學年論文一階常微分方程初等解法

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1、　　學年論文　　常微分方程學年論文　　作者：　　關鍵詞：常微分方程　　論文摘要：&l

2、t;/b>　　目錄　　摘要…………………………………………………………………………………......1　　關鍵詞………………………………………...…………………………………………...1　　Abstract…………

3、………………………………………………...………………………1　　Keywords………………………………………………………………………..………..1　　0 前言…………………..……………………………………………………………...1　　1 預備知識………………………………………………………………………..

4、……...1　　1. 1變量分離方程……………………………………………………………………….2　　1. 2恰當微分方程……………………………………………………………………….2　　1. 3積分因子………………………………………………………………….…………2　　2 基本方

5、法…………………………………………………………………………..…...2　　2. 1一般變量分離……………………………………………………………………….3　　2. 2齊次微分方程……………………………………………………………………….3　　2. 2 .1齊次微分方程類型一………………………………………………………

6、….3　　2. 2. 2齊次微分方程類型二……………………..……...……………………………4　　2. 3常數(shù)變易法…………………………..………………...……………………………5　　2.3.1常數(shù)變易法一…………………………….……………………………………5　　2.

7、3.2常數(shù)變易法二……………………….…………………………..……………..6　　2.4積分因子求解法…………………………………..…………………………………7　　2.5恰當微分方程求解法…………………………………………..……………………8　　3 基本方法的應用……………………………………………..………………

8、………8　　3. 1一般變量分離方程應用…………………………………………….………………8　　3.1.1應用舉例……………………………………………………….………………9　　3.1.2應用舉例………………………………………...……..………………………9　　3. 2齊次

9、微分方程應用……………………………………...…………………………10　　3.2.1類型一應用舉例…………………………………...…………………………10　　3.2.2類型一應用舉例………………………………………………………………11　　3.2.3類型二應用舉例………………………………………………………………11

10、　　3.2.4類型二應用舉例………………………………………...……………………12　　3.3常數(shù)變易法應用……………………………………………………………………13　　3.3.1常數(shù)變易法應用舉例……………………………………..…….……………13　　3.3.2伯努利微分

11、方程應用舉例………………………………………...…………14　　3. 4利用積分因子求解……………………..……………………...……..……………14　　3. 5 利用恰當微分方程求解……………………………………………....……..……15參考文獻……………………………...………………..…………………......…………16

12、　　一階常微分方程初等解法　　摘要: 本文對一階微分方程的初等解法進行歸納與總結,同時簡要分析了變量分離,積分因子,恰當微分方程等各類初等解法.并且結合例題演示了如何把常微分方程的求解問題化為積分問題,進行求解.　　關鍵詞: 一階常微分方程;變量分離;恰當微分方程;積分因子　　The Fu

13、ndamental methods of the first-order ordinary differential equation 　　Abstract: In this thesis, we summarize the fundamental methods of the first-order ordinary differential equation. At the same tim

14、e, we analysis the various types of fundamental methods such as the separation of variables, integrating factor and the exact differential equation. Combined with examples, we show how the ordinary differential equations

15、 solve problems by transforming them into the problems of integration. 　　Key Words: first-order ordinary differential equation; separation of variables; exact differential equation; integrating facto

16、r　　0 前言　　常微分方程在微積分概念出現(xiàn)后即已出現(xiàn),對常微分方程的研究也可分為幾個階段.發(fā)展初期是對具體的常微分方程希望能用初等函數(shù)或超越函數(shù)表示其解,屬于“求通解”時代.萊布尼茨曾專門研究利用變量變換解決一階微分方程的求解問題,而歐拉則試圖用積分因子處理.但是求解熱潮最終被劉維爾證明里卡蒂方程不存在一般初等解而

17、中斷.加上柯西初值問題的提出,常微分方程從“求通解”轉向“求定解”時代.在20世紀六七十年代以后,常微分方程由于計算機技術的發(fā)展迎來了新的時期,從求“求所有解”轉入“求特殊解”時代,發(fā)現(xiàn)了具有新性質的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇異吸引子及孤立子等.　　常微分方程的研究還與其他學科或領域的結合而出現(xiàn)各種新的分支,如控制論、種群分析、種群生態(tài)學、分支理論、泛函微分方程、脈沖微分方程等.</

18、p>　　總之,常微分方程屬于數(shù)學分析的一支,是數(shù)學中與應用密切相關的基礎學科,其自身也在不斷發(fā)展中,學好常微分方程基本理論和實際應用均非常重要.因此本文對一階常微分方程的初等解法進行了簡要的分析,同時結合例題,展示了初等解法在解題過程中的應用.　　1預備知識　　1. 1 變量分離方程<

19、;/p>　　形如　　, ()　　的方程,稱為變量分離方程,,分別是,的連續(xù)函數(shù).這是一類最簡單的一階函數(shù).　　如果,我們可將()改寫成,這樣變量就分離開來了.兩邊積分,得到

20、　　,　　為任意常數(shù).由該式所確定的函數(shù)關系式就是常微分方程()的解. 　　1.2 恰當微分方程　　將方程　　,

21、　　寫成微分的形式,得到　　,　　或把,平等看待,寫成下面具有對稱形式的一階微分方程　　, 　　如果方程的左端恰好是某個二元函數(shù)的全微分,即

22、;　　,　　則稱方程就是恰當微分方程.　　1.3 積分因子　　如果存在連續(xù)可微函數(shù),使得　　為一恰當微分方程,即存在函數(shù),使　　,<

23、;/b>　　則稱為方程的積分因子.　　2基本方法　　2.1一般變量分離　　, 　　的方程,稱為變量分離方

24、程,,分別是,的連續(xù)函數(shù).這是一類最簡單的一階函數(shù).　　如果,我們可將改寫成　　,　　這樣,變量就分離開來了.兩邊積分,得到　　. 　　這里我們把積分常

25、數(shù)明確寫出來,而把, 分別理解為,的原函數(shù).常數(shù)的取值必須保證有意義,如無特別聲明,以后也做這樣理解.　　因式不適合情形.但是如果存在使,則直接驗證知也是的解.因此,還必須尋求的解,當不包括在方程的通解中時,必須補上特解　　2.2齊次微分方程　　2.2.1齊次微分方程類型一&

26、lt;/p>　　形如　　,　　的方程,稱為奇次微分方程,這里是的連續(xù)函數(shù).　　作變量變換　　,

27、;　　即,于是　　.　　代入原方程可得　　,　　整理后,得到

28、　　. 　　因是一個變量分離方程.則可按照變量分離方法求解,然后代回原來的變量,即可得到原方程的解　　2.2.2齊次微分方程類型二　　形如&

29、lt;p>　　, 　　的方程不可直接進行變量分離,但是可以經過變量變換后化為變量分離方程,這里,,,,,均為常數(shù).　　可分為三種情況來討論:　　(常數(shù))的情形　　這

30、時方程可化為　　,　　有通解　　,　　其中為任意常數(shù).&l

31、t;b>　　的情形.　　令,這時有　　.　　是變量分離方程　　及不全為零的情形</p&g

32、t;　　因為方程右端分子,分母都是的一次多項式,因此　　代表平面上兩條相交的直線,設交點為,若令　　則方程可化為　　從而方程變?yōu)?lt;/b>　　因此,求解上述變量分離方程,最后代回原方程

33、,即可得到原方程的解.　　的情形　　此時直接變換即可　　2.3常數(shù)變易法　　2.3.1常數(shù)變易法一

34、　　一階線性微分方程　　其中在考慮的區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù),若,方程變?yōu)?lt;/p>　　稱其為一階齊次線性微分方程,若稱其為一階非齊次線性微分方程.變易分離方程,易求得它的通解為　　這里是任意常數(shù).　　現(xiàn)在討論非齊次線性方程的通解

35、的求法.　　不難看出,是特殊情形,兩者既有聯(lián)系又有差別,因此可以設想它們的解也應該有一定的聯(lián)系而又有差別,現(xiàn)試圖利用方程的通解的形式去求出方程的通解,顯然,如果中恒保持為常數(shù),它們不可能是的解.可以設想在中將常數(shù)變易為的待定函數(shù),使它滿足方程,從而求出為此,令　　兩邊同時微分,得到<p&

36、gt;　　代入原方程,得到　　即　　兩邊同時積分,得到　　這里是任意常數(shù),求得到　　就是方程的通解.

37、　　這種將常數(shù)變?yōu)榇ê瘮?shù)的方法通常被稱之為常數(shù)變易法.　　2.3.2 常數(shù)變易法二　　形如　　, 　　的方程,稱為伯努利方程,這里,為的連續(xù)函數(shù),,是常數(shù).<

38、/p>　　利用變量變換可將伯努利微分方程化為線性微分方程.事實上,對于,用乘的兩邊,得到　　,　　引入變量變換　　,<b&g

39、t;　　從而　　.　　代入方程,得到　　,　　這是線性微分方程,可按照前面介紹的方法來求出它的通解,然后代換原來的變量,便得到方程的通解.

40、　　此外,當時,方程還有解.　　2.4積分因子求解法　　函數(shù)為積分因子的充要條件是　　,　　即

41、　　.　　假設原方程存在只與有關的積分因子,則,則為原方程的積分因子的充要條件是,即僅是關于的函數(shù).此時可求得原方程的一個積分因子為.同樣有只與有關的積分因子的充要條件是是僅為的函數(shù),此時可求得方程的一個積分因子為　　2.5恰當微分方程求解　　對于一階微分方程</b&g

42、t;　　,　　若有,則該方程必為恰當微分方程.　　下面討論如何求得該恰當微分方程的解.　　把看作只關于自變量的函數(shù),對它積分可得　　由此式可得　　<

43、/p>　　,　　由此可得　　,　　又因為　　,<

44、/p>　　故等式右邊只含有,積分可得　　,　　進而可得　　.　　則恰當微分方程的通解為,

45、　　這里是任意常數(shù).　　3.基本方法的應用　　3.1 一般變量分離應用舉例　　3.1.1應用舉例　　例 1 求解方程&

46、lt;/p>　　解將變量分離,得到　　,　　兩邊積分,即得 　　,　　因而,通解為<

47、;/p>　　.　　這里是任意正常數(shù),或者解出,寫出顯函數(shù)形式的解 　　.　　3.1.2應用舉例　　例 2 求解

48、方程　　, 　　的通解,其中的連續(xù)函數(shù)　　解將變量分離,得到 　　,　　兩邊積分,即</b&

49、gt;　　.　　這里是任意常數(shù).由對數(shù)定義,有　　,　　即　　,</p&

50、gt;　　令,得到　　, 　　此外,顯然也是方程的解,如果允許中允許則也就包括在中,因而的通解為,其中為任意常數(shù).　　3.2齊次微分方程應用舉例　　3.2.1類型一

51、應用舉例　　例 3 求解方程　　解這是齊次微分方程,以代入,則原方程變?yōu)?lt;/p>　　即 　　.

52、將上式分離變量,既有　　兩邊積分,得到　　.　　這里是任意常數(shù),整理后,得到　　=　　得到<

53、/b>　　. 　　此外,方程還有解　　.　　如果在中允許,則也就包括在中,這就是說,方程的通解為

54、;　　帶回原來的變量,得到方程的通解為　　3.2.2類型一應用舉例　　例 4 求解方程（）　　解將方程改寫為　　,　　這是齊次微分方程.以代入,則原

55、方程變?yōu)?lt;/p>　　分離變量,得到　　兩邊積分,得到的通解　　即當時,　　.　　這里c時任意常數(shù).此外,方程還有解</

56、p>　　注意,此解并不包括在通解中.　　代入原來的變量,即得原方程的通解為　　3.2.3類型二應用舉例　　例 5 求解方程.　　解令,則有

57、　　,　　代入所求方程　　,　　整理可得　　,

58、;　　由變量分離得　　,　　故所求方程的解為　　.　　3.2.4類型二應用舉例

59、　　例 6 求解方程　　.　　解解方程組　　得令　　代入上式方程,則有<

60、;/b>　　.　　再令則上式可化為　　,　　兩邊積分,得

61、;　　,　　因此　　,　　記并帶回原變量,得　　,<

62、b>　　.　　此外容易驗證　　,　　即　　也是方程的解 ,因此方程的通解為

63、;　　,　　其中為任意的常數(shù).　　3.3常數(shù)變易法應用　　3.3.1常數(shù)變易法應用舉例　　例 7 求方程的通解　　解原方程可改寫為<p&

64、gt;　　,　　即　　, 　　首先,求出齊次線性微分方程　　,<

65、;b>　　的通解為　　.　　其次,利用常數(shù)變易法求非齊次線性微分方程的通解　　把看成,將方程兩邊同時微分得　　.

66、;　　代入,得到　　,　　兩邊同時積分,即可求得　　.　　從而,原方程的通解為　　,</p

67、>　　這里是任意常數(shù).　　3.3.2 伯努利微分方程的求解　　例 8 求方程的通解　　解這是時的伯努利微分方程.令　　,

68、　　算得　　,　　這是線性微分方程,求得它的通解為　　.　　代入原來的變量,得到　　,</b

69、>　　或者　　,　　這就是原方程的通解.　　此外,方程還有解　　3.4利用積分因子求解

70、　　例 9 求解方程.　　解這里方程不是恰當?shù)?　　因為只與有關,故方程有只與的積分因子　　,　　以乘方程兩邊,得到<b&g

71、t;　　,　　或者寫成　　,　　因而通解為　　.　　3.5

72、利用恰當微分方程求解　　例 10 求解方程.　　解因為,故方程是恰當微分方程.把方程重新分項組合,得到　　,　　即　　,</

73、b>　　或者寫成　　.　　于是,方程的通解為　　,

74、這里是任意常數(shù)　　參考文獻　　[1] 王高雄,周之銘,朱思銘,王壽松.常微分方程（第三版）[M].北京:高等教育出版社;.　　[2] 楊繼明,常系數(shù)線性微分方程組的解法[J];寶雞文理學院學報（自然科學版）;2001,34-47.&

75、lt;p>　　[3] 伍卓群,李勇編,常微分方程（第三版）[M],北京：高等教育出版社,2004.　　[4] 楊繼明,蔡炯輝;常系數(shù)非齊次線性微分方程組初值問題的求解公式[J].寶雞文理學院學報（自然科學版）;2001,45-62.　　[5] 胡建偉,湯懷民,常微分方程數(shù)值解法[M],北京：科學出版社.1999.<p&

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