāng)今經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會進(jìn)步所不可或缺的一門技術(shù).數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展如復(fù)變函數(shù)、組合拓?fù)鋵W(xué)等都給常微分方程的發(fā)展以深刻的影響.當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具.現(xiàn)在,常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用,自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等.這些問題都可以化為求常微分方程的解,或者化為研究解的性質(zhì)的問題. </p>&

15、lt;p>　　但是,數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn),不是所有的微分方程的通解都能求出,從以前的“求通解”到“求解定解問題”的轉(zhuǎn)變,所以能求出微分方程的解是十分重要的.應(yīng)該說,應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就,但是,它的現(xiàn)有的理論也還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要,還有待于進(jìn)一步的發(fā)展,使這門學(xué)科的理論更加完善[2].本文主要總結(jié)了幾種常微分方程的典型解法及其相關(guān)應(yīng)用.</p><p>　　常微分方程的發(fā)展動態(tài)</p>&

16、lt;p>　　常微分方程是17世紀(jì)與微積分同時(shí)誕生的一門理論性極強(qiáng)且應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科之一.常微分的發(fā)展主要可以分為四個階段:常微分的經(jīng)典階段--以通解為主要研究內(nèi)容、常微分方程的適定性理論階段--以定解問題的適定性理論為研究內(nèi)容、常微分方程的解析理論階段--以解析理論為研究內(nèi)容、常微分方程的定性理論階段--以定性與穩(wěn)定性理論為研究內(nèi)容[3].</p><p>　　盡管在耐皮爾(John Napier,15

17、50-1617)所創(chuàng)立的對數(shù)理論及達(dá)芬奇提出的餓狼撲兔問題中都已涉及到微分方程發(fā)展的思想萌芽,但微分方程作為一門學(xué)科是伴隨著微積分的形成而產(chǎn)生的. 1676年,萊布尼茲在給牛頓的通信中,第一次提出“微分方程”這個數(shù)學(xué)名詞.17世紀(jì)到18世紀(jì)是常微分方程發(fā)展的經(jīng)典階段,以求通解為主要內(nèi)容. 牛頓和萊布尼茲在建立微分方程與積分運(yùn)算時(shí)就指出了它們的互逆性,實(shí)際上是解決了最簡單的微分方程的求解問題.此外,牛頓、萊布尼茲也都應(yīng)用了無窮級數(shù)和待定系

18、數(shù)法解出了某些初等微分方程[3].萊布尼茲最早使用變量分離法解微分方程.他用這種方法解決了形如的方程,同一年,他又用變量分離法解出了一階齊次方程.在17世紀(jì),作為微積分的一部分,微分方程跟微積分彼此不分.到了18世紀(jì),由于天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)的需要,同時(shí)也因?yàn)橐鉀Q許多較為復(fù)雜的問題,需要專門的技術(shù),這樣,微分方程開始成為一門獨(dú)立的學(xué)科而存在.在1734-1735年的論文中,歐拉提出了全微分方程,即方程中的是某個函數(shù)的恰當(dāng)微分,并給出所

19、給方程的全微分條件.他確立了可采用積分因子的方程類型,證明了凡是分離變量的方程</p><p>　　19世紀(jì)是微分方程嚴(yán)格理論的奠定時(shí)期,此階段為常微分方程發(fā)展的適定性理論階段,人們從求通解的熱潮轉(zhuǎn)向研究常微分方程的適定性理論.18世紀(jì)以后不斷出現(xiàn)的特殊的微分方程的求解問題,如里卡蒂方程求解問題,使數(shù)學(xué)家招架不住了,于是轉(zhuǎn)向?qū)獾拇嬖谛詥栴}的思考.第一個考慮微分方程解的存在性的是柯西(A.Cauchy,1789-

20、1857),19世紀(jì)20年代,他建立了柯西問題解的存在唯一性定理.1873年,德國數(shù)學(xué)家李普希茲(Rudolph Lipschitz.1832-1903)提出著名的“李普希茲條件”,對柯西的存在唯一性定理做了改進(jìn).在適定性理論的研究中,與柯西、李普希茲同一時(shí)期的還有皮亞拿與皮卡,他們先后于1875年和1876年給出常微分方程的逐次逼近法,皮亞拿在僅僅要求在點(diǎn)領(lǐng)域連續(xù)的條件下證明了柯西問題解的存在性.后來這方面的理論有了很大的發(fā)展,這些基

21、本理論包括:解的存在及唯一解,延展性,解的唯一存在性,解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性和可微性、奇解等,這些問題是微分方程的一般基礎(chǔ)理論問題[3].</p><p>　　19世紀(jì)為常微分方程發(fā)展的解析理論階段,這一階段的主要理論結(jié)果是微分方程的解析理論,運(yùn)用冪級數(shù)和廣義冪級數(shù)解法,求出一些重要的二階線性方程的級數(shù)解,并得到及其重要的一些函數(shù).1826年,貝塞爾研究行星運(yùn)動時(shí),開始系統(tǒng)地研究貝塞爾方程,貝塞爾得出了此方程

22、的兩個級數(shù)解,分別稱為第一類貝塞爾函數(shù)和第二類貝塞爾函數(shù).另一個重要內(nèi)容是勒讓德方程的級數(shù)解和勒讓德多項(xiàng)式方面的成果.1784年他出版的代表作《行星外形的研究》中研究了勒讓德方程,并且給出了冪級數(shù)解的形式.高斯研究了高斯幾何方程,并且得到了級數(shù)解,同時(shí),他還建立了公式,并指出對不同值,此級數(shù)包括了幾乎所有的初等函數(shù)和類似貝塞爾函數(shù)的特征函數(shù).</p><p>　　在19世紀(jì)后半葉,天體力學(xué)及其他技術(shù)科學(xué)提出的一些

23、問題中,需要研究比較復(fù)雜的微分方程的解的局部和全局性質(zhì).但由于絕大多數(shù)的這種方程不能用初等函數(shù)的積分表達(dá)通解,因此學(xué)者們考慮直接根據(jù)微分方程的結(jié)構(gòu)來研究微分方程解的屬性.為此,法國數(shù)學(xué)家龐加萊(Henri Poincare,1854-1912)就開始了微分方程的定性研究,從1881年起,龐加萊獨(dú)創(chuàng)出微分方程的定性理論.此后,為了尋求只通過考察微分方程本身就可以問答關(guān)于穩(wěn)定性等問題的方法,他從非線性方程出發(fā),發(fā)現(xiàn)微分方程的奇點(diǎn)起關(guān)鍵作用,

24、并把奇點(diǎn)分為四類(焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)、中心),討論了解在各個奇點(diǎn)附近的性狀.龐加萊關(guān)于常微分方程定性理論的一系列課題,成為動力系統(tǒng)地開端.常微分方程定性理論中另一個重要領(lǐng)域是1892年由俄國數(shù)學(xué)家李雅普諾夫(1857-1918)創(chuàng)立的運(yùn)動穩(wěn)定性理論.李雅普諾夫在他的博士論文《運(yùn)動穩(wěn)定性的一般問題》中創(chuàng)造了兩種新方法;首創(chuàng)了運(yùn)動穩(wěn)定性的一半理論.到1937年數(shù)學(xué)家龐特里亞金提出結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性概念,且嚴(yán)格證明了其充要條件,使動力系統(tǒng)的研究向大范圍

25、轉(zhuǎn)化.穩(wěn)定性理論在美國迅速地變成訓(xùn)練自動控制方面的工程師的一個標(biāo)準(zhǔn)部分</p><p>　　二十世紀(jì)自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的發(fā)展,一個顯著的特點(diǎn)是多學(xué)科的互相滲透,數(shù)學(xué)向各個學(xué)科的滲透更為普遍和突出.常微分方程作為數(shù)學(xué)模型廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、生理學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、化學(xué)等領(lǐng)域,如:傳染病模型[5]、兩生物種群生態(tài)模型[6]、人口模型[6]等.與此同時(shí),國內(nèi)一些定性理論工作者在80年代迅速轉(zhuǎn)向生物學(xué),開展生物

26、微分方程的研究,做出了有意義的成果[6],一些穩(wěn)定性理論工作者在70年代末期開展了泛函微分方程的研究,李森林等著的《泛函微分方程》總結(jié)了他們近期的工作.同時(shí)還有不少人從事研究離散動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性、隨機(jī)微分方程的穩(wěn)定性、大型控制系統(tǒng)等.</p><p>　　微分方程是一門十分有用又十分有魅力的學(xué)科,自1693年微分方程概念的提出到動力系統(tǒng)地長足發(fā)展,常微分方程經(jīng)歷漫長而又迅速地發(fā)展,極大豐富了數(shù)學(xué)家園的內(nèi)容.物理、

27、化學(xué)、航空航天、經(jīng)濟(jì)、天文、自動控制和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以用微分方程來描述,如萬有引力定律、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反過程穩(wěn)定性的研究、人口發(fā)展規(guī)律、疾病傳染、股票的漲跌趨勢、市場均衡價(jià)格的變化等,對這些規(guī)律的描述、認(rèn)識和分析就歸結(jié)為對相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究.因此,常微分方程的理論研究和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué),而且越來越多地應(yīng)用于社會科學(xué)的各個領(lǐng)域.隨著社會技術(shù)的

28、發(fā)展和需求,常微分方程會有更大的發(fā)展,比如偏微分方程的迅速發(fā)展.可以預(yù)測:隨著依賴數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其他學(xué)科的發(fā)展,常微分方程還會繼續(xù)擴(kuò)展.</p><p>　　幾類常微分方程的一般解法</p><p>　　微分方程及其解的定義</p><p>　　在初等數(shù)學(xué)里已經(jīng)學(xué)過方程，形如</p><p><b>　　,</b><

29、/p><p><b>　　,</b></p><p>　　等都是方程，其中是未知量，它們的解是某個特定的值．也見過另一類方程，例如</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　等，這里若為自變量，則和就

30、是未知函數(shù)，它們的解是的函數(shù)，這種方程稱為函數(shù)方程．</p><p>　　本文研究的是另一類方程，是聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程，這種方程稱為微分方程．其中必須含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．例如</p><p>　　， (2-1)</p><p>　　

31、， (2-2)</p><p>　　， (2-3)</p><p>　　， (2-

32、4)</p><p>　　， (2-5)</p><p>　　， (2-6)</p><p>　　， (2-7)

33、 </p><p>　　等等都是微分方程[7]．</p><p>　　定義2.1[8]在微分方程中，自變量個數(shù)只有一個的方程為常微分方程．(ordinary differential equation,ODE)．</p><p>　　定義2.2[8]在微分方程中，自變量個數(shù)為兩個或兩個以上的微分方程為偏微分方程．(part

34、ial differential equation,PDE)．</p><p>　　所以，在以上的微分方程中，(2-1)～(2-5)式是常微分方程，自變量只有一個，(2-1)式、(2-1)式、(2-5)式的自變量為,是未知函數(shù)；(2-3)式的自變量為，是未知函數(shù)；(2-4)式的自變量為，為未知函數(shù)(2-6)式、(2-7)式是偏微分方程,自變量有兩個及兩個以上，在(2-6)中自變量是，在(2-7)中自變量是,未知函

35、數(shù)均為．</p><p>　　定義2.3[8]微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù)．例如方程(2-1)、(2-2)、(2-3)都是一階方程,(2-4)、(2-6)、(2-7)都是二階方程，(2-5)是階方程．</p><p>　　定義2.4設(shè)函數(shù)連續(xù)，且有一直到階的各階導(dǎo)數(shù)，使得</p><p><b>　　(2-8)</b&g

36、t;</p><p><b>　　則稱函數(shù)為方程</b></p><p><b>　　(2-9)</b></p><p><b>　　的解[8]．</b></p><p>　　定義把含有個獨(dú)立的任意常數(shù)的解</p><p>　　稱為階方程(2-9)的通解

37、．</p><p>　　為了確定微分方程的一個特定的解，我們通常給出這個解鎖必須的條件,這就是所謂的定解條件．常見的定解條件是初值條件和邊值條件．所謂階微分方程(2-9)的初值條件是指如下個條件：</p><p>　　當(dāng)時(shí)，,,, (2-10)</p><p>　　這里是給定的個常數(shù)．初值條件(2-10)有時(shí)

38、可以寫為</p><p>　　. (2-11)</p><p>　　滿足初值條件的解稱為微分方程的特解[8]．</p><p><b>　　變量分離法</b></p><p><b>　　形如</b></p><p>

39、　　………………………………………(2-12)</p><p>　　的方程，稱為變量可分離方程，其特點(diǎn)是右端為僅含有的函數(shù)和僅含有的函數(shù)的乘積[9]．例如方程，，都是變量分離方程．</p><p>　　設(shè)，分別是，的連續(xù)函數(shù)，我們分兩種情況進(jìn)行討論．</p><p>　　若，先分離變量，方程兩邊同除以，乘以，把方程(2-12)化為</p><p&

40、gt;　?。?(2-13)</p><p>　　然后，兩邊分別對和積分，得</p><p>　?。?(2-14)</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　，，</b></p

41、><p>　　則式(2-14)可寫成</p><p>　　， (2-15)</p><p>　　這里是任意常數(shù)．等式(2-15)是方程(2-12)的通解(通積分)．</p><p>　　(2)若有實(shí)數(shù)，使得，則把函數(shù)(常值函數(shù))代入方程(2-12)直接驗(yàn)證，可知也是方程(2-12)的解．<

42、;/p><p>　　上述討論說明，為了求解方程(2-12)，關(guān)鍵在于使變量和分離出來，使得的系數(shù)僅是的函數(shù)，的系數(shù)僅是的函數(shù)，從而就可以通過各自積分求得其通積分，這種方法就是變量分離法[9]．</p><p>　　這里需要指出的是：當(dāng)時(shí)，方程(2-12)與隱函數(shù)方程(2-15)是等價(jià)的，即方程(2-12)和(2-15)的解集相同．</p><p>　　由此,我們可以看出

43、，變量分離方程的求解思路主要分為三步：(1)分離變量，(2)對方程兩邊同時(shí)積分并整理得通解，(3)由初始條件求方程的特解[10]．</p><p><b>　　求解方程</b></p><p>　　. (2-16)</p><p>　　解 由題可知原方程時(shí)變量可分離方程．</p>

44、<p>　　(1)當(dāng)時(shí)，變量分離可得</p><p><b>　　等式兩邊積分，有</b></p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　整理得</b></p><p>　　， (2-17

45、)</p><p>　　其中是任意非零常數(shù)．</p><p>　　(2)另外，經(jīng)檢查，也是方程(2-16)的解．而只要我們允許上式中的可取零值，則就可被包含在上式(2-17)中(它對應(yīng))的解，因此，方程(2-16)的通解為</p><p><b>　　，為任意常數(shù)．</b></p><p><b>　　求解方程

46、</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　解 由題可知原方程是變量可分離方程．</p><p><b>　　將方程變形為</b></p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　變量

47、分離可得</b></p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　等式兩邊積分，有</b></p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　整理得</b></p><p><

48、b>　　．</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　這里是任意常數(shù)．</b></p><p><b>　　變量代換法</b></p><p&g

49、t;　　一些方程，常?？梢酝ㄟ^引入適當(dāng)變量代換，化為變量已分離型方程或是其他已知解法的方程．</p><p>　　我們通過兩種方程來介紹變量代換法：</p><p><b>　　我們稱形如</b></p><p><b>　　(2-18)</b></p><p>　　的方程為齊次方程，其中為的連續(xù)函

50、數(shù)．顯然作為的函數(shù)是零次齊次的，例如方程</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　都是齊次方程．</b></p><p>　　求解齊次方程的關(guān)鍵是對未知函數(shù)進(jìn)行變量替換，亦即用一個新的未知函數(shù)代替原來的未知函數(shù)，將方程(2-18)化成變量分離方程．利用變量替換來換來解微分方程是一種常用的技巧．

51、對于方程(2-18)，我們做如下的變量替換</p><p>　　， (2-19)</p><p>　　亦即，這里是用新未知函數(shù)來代替原來的未知函數(shù)，故也是的函數(shù)，于是</p><p>　?。?(2-20)</p><p>　　將(2-

52、19)，(2-20)代入方程(2-18)即得</p><p><b>　　；</b></p><p><b>　　由此推出</b></p><p>　?。?(2-21)</p><p>　　這是一個變量分離方程，其通解為</p>&l

53、t;p>　?。?(2-22)</p><p>　　再利用變換(2-19)可得原方程(2-18)的通解．這時(shí)若存在使得，則也是(2-18)的解[11]．</p><p><b>　　求解方程</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p

54、>　　解 此方程是齊次方程．令，代入原方程，得</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　即</b></p><p>　?。?(2-23)</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，分離變量得</b>

55、;</p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　等式兩邊積分，得到</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　整理得</b></p><p>　　．

56、 (2-24)</p><p>　　另外，由，即，知方程(2-23)還有解，．若在式(2-24)中允許，則這些解包含在式(2-24)之中．</p><p>　　再用換回原變量，就得到原方程的通積分為</p><p><b>　　，是任意常數(shù)．</b></p><p><b>　　求解方程&

57、lt;/b></p><p><b>　　．</b></p><p>　　解 方程可以改寫為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　故它是齊次方程．令，則，代入原方程，得</p><p><b>　　．</b></p&

58、gt;<p><b>　　整理得</b></p><p>　?。?(2-25)</p><p><b>　　若，分離變量，得</b></p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　等式兩邊積分

59、，得到</b></p><p>　?。?(2-26)</p><p>　　由，知方程(2-25)還有解，．但是，若在式(2-26)中允許，則解包含在式(2-26)之中．</p><p>　　再用代入式(2-26)，得到原方程的通積分為</p><p><b>　　，

60、為任意常數(shù)．</b></p><p><b>　　另外，由可得解．</b></p><p><b>　　形如</b></p><p><b>　　(2-27)</b></p><p>　　的方程也可經(jīng)過變量替換化為變量分離方程，這里均為常數(shù)．對于這種方程，我們分三種

61、情形來討論：①</p><p><b>　　① (常數(shù))情形．</b></p><p><b>　　這時(shí)方程化為</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　有通解為</b></p><p>　　，(

62、c為任意常數(shù))．</p><p><b>　?、?情形．</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　，<

63、;/b></p><p><b>　　這時(shí)有</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　這是一個變量分離方程，我們可以用變量分離法求得它的解．</p><p><b>　　③ 情形．</b></p><p><b&g

64、t;　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　若不全為0，這時(shí)可做變換</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而所求方程變?yōu)?lt;/b></p><p><b>　　，&

65、lt;/b></p><p>　　這也是一個變量分離方程，可通過變量分離法求解．</p><p>　　若，則可取變換，再用變量分離法求得[8]．</p><p><b>　　求解方程</b></p><p><b>　　(2-28)</b></p><p>　　解 容

66、易看出，方程(2-28)是屬于上面的情形③，因此先求出方程組</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　的解為．令</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　代入方程(2-28)，則有</p><p>

67、　　， (2-29)</p><p>　　再令，即，則(2-29)化為</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　等式兩邊積分，得</b></p><p><b>　　，</b></p>

68、<p><b>　　因此</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　記，并代回原變量，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><

69、;b>　　此外，容易驗(yàn)證</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p>　　也是方程(2-29)的解，因此方程(2-28)的通解為</p><p><b>　　，</b></p><

70、p><b>　　其中為任意常數(shù)．</b></p><p><b>　　求解方程</b></p><p>　　． (2-30)</p><p><b>　　解 解方程組</b></p><p><b>　　，<

71、/b></p><p><b>　　得．令</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　代入方程(2-30)，則有</p><p>　?。?(2-31)</p><p>　　再令，即，則方程(2

72、-31)化為</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　解此方程，得</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　將換成，得</b></p><p><b>　　故

73、原方程的通積分為</b></p><p><b>　　，為任意常數(shù)．</b></p><p><b>　　常數(shù)變易法</b></p><p><b>　　一階線性微分方程</b></p><p>　　， (

74、2-32)</p><p>　　其中，在考慮的區(qū)間內(nèi)是的連續(xù)函數(shù)．若=0，則(2-32)式變?yōu)?lt;/p><p>　　， (2-33)</p><p>　　為一階齊次線性微分方程．若，則(2-32)為一階非齊次線性微分方程．</p><p>　　(1)首先對齊次線性微分方程(2-3

75、3)式進(jìn)行求解，其中是連續(xù)函數(shù)．</p><p>　　將(2-33)式變量分離，得到</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　兩邊積分，得</b></p><p>　?。?(為任意常數(shù))</p><p><b>　　由對數(shù)定義，即有&

76、lt;/b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　令，得到</b></p><p>　?。?

77、 (2-34)</p><p>　　(2)再討論非齊次線性微分方程(2-32)式通解的求法．</p><p>　　不難看出，(2-33)是(2-32)的特殊情形，可以設(shè)想：在(2-34)中,將常數(shù)變易為的待定函數(shù)</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p&

78、gt;　　， (2-35)</p><p><b>　　對其求導(dǎo)，得</b></p><p>　?。?(2-36)</p><p>　　以(2-35)，(2-36)代入(2-32)，得到</p><p><

79、;b>　　=，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　積分后得到</b></p><p>　　， (為任意常數(shù))</p><p>　　將上式代入(2-35

80、)，得到方程(2-32)的通解</p><p>　　． (2-37)</p><p>　　這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法,我們通常稱為常數(shù)變易法[8]．</p><p><b>　　求解方程</b></p><p><b>　　，</b><

81、/p><p><b>　　這里是常數(shù)．</b></p><p><b>　　解 將方程改寫為</b></p><p>　　． (2-38)</p><p>　　先求解齊次線性微分方程</p><p><b>　　的通解，從

82、</b></p><p>　　得到齊次線性微分方程的通解</p><p><b>　　．</b></p><p>　　(2)應(yīng)用常數(shù)變易法求非齊次線性微分方程的通解．為此，在上式中把看成為的待定函數(shù)，即</p><p>　　， (2-39)</p&

83、gt;<p><b>　　微分之，得到</b></p><p>　?。?(2-40)</p><p>　　以((2-39)及(2-40)代入(2-38)，得到</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　積分之,求得

84、</b></p><p><b>　　．</b></p><p>　　因此，以所求的代入(2-39)，即得原方程的通解</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　這里是任意常數(shù)．</b></p><p><b&

85、gt;　　求解方程</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　解 將方程改寫為</b></p><p>　?。?(2-41)</p><p>　　先求齊次線性微分方程</p><

86、p>　　的通解．分離變量并積分之，得</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　令</b></p><p>　　是方程(2-41)的解，將它代入方程(2-41)，得到</p><p><b>　　．</b></p><p>

87、;<b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　積分之，得</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　因此，原方程的通解為</p><p><b>　

88、　,是任意常數(shù)．</b></p><p>　　幾類常微分方程的特殊解法</p><p><b>　　湊全微分法</b></p><p><b>　　我們可以將一階方程</b></p><p><b>　　寫成微分的形式</b></p><p>

89、;<b>　　，</b></p><p>　　或把平等看待，寫成下面具有對稱形式的一階微分方程</p><p>　　， (3-1)</p><p>　　這里假設(shè)在某矩形域內(nèi)是的連續(xù)函數(shù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)．這樣的形式有時(shí)便于探求方程的通解．</p><p>　　如果方

90、程(3-1)的左端恰好是某個二元函數(shù)的全微分，即</p><p>　　=， (3-2)</p><p>　　則稱(3-1)為恰當(dāng)微分方程(全微分方程)．</p><p>　　容易驗(yàn)證，(3-1)的通解就是</p><p><b>　　，</b></p><p><b&

91、gt;　　這里是任意常數(shù)．</b></p><p>　　方程(3-1)是恰當(dāng)方程的充要條件是</p><p>　　， (3-3)</p><p>　　且方程(3-1)的通解就是</p><p><b>　　[6].．</b></p><p

92、>　　對一些恰當(dāng)微分方程，為了求出相應(yīng)的全微分方程的原函數(shù)，可以采用分組湊微分法來求解．即把方程左端的各項(xiàng)重新進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M合，使得每組的原函數(shù)容易由觀察求得，從而求得，這種方法更為簡便．</p><p>　　“湊全微分”這一步驟，要求我們非常熟悉一些常用的全微分公式，例如：</p><p><b>　　，</b></p><p><

93、b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>

94、　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　．</b></p><p>　　試用湊微分法求解方程</p><p><b>　?。?lt;/b>&l

95、t;/p><p><b>　　解 因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　,，</b></p><p>　　所以此方程是恰當(dāng)微分方程．</p><p>　　將方程重新“分項(xiàng)組合”，得到</p><p><b>　　，</b></p><

96、;p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p&g

97、t;<b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　所以，方程的通解為</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　這里是任意常數(shù)．</b></p><p>　　試用湊微分法求解方程</p><p&g

98、t;<b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　解 因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以此方程是恰當(dāng)微分方程．</p><p>　　將方程重新“分項(xiàng)組合”，得到</p><p><b>　　，

99、</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以，方程的

100、通解為</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　這里是任意常數(shù)．</b></p><p><b>　　積分因子法</b></p><p>　　我們已經(jīng)知道了全微分方程的解法，某些例如的方程雖然不是全微分方程，但是可以設(shè)法將它們化為

101、全微分方程．例如，方程不是全微分方程，但用函數(shù)乘該方程后，它變?yōu)榱巳⒎址匠?lt;/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其左端的原函數(shù)為．</b></p><p>　　一般來說，若方程(3-1)不是全微分方程，但是存在連續(xù)可微函數(shù)，用它乘以方程(3-1)后，能使方程</p><

102、p>　　， (3-4)</p><p>　　成為全微分方程，則稱為方程(3-1)的一個積分因子．</p><p>　　這時(shí)，是(3-4)的通解，因而也是(3-1)的通解．需要注意的是，一個方程的積分因子不是唯一的．</p><p>　　根據(jù)3.1，函數(shù)為(3-1)的積分因子的充要條件是</p><p><b&

103、gt;　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p>　　， (3-5)</p><p>　　這是一個以為未知函數(shù)的一階線性偏微分方程．要想通過解方程(3-5)來求積分因子，從而得到方程(3-1)的解，在一般情況下，將比求解方程(3-1)本身更難．但是，在特殊情形中，

104、求方程(3-5)的一個特解還是很容易的．</p><p>　　例如，對于方程(3-1)，如果存在只與有關(guān)的積分因子，則，這時(shí)方程(3-5)變成</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p>　　． (

105、3-6)</p><p>　　由此可知，方程(3-1)有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是</p><p>　　， (3-7)</p><p>　　這里僅為的函數(shù)．假如條件(3-7)成立，則根據(jù)方程(3-6)，可以求得方程(3-1)的一個積分因子</p><p>　?。?

106、 (3-8)</p><p>　　同樣，(3-1)有只與有關(guān)的積分因子的充要條件是</p><p><b>　　，</b></p><p>　　這里僅為的函數(shù)．從而求得方程(3-1)的積分因子</p><p><b>　　[8]．</b></p>&l

107、t;p>　　試用積分因子法求解方程</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　解 因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　,，</b></p><p>　　兩者不等，它不是恰當(dāng)方程．</p><p><b>

108、　　注意到</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　它只與有關(guān)，所以方程只有積分因子</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　以乘原方程，整理得</b></p><p><b>

109、;　　，</b></p><p>　　這顯然是一個恰當(dāng)方程，通積分是</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　試用積分因子法求解方程</p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　解 因?yàn)?lt;/b>&

110、lt;/p><p><b>　　，，</b></p><p>　　兩者不等，它不是恰當(dāng)方程．</p><p><b>　　注意到</b></p><p>　　它只與有關(guān)，所以方程只有積分因子</p><p><b>　　．</b></p>&l

111、t;p>　　以乘以原方程，整理得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　這顯然是一個恰當(dāng)方程，通積分是</p><p><b>　　．</b></p><p>　　幾類解法在伯努利方程中的應(yīng)用</p><p><b>　　伯努利方程的由來

112、</b></p><p>　　17世紀(jì)由牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立的微積分，為數(shù)學(xué)的研究提供了強(qiáng)有力的工具．此后的大部分?jǐn)?shù)學(xué)家的注意力，都被這有著無限發(fā)展前途的學(xué)科所吸引．盡管微積分興起的初期還存在著一些邏輯上的缺陷，但大部分?jǐn)?shù)學(xué)家則暫時(shí)擱下邏輯基礎(chǔ)不顧，勇往直前地去開辟新的園地，如伯努利兄弟、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、魏爾斯特拉斯等人．</p><p>　　自從微積分被創(chuàng)立,很多數(shù)學(xué)

113、家就用微積分這一工具去解決問題．但是，他們發(fā)現(xiàn)有些問題不能通過簡單的積分解決，而是需要其他的技術(shù)，所以，微分方程也就誕生了．</p><p>　　對于微分方程的產(chǎn)生于發(fā)展，伯努利家族做出了巨大的貢獻(xiàn)．在引言中提到的“等時(shí)問題”，雅各布·伯努利將其歸結(jié)為求一個微分方程的解，他認(rèn)為這個微分等式兩端的積分必須相等，并給出解答，這是一條擺線．在給出這個問題解答的同一篇論文中，雅各布·伯努利提出了一個新

114、的問題：一根柔軟而不能伸長的弦自由懸掛于兩固定點(diǎn)，求這個弦所形成的曲線．萊布尼茲稱此曲線為懸鏈線．問題提出一年后，萊布尼茲、惠根斯和約翰·伯努利分別給出了解答．對此，約翰感到莫大的驕傲，他認(rèn)為這是勝過哥哥的一個重要標(biāo)志，因?yàn)樗母绺绫M管提出這個問題，但不能解決．</p><p>　　在這兩兄弟的互相競賽中，在1691年到1692年之間他們先后解決了懸掛著的變密度非彈性軟繩、等厚度的彈性軟繩以及在每一點(diǎn)上

115、的作用力都指向一個固定中心的細(xì)繩所形成的問題．在解決這些問題的過程中，他們總結(jié)出了解微分方程的變量分離法[12]．</p><p>　　著名的伯努利微分方程</p><p>　　， (4-1)</p><p>　　是由雅各布·伯努利于1695年提出的．其中為的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù)．而另一個伯努利方程<

116、;/p><p>　　， (4-2)</p><p>　　其中為壓強(qiáng)，為流體的密度，為高度，為流速，為常數(shù)．本文主要研究的是雅各布·伯努利提出的伯努利微分方程[13]．</p><p><b>　　伯努利方程的求解</b></p><p>　　伯努利(Bernou

117、lli)方程是一種特殊的一階非線性常微分方程，在機(jī)械工程等方面有非常廣泛的應(yīng)用．對求伯努利方程通解的研究具有重要的理論意義很廣泛的應(yīng)用價(jià)值．求伯努利方程解法也比較多．本文主要從伯努利方程的變量分離法、變量代換法、常數(shù)變易法、湊微分法對伯努利方程進(jìn)行求解．</p><p><b>　　定義 形如</b></p><p>　　，

118、 (4-3)</p><p>　　的方程，稱為伯努利(Bernoulli)方程[14]．其中為的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù)．</p><p><b>　　變量分離法</b></p><p>　　伯努利方程是一種一階非線性常微分方程，變量分離法是通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q后將它化為一階線性非齊次微分方程．即對于，</p><p>　

119、　(1)將方程(4-3)兩邊同乘以，得到</p><p>　　， (4-4)變量代換</p><p>　　， (4-5)從而</p><p>　　， (4-6)將(4-5)，(4

120、-6)帶入(4-4)，得到</p><p>　　， (4-7)</p><p><b>　　這是線性微分方程．</b></p><p>　　(2)所以可以求對應(yīng)齊次方程</p><p>　　， (4-8)<

121、;/p><p><b>　　的解．</b></p><p><b>　　可得</b></p><p>　　， (4-9)</p><p>　　(3)通過常數(shù)變易法求得一階線性非齊次方程(4-7)的通解，把上式中的看成為關(guān)于的待定函數(shù)，令<

122、/p><p>　　， (4-10)對方程(4-10)兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得</p><p>　　， (4-11)將方程(4-10)，(4-11)代入到(4-7)并化解，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b

123、>　　對上式兩邊積分，得</b></p><p>　　，(為任意常數(shù)) (4-12)把方程(4-12)代入(4-10)，得</p><p>　　， (4-13)</p><p>　　(4)最后經(jīng)變量代換得原方程的通解[15]，把(4-5)代入(4-13)得到原方程的解</p><p

124、><b>　　(為任意常數(shù))．</b></p><p>　　此外,當(dāng)時(shí)，方程還有解．</p><p><b>　　變量代換法[16]</b></p><p>　　設(shè)是伯努利方程的解，則對其求導(dǎo)得</p><p><b>　　，</b></p><p&g

125、t;<b>　　代入伯努利方程得</b></p><p>　　， (4-14)</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　得</b></p><p&g

126、t;　　， (4-15)</p><p>　　將(4-15)代入(4-14)，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p>

127、<p>　　故伯努利方程的通解為</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　常數(shù)變易法[16]</b></p><p>　　伯努利方程對應(yīng)的一階齊次線性微分方程即為(2-33)式，所以其通解為．</p><p><b>　　所以根據(jù)上面可設(shè)</b

128、></p><p>　　， (4-16)</p><p>　　為伯努利方程的解,有</p><p>　　， (4-17)</p><p>　　將(2-34)，(2-37)代入伯努利方程得</p><p><b>　　，<

129、/b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　兩端取積分</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　故伯努利方程的通解為</

130、p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　部分湊微分法[15]</p><p>　　現(xiàn)在給出利用部分湊微分法的直接解法，此法的關(guān)鍵在于對方程中的系數(shù)的討論．</p><p>　　當(dāng)時(shí)，方程即為，為變量可分離方程,易于求解．</p><p>　　當(dāng)時(shí)，若存在函數(shù)使得方程兩端同乘以后左端成為

131、某一函數(shù)的導(dǎo)</p><p>　　數(shù)，則兩端積分可得伯努利方程的通解：</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　將方程兩端同乘以乘以，得到</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　若存在</b></p

132、><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而有</b></p><p><b>　　．</b></p><p><b>　　其中，，所以有</b></p><p><b>　　，</b><

133、;/p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　， ，</b></p><p><b>　　故原方程的通解為</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　結(jié)束語<

134、/b></p><p>　　數(shù)學(xué)作為一種創(chuàng)造性活動不僅擁有真理，而且擁有至高無上的美．常微分方程是指包含一個自變量和它的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的微分的等式．常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)都有著非常重要的作用，比如自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等．這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題．本文主要是對部分常微分方程的求解方法做

135、一個綜述．</p><p>　　本文首先介紹了常微分方程的背景、發(fā)展歷史、基本概念,再對常微分方程的幾種典型解法進(jìn)行歸納，即變量分離法、變量代換打、常數(shù)變易法、湊全微分法、積分因子法，然后再將這些求解方法應(yīng)用于伯努利方程的求解當(dāng)中．</p><p>　　由于時(shí)間倉促，水平有限，文中所討論的內(nèi)容也僅停留在已有的成果基礎(chǔ)上，希望在以后的實(shí)踐中能夠逐漸加深對常微分方程求解的有關(guān)問題的研究，懇請老