畢業(yè)論文常微分方程的初等解法

1、<p>　　1．常微分方程的基本概況 </p><p><b>　　1.1.定義：</b></p><p>　　自變量﹑未知函數(shù)及函數(shù)的導數(shù)（或微分）組成的關系式，得到的便是微分方程，通過求解微分方程求出未知函數(shù)，自變量只有一個的微分方程稱為常微分方程。</p><p><b>　　1.2.研究對象：</b>

2、</p><p>　　常微分方程是研究自然科學和社會科學中的事物、物體和現(xiàn)象運動﹑演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學理論和方法。物理﹑化學﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑醫(yī)學﹑經(jīng)濟和金融領域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當?shù)某Ｎ⒎址匠獭Ｈ缗ｎD運動規(guī)律、萬有引力﹑能量守恒﹑人口發(fā)展規(guī)律﹑生態(tài)總群競爭﹑疾病傳染﹑遺傳基因變異﹑股票的漲伏趨勢﹑利率的浮動﹑市場均衡價格的變化等。對這些規(guī)律的描述﹑認識和分析就歸結為對相應的常微分

3、方程的理論和方法不僅廣泛應用于自然科學，而且越來越多的應用于社會科學各個領域。</p><p><b>　　1.3.特點：</b></p><p>　　常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關幾點簡述一下，以了解常微分方程的特點。求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標，一旦求出通

4、解的表達式，就容易從中得到問題所需要的特解。也可以由通解的表達式，了解對某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對應的解具有所需要的性能，還有助于進行關于解的其他研究?！　?</p><p><b>　　1.4.應用：</b></p><p>　　現(xiàn)在，常微分方程在很多學科領域內(nèi)有著重要的應用，自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研

5、究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。應該說，應用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠遠不能滿足需要，還有待于進一步的發(fā)展，使這門學科的理論更加完善。</p><p>　　2.一階的常微分方程的初等解法</p><p>　　一階常微分的初等解法包括變量分離方程與變量變換﹑可以化為變量分離方程的類型﹑線性微分方

6、程與常數(shù)變易法﹑恰當微分方程與積分因子，下面我們就具體分析一階常微分方程的初等解法。</p><p>　　2.1、變量分離方程法</p><p>　　形如，（2.1）的方程，稱為變量分離方程，這里的，分別是x，y的連續(xù)函數(shù)。如果，我們可將（2.1）改寫成，這樣變量就“分離”開來了。兩邊積分得到，（2.2）。</p><p>　　例1：方程就可以用變量分離法求解方程&

7、lt;/p><p>　　解： 變量分離，得到 ，</p><p><b>　　兩邊積分，即得 ，</b></p><p>　　因而，通解為 ，（c為任意常數(shù)）</p><p>　　2.2、可化為變量分離方程的類型</p><p>　　(1) 形如，（2.3）的方程，稱為齊次微分方程，這里是u

8、的連續(xù)函數(shù)。作變量變換，（2.4）即，于是，（2.5）.將（2.4），（2.5）代入（2.3），則原方程變?yōu)?，整理后，得?(2.6).方程（2.6）是一個變量分離方程，這就所為的可以化為變量分離的方程。</p><p>　　例2方程 就是一個可以化為變量分離的方程。</p><p>　　解 這是齊次微分方程，以 及代入，則原方程變?yōu)?。即?lt;/p><p>　　將

9、上式分離變量，既有 ，</p><p>　　兩邊積分，得到 ，（為任意常數(shù)）</p><p><b>　　整理，得到 ，</b></p><p><b>　　令，得到 </b></p><p>　　將代入上式，得到方程的通解為 </p><p>　　(2)形如,(

10、2.7)的方程也可以經(jīng)變量變換化為變量分離方程，，，，，，均為常數(shù)。</p><p>　　我們分三種情況來討論：</p><p>　?、?常數(shù))情形。這時方程化為，有通解，其中c 為任意常數(shù)。</p><p>　?、谇樾?。令，這時有是變量分離方程。</p><p>　?、矍樾巍Ｈ绻匠?2.7)中，不全為零，方程右端分子﹑分母都是x，y的一

11、次多項式，因此（2.8）.代表Oxy平面上兩條相交的直線，設交點為。若令（2.9）。則（2.8）化為從而（2.7）變?yōu)椋?.10）。因此，求解上述變量分離方程，最后代回原變量即可得原方程（2.7）的解。如果方程（2.7）中，可不必求解（2.8），直接取變換即可。</p><p>　　上述解題的方法和步驟也適用于比方程（2.7）更一般的方程類型。</p><p>　　例3 方程就可以用上

12、述方法來求解。</p><p><b>　　解 解方程組 </b></p><p>　　得x=1，y=2.令 </p><p><b>　　代入原方程，則有,</b></p><p>　　再令,即,則上式化為，</p><p><b>　　兩邊積分，得 ，&

13、lt;/b></p><p><b>　　因此 ，</b></p><p>　　記，并代回原變量，得，</p><p><b>　　把代入上式 得</b></p><p>　　整理，得 (c為任意常數(shù))</p><p>　　2.3、線性微分方程與常數(shù)變易法</

14、p><p>　　一階線性微分方程，（2.9）。其中P（x），Q（x）在考慮的區(qū)間上是x的連續(xù)函數(shù)。若Q（x）=0，（2.9）變?yōu)?，?.10），(2.10)稱為一階其次線性微分方程。若，（2.9）稱為一階非其次線性微分方程。（2.10）是變量分離方程它的解為，（2.11）這里的c為任意常數(shù)。</p><p>　　現(xiàn)在討論非奇次線性微分方程（2.9）通解的求法。</p><p

15、>　　不難看出，（2.10）是（2.9）的特殊情形，可以設想（2.11）中將常數(shù)c變易為x的待定函數(shù)c(x).令，（2.12）微分之，得到，（2.13）.將（2.12）,(2.13)代入（2.9），得到。</p><p>　　即，積分后得到，這里的是任意常數(shù)。將上式代入（2.12），得到方程（2.9）的通解，（2.14）。</p><p>　　這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法，我們通稱

16、為常數(shù)變易法。常數(shù)變易法實際上也是一種變量變換的方法，通過變換（2.12）可將方程（2.9）化為變量分離方程。</p><p>　　若方程不能化為（2.9）形式，可將x看作y的函數(shù)，再看是否為（2.9）形式。</p><p>　　例4 方程（n為常數(shù)）就可以用常數(shù)變易法求解。</p><p>　　解 將方程改寫為 ，①</p><p>　　

17、首先，求齊次線性微分方程 的通解</p><p>　　從 ，得到齊次線性微分方程的通解</p><p>　　其次，應用常數(shù)變易法求非齊次線性微分方程的通解。為此，在上式中把c看成為x的待定函數(shù)c（x）,即，②</p><p>　　微分之，得到 ，③</p><p>　　把②，③代入①，得到 ，</p><p>&

18、lt;b>　　積分之，求得 </b></p><p>　　因此，以所求的c（x）代入②，即得原方程的通解</p><p>　　， （為任意常數(shù)）</p><p>　　2.4、恰當微分方程與積分因子</p><p>　　2.4.1恰當微分方程</p><p>　　如果方程，的左端恰好是某個二元函數(shù)

19、的全微分，即+=則稱原式為恰當微分方程。容易驗證恰當微分方程的通解就是,這里的c為任意常數(shù)。</p><p>　　如果方程是恰當微分方程時，函數(shù)應該具有以下性質(zhì)。和分別對y，x求偏導，得到，，由得連續(xù)性，可得，故,這就是恰當微分方程的必要條件。</p><p>　　如果是恰當微分方程我們可以利用“分項組合”的辦法來求解。利用公式（2.15）</p><p>　　例5

20、 方程就可以用“分項組合” 方法來求解。</p><p>　　解 把方程重新“分項組合”得到</p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　或者寫成 </b></p><p>　　于是，方程的通解為 ，（c為任意）</p><p>　　2

21、.4.2、積分因子</p><p>　　如果存在連續(xù)可微的函數(shù)，使得x+=0為一恰當微分方程，即存在函數(shù)，使，則稱為方程的積分因子，而積分因子不是唯一的。這時是方程的通解，因而也就是的通解。</p><p>　　由（2.15）看到，同一方程可以有不同的積分因子，，，。可以證明，只要方程有解存在，則必有積分因子存在，并且不是唯一的。因此，在具體解題過程中，由于求出的積分因子不同從而通解可能具

22、有不同的形式。</p><p>　　根據(jù)上述可知，函數(shù)為方程的積分因子的充要條件是，即。</p><p>　　對于方程，如果存在只與x有關的積分因子，則，這時方程變成，即，由此可知，方程有只與x有關的積分因子的充要條件是，這里僅為x的函數(shù)。假如條件成立，則根據(jù)方程，可知求得方程的一個積分因子是。同樣，有只與y有關的積分因子的充要條件是，這里的僅為y的函數(shù)。從而求得方程的一個積分因子。<

23、;/p><p><b>　　例6 求解方程</b></p><p>　　解： ，，，，方程不是恰當?shù)?lt;/p><p>　　因為只與y有關故方程有只與y有關的積分因子</p><p>　　以乘方程兩邊，得到 </p><p><b>　　或者寫成 </b></p>

24、<p>　　因而，通解為 (c為任意常數(shù))</p><p>　　例7 求方程的通解。</p><p>　　解： 經(jīng)判斷 ，所以該方程不是恰當方程。</p><p><b>　　分組得</b></p><p>　　顯然前兩項具有積分因子，相應的全微分為</p><p><b&g

25、t;　　，</b></p><p><b>　　要使得</b></p><p>　　成立。只需取，即可，這樣就找到了一個積分因子。</p><p>　　原方程兩邊同乘，可得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以通解為

26、。</b></p><p><b>　　例8 解方程 。</b></p><p>　　解： 方程各項重新組合為 </p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，<

27、/b></p><p>　　此時，可令，上方程化為</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　解之得</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　3.常微分方程的多種解法</p>&l

28、t;p>　　在常微分方程中，每一道題都有多種解法，不同的解法答案是相同的，在社會中的應用大致也是相同的，下面就讓我們看看一道常微分方程到底有多少種解法。</p><p><b>　　例1 求的通解。</b></p><p>　　解: 解法1 不定積分法。</p><p><b>　　令,，</b></p>

29、;<p>　　則 ，所以該方程為恰當方程。</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　關于積分，得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><

30、;p><b>　　，，</b></p><p><b>　　所以通解為。</b></p><p><b>　　解法2 公式法</b></p><p>　　利用恰當方程求解方法3中公式得方程通積分為</p><p><b>　　解法3 分組法</b>&

31、lt;/p><p><b>　　去括號重新分組可得</b></p><p>　　積分，得原方程的通解為 。</p><p>　　例2 求方程的通解。</p><p>　　解: 由于，所以原方程不是恰當方程。</p><p>　　解法1 可將原方程改寫為 </p><p>&l

32、t;b>　　，</b></p><p>　　左端有積分因子或，但考慮到右端只與變量有 關，故取</p><p>　　為方程的積分因子，因此有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　兩邊積分可得通解 </p><p>　　，易見也是原方程的解。</p

33、><p>　　解法2 也可將原方程改寫為</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　這是齊次方程。</b></p><p><b>　　令，即可進行求解。</b></p><p>　　解法3 將看作未知函數(shù)，原方程可化為線性方程 &

34、lt;/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而可就進行求解。</b></p><p><b>　　解法4</b></p><p>　　由于，只與有關，所以存在關于的積分因子</p><p><b>　　，</b&

35、gt;</p><p>　　以乘以方程兩端，得到 </p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　為恰當方程，即</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　因而通解為 ，另外，易見也是原方程的解。<

36、/p><p>　　4.二階線性方程的冪級數(shù)解法</p><p>　　二階變系數(shù)齊線性方程的求解問題歸結為尋求它的一個非零解。由于方程的系數(shù)是自變量的函數(shù)，我們不能象常系數(shù)線性方程的解法那樣利用代數(shù)方法去求解。但是，從微積分學中知道，在滿足某些條件下，可以用冪級數(shù)來表示一個函數(shù)。因此，我們自然會想到，能否用冪級數(shù)來表示微分方程的解呢？所以我們接下來就來討論這一問題。 </p>

37、;<p>　　例1  求方程的滿足初始條件的解。</p><p>　　解:  設    (1) 是方程的解，這里 是待定常數(shù)，由此我們有</p><p>　　將的表達式代入方程，并比較的同次冪的系數(shù)，得到：</p><p><b>　　，，，</b></p>

38、;<p>　　由，得，，，利用數(shù)學歸納法可以 推得，一般地，代入(1)得</p><p>　　這就是所求的解。事實上，方程是一階線性的，容易求得它的通解為，而由條件可以確定常數(shù)，即得方程的解為  。</p><p>　　例2  求解方程，　。</p><p>　　解:  同例1一樣，以   (1)

39、形式上代入方程并比較的同次冪的系數(shù)，這時將有，，，</p><p>　　因為不可能找到有限的，故方程沒有形如(1)的解，事實上，直接解方程，可得通解為  。</p><p>　　但若令，那么就將上述的初值問題化為，</p><p>　　這時仿照例1的做法，就可求得，</p><p>　　于是，這就是所求原方程的特解，相當于通解中取。

40、</p><p>　　5、高階常微分方程的初等解法</p><p>　　高階常微分方程的初等解法主要包括齊次線性微分方程、非齊次線性微分方程與常數(shù)變易法、常系數(shù)線性微分方程的解法。這三種解法是主要的也是簡單的初等解法。</p><p>　　5.1﹑齊次線性微分方程 </p><p>　　方程，（5.1）其中及f（t）都是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。如果

41、則方程（5.1）變?yōu)椋?lt;/p><p>　?。?.2）。我們稱它為n階齊次線性微分方程，簡稱齊次線性微分方程。</p><p><b>　　例1 求方程的通解</b></p><p><b>　　解：設 </b></p><p>　　代入原方程可得：分離變量</p><

42、p><b>　　則有   </b></p><p><b>　　即：</b></p><p>　　得：y=C1ln|x|+C2 為原方程之通解(C1,C2為任意實數(shù))</p><p>　　例2 求方程  滿足初始條件</p><p><b>　　的特解

43、</b></p><p><b>　　解：設 則</b></p><p>　　所以原方程可寫成：分離變量</p><p><b>　　則有：兩邊積分</b></p><p><b>　　即：</b></p><p>　　由初始條件：

44、y|x=0=3得C1＝3</p><p>　　有y＝3（x2+1）</p><p>　　積分得y=x3+3x+c2</p><p>　　再由初始條件y|x=0=1得C2＝1</p><p>　　故所求特解為y=x3+3x+1</p><p>　　5.2、非齊次線性微分方程與常數(shù)變易法</p><p&

45、gt;　　考慮n階非齊次線性微分方程，（5.1）易見方程（5.2）是它的特殊情形，我們指出兩者之間解的性質(zhì)和結構有著十分密切的聯(lián)系。首先容易直接驗證如下兩個簡單性質(zhì)：</p><p>　　性質(zhì)1：如果是方程（5.1）的解，而x(t)是方程（5.2）的解，則也是方程（4.1）的解。即非+齊=非。</p><p>　　性質(zhì)2：方程（5.1）的任意兩個解之差必為方程（5.2）的解。</p&

46、gt;<p>　　例3 方程的通解（cos t，sin t是方程對應齊次線性微分方程的基本解組）</p><p>　　解 應用常數(shù)變易法，令</p><p>　　將它代入方程，則可得決定和的兩個方程及</p><p><b>　　解得 ，</b></p><p><b>　　由此 ，<

47、;/b></p><p><b>　　原方程的解 </b></p><p>　　5.3、常系數(shù)線性微分方程的解法</p><p>　　5.3.1﹑特征根是單根的情形</p><p>　　設，，…，是特征方程的n個彼此不相等的根，則相應的方程有如下解：，，…，。我們指出這n個解在區(qū)間上線性無關，從而組成方程的基

48、本解組。</p><p>　　例4 方程就是單根的情況</p><p>　　解 特征方程的根為，。有兩個實根 和兩個復根，均是單根，故方程的通解為（，，，為任意常數(shù)）。</p><p>　　5.3.2﹑特征根有重根的情行</p><p>　　當特征根為重根實方程有如下解法。</p><p><b>　　例

49、5 方程的通解。</b></p><p><b>　　解 特征方程有根，</b></p><p>　　因此，方程的通解為 ，其中 ，，為任意常數(shù)。以上這些就是我所了解的常微分方程的初等解法。</p><p>　　6常微分在社會中的應用及模型 </p><p>　　常微分方程在社會中的應用很廣，例如RLC電

50、路和數(shù)學擺等等都利用了常微分方程的解法。</p><p><b>　　6.1﹑RLC電路</b></p><p>　　包含電阻R﹑電感L﹑電容C及電源電路稱為RLC電路，RLC電路是電子電路多的基礎。根據(jù)電學知識，電流I經(jīng)過R,L,C的電壓降分別為RI, 和，其中Q為電量，它與電流的關系為,根據(jù)基爾霍夫（kirchhoff）第二定律：在閉合回路中，所有支路上的電壓代數(shù)

51、和等于零。</p><p>　　設R,L及電源電壓E為常數(shù)，當開關S和上后，存在關系式，即,(1.1)這便是RL電路的常微分方程。其中電流I是自變量t的函數(shù)，在方程（1）中是未知函數(shù)。當開關S剛合上即時有,即,(1.2)稱此條件為方程（1.1）的初值條件。</p><p>　　如果當時有，而電源突然短路，即E=0且保持不變，此時方程（1.1）變?yōu)?(1.3)初值條件為（1.4）。</

52、p><p>　　假設R,L,C為常數(shù)，電源電壓是時間t的已知函數(shù)。當開關S合上時有關系式,微分上式，代入，便得到以時間t為自變量﹑電流I為未知函數(shù)的常微分方程，（1.5）當電源電壓是常數(shù)時，上述微分方程變?yōu)?(1.6)如還有R=0，微分方程進一步化簡為.</p><p><b>　　6.2﹑數(shù)學擺</b></p><p>　　數(shù)學擺是系于一根長度為

53、l的線上而質(zhì)量為m的質(zhì)點M，在重力作用下，他在垂直的地面的平面上沿圓周運動，我們來確定擺的運動方程。</p><p>　　設取反時針運動的方向作為計算擺與鉛垂線所成的角Φ的正方向。質(zhì)（1.7）。這樣，就得到微小振動時擺的方程，（1.8）如果我們假設擺在一個粘性的介質(zhì)中擺動，那么，沿著擺的運動方向就存在一個與速度v成比例的阻力。如果阻力系數(shù)是μ，則擺的運動方程變?yōu)?，?.9）。如果沿著擺的運動方向恒有一個外力F（t

54、）作用于它，這是擺的運動稱為強迫微小振動，其方程為，（1.10）。當要確定擺的某一個特定的運動時，我們應該給出擺的初始狀態(tài)：當t=0時，，，（1.11）。這里的代表擺的初始位置，代表擺的初始角速度的大小。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　1.朱思銘，李尚廉，數(shù)學模型，廣州：中山大學出版社，1995.</p><p&

55、gt;　　2.姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學模型，第三版。北京：高等教育出版社，2003.</p><p>　　3.陳蘭蓀，數(shù)學生態(tài)學模型與研究方法，北京：科學出版社，1991.</p><p>　　4.胡建偉，湯懷民，微分方程數(shù)值法，北京：科學出版社，1999.</p><p>　　5.丁同仁，李承治，常微分方程，北京：高等教育出版社，1985.</p>

56、<p>　　6.丁同仁，常微分方程定性方法的應用，北京：北京大學出版社，1987.</p><p>　　7.李文林.數(shù)學史教程.北京:高等教育出版社，2002</p><p>　　8.王樹禾.數(shù)學思想史.北京:國防工業(yè)出版社,2003</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　三年的讀書生

57、活在這個季節(jié)即將劃上一個句號，而于我的人生卻只是一個逗號，我將面對又一次征程的開始。三年的求學生涯在師長、親友的大力支持下，走得辛苦卻也收獲滿囊，在論文即將付梓之際，思緒萬千，心情久久不能平靜。 偉人、名人為我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和贊美獻給一位平凡的人，我的導師。我不是您最出色的學生，而您卻是我最尊敬的老師。您治學嚴謹，學識淵博，思想深邃，視野雄闊，為我營造了一種良好的精神氛圍。授人以魚不如授人以漁，置身其間，耳濡目染，潛

58、移默化，使我不僅接受了全新的思想觀念，樹立了宏偉的學術目標，領會了基本的思考方式，從論文一次感謝所有在畢業(yè)設計中曾經(jīng)幫助過我的良師益友和同學，以及在設計中被我引用或參考的論著的作者。題目的選定到論文寫作的指導,經(jīng)由您悉心的點撥,再經(jīng)思考后的領悟,常常讓我有“山重水復疑無路,柳暗花明又一村”。 感謝我的爸爸媽媽，焉得諼草，言樹之背，養(yǎng)育之恩，無以回報，你們永遠健康快樂是我最大的心愿。在論文即將完成之際，我的心情無法平靜，從開始進入課題到論