幾類可化為伯努利方程求解的一階微分方程　【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　幾類可化為伯努利方程求解的一階微分方程　</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學

2、與應用數(shù)學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要:本文在已有文獻的基礎上研究幾類常微分方程的求

3、解。通過尋求恰當?shù)淖兞刻鎿Q，在適當?shù)臈l件下獲得了這些方程可以轉化為伯努利方程求解的方法，給出了其通解公式。同時結合一些具體的常微分方程的模型，將這些理論結果進行應用，豐富了常微分方程的求解方法。</p><p>　　關鍵詞:常微分方程;伯努利方程;變量替換</p><p>　　Several classes of first-order ordinary differential equa

4、tions which can be transformed into Bernoulli Equations</p><p>　　Abstract : In this paper, based on the existing literature, we research the solutions of several classes of ordinary differential equations. B

5、y seeking suitable variable substitution , we transform the equations into Bernoulli Equation , and obtain their general solution formulas. Furthermore, we give some concrete ordinary differential equation models to illu

6、strate the effectiveness of the theoretic conclusions in this paper. Our results to enrich the methods of solving ordinary differential eq</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1 引言

7、1</b></p><p><b>　　2 主要結果4</b></p><p>　　3 應用舉例10</p><p><b>　　結束語19</b></p><p><b>　　致謝20</b></p><p><b>

8、　　參考文獻21</b></p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　數(shù)學分析中所研究的函數(shù)，是反映客觀現(xiàn)實世界運動過程中量與量之間的一種關系，但在大量的實際問題中遇到稍微復雜的一些運動過程時，反映運動規(guī)律的量與量之間的關系往往不能直接寫出來，卻能比較容易地建立這些變量和它們的導數(shù)間的關系式，這個關系式就是常微分方程[1]。現(xiàn)在，

9、常微分方程在很多學科領域內有著重要的應用，例如：自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性的研究等。這些問題都可化為求常微分方程解的問題。這就使得研究微分方程的求解是具有實際意義的。</p><p>　　對于Bernoulli(伯努利)方程的定義[2]如下：</p><p>　　（其中，為的連續(xù)函數(shù)且）</p><p&g

10、t;　　李鴻祥在《一階常微分方程的求解》[3]一文中給出了一階常微分方程的幾種解法，其中就包括了伯努利方程的幾種解法，而且對幾種解法進行了分析、比較、概括。同時，徐士河也給出了黎卡提（Riccati）方程的定義[4]：</p><p><b>　　(1)</b></p><p>　　其中，，是的連續(xù)函數(shù)。</p><p>　　江磊分析了幾類簡單

11、的黎卡提（Riccati）方程化為伯努利方程的形式[5]，并給出了一定的結論和總結。</p><p>　　能有初等解法的微分方程是很有限的，像上文這種形式上很簡單的黎卡提（Riccati）方程一般就沒有初等解法，但是黎卡提(Riccati)方程在已知一特解的情況下可以轉化為伯努利方程求解。在此思想的啟發(fā)下，本文探求幾類比黎卡提(Riccati)方程更廣泛的一階微分方程的求解方法。</p><p

12、>　　由于日常生活的實際問題往往可以歸結為求解微分方程的數(shù)學問題，這就使得研究微分方程的求解成為研究微分方程的主要內容之一。 對于具有廣泛應用背景的伯努利方程的求解一直是人們十分關心的課題，有關該問題的求解已經(jīng)有了許多研究成果[6～9]。本文的目的就是找出幾類可化為伯努利方程求解的一階微分方程，結合用解伯努利方程的方法解出這些一階微分方程。再把結果應用到日常實際生活當中去，如自動控制、各種電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛

13、行的穩(wěn)定性的研究、化學反應過程穩(wěn)定性等領域。對此我們首先查閱了大量的文獻，對許多數(shù)學工作者在這方面的研究成果進行了總結[10，11]：</p><p>　　王瑋通過研究和進一步的探討，也給出了下列形式的伯努利方程[12]</p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　。

14、 (3)</p><p>　　并獲得了其通解公式。</p><p>　　馮變英給出了用常數(shù)變易法來解伯努利方程[13]，并獲得了幾種解法。</p><p>　　劉志偉研究了上面幾位學者的關于伯努利方程的解法，經(jīng)過自己的探索和總結，并給出了幾種關于這個方面的新解[14]</p><p>　　胡勁松在《用“積

15、分因子”求解Bernoulli方程》[15]一文中給出了伯努利方程求解的一些方法。</p><p>　　同時，E．卡姆克也在《常微分方程手冊》[16]中闡述了相同的觀點，并得到了幾種伯努利方程的新解法。</p><p>　　總結上述文獻我們得出有關伯努利方程求解結果列為下列命題：</p><p>　　命題1. 若，，則方程</p><p>&

16、lt;b>　　(4)</b></p><p>　　可轉化為伯努利方程，從而可解。 </p><p>　　命題2. 若,,則方程</p><p><b>　　(5)</b></p><p>　　可轉化為伯努利方程,從而可解。</p><p>　　命題3. 若

17、，，則方程</p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　可轉化為伯努利方程，從而可解。</p><p>　　雖然上面的文獻可以將很多形式的微分方程轉化為伯努利方程來求解，但還是有微分方程沒有一般的求解方法，比如下面的微分方程就不能直接由已有文獻的求解方法來解決。 </p><p>　　，

18、 (7)</p><p>　　, (8) , (9)</p><p>　　, (10)</p><p>　　其中，，，，，，都為的連續(xù)函數(shù)。</p><p>　　由上面所述，我們可以得出許多

19、有關于伯努利方程求解的一階微分方程的定理，同時，把這些微分方程化為伯努利方程求解以后，我們進行了總結，得到了一些基本方法來解伯努利方程，對于黎卡提（Riccati）方程我們也可轉化為伯努利方程進行求解。</p><p>　　本文先找到幾類一階微分方程的特解，在特解滿足一定條件時進行變量替換，將方程化為伯努利方程，再進行求解。其主要目的在于介紹幾類能轉化為有初等解法的方程類型及求解的方法。雖然這些類型是很有限的，但

20、它們卻反映了求解微分方程所用到的方法與技巧，所以研究這種類型方程的解法還是具有實際意義的。</p><p><b>　　2 主要結果</b></p><p>　　定理1 當，，，都為的連續(xù)函數(shù)時，若已知方程(7)的一個特解，且系數(shù)函數(shù)滿足條件</p><p>　　時，那么方程(7)可通過變量替換化為伯努利方程來求解。</p>

21、<p>　　證明 令,則,將他們代入方程(7)得 </p><p>　　因為為方程的一個特解,所以有</p><p><b>　　,</b></p><p>　　從而方程(7)可化為</p><p>　　此方程為的伯努利方程，進而可求得其通解。</p&

22、gt;<p>　　定理2當，，，，都為的連續(xù)函數(shù)時，若已知方程(8)的一個特解,且系數(shù)函數(shù)滿足條件 </p><p><b>　　,</b></p><p>　　那么方程(8)可通過變量替換化為伯努利方程來求解。</p><p>　　證明 令 ,則有, 將它們代入方程(8)得<

23、/p><p>　　因為為方程的一個特解，所以有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　從而方程(8)可化為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　由已知 ，</p><p>　　進而方程(8

24、)可化為</p><p>　　此方程為的伯努利方程，故方程的求解問題可得以解決。</p><p>　　定理 3　當，，，，，都為的連續(xù)函數(shù)時，若已知方程(9)的一個特解,且系數(shù)函數(shù)滿足條件 </p><p><b>　　，</b></p><p>　　則方程(9)可通過變量替換化為伯努利方程來求解。</p>

25、;<p>　　證明　令，則，代入方程(9)得</p><p>　　因為為方程的一個特解，所以有</p><p><b>　　,</b></p><p>　　從而方程(9)可化為</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又由已

26、知條件知：</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　進而方程(9)可化為</p><p>　　此方程為的伯努利方程，故方程的求解問題可得以解決。</p><p>　　定理 4　當，，，，，，都為的連續(xù)函數(shù)時，若已知方程(10)的一個特解且系數(shù)函數(shù)滿足條件</p>&l

27、t;p><b>　　，</b></p><p>　　則方程(10)可通過變量替換化為伯努利方程來求解。</p><p>　　證明　令，則，代入方程(10)得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　+</b></p><p&

28、gt;　　因為為方程的一個特解，所以有</p><p><b>　　，</b></p><p>　　從而方程(10)可化為</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又由已知條件知：</b></p><p><b>　

29、　，</b></p><p>　　進而方程(10)可化為</p><p>　　此方程為的伯努利方程，故方程的求解問題可得以解決。</p><p><b>　　3 應用舉例</b></p><p>　　例1　已知方程 的一個特解為，則可以將方程化為伯努利方程求解，并求其通解。</p><

30、p>　　解　由已知可知，，，，</p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　由定理1的證明過程知，可令，則，所以</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因為為方程的一特

31、解，所以</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　也就是</b&g

32、t;</p><p><b>　　，</b></p><p>　　此為的伯努利方程。則可將原方程化為伯努利方程形式</p><p><b>　　(11)</b></p><p><b>　　來求解，并可做變換</b></p><p><b>　

33、　，</b></p><p>　　代入方程(11)，得到</p><p><b>　　。</b></p><p>　　這是以為未知函數(shù)的線性方程，它的通解為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　代回原變量，得到原方程的通解為</p&g

34、t;<p><b>　　，</b></p><p><b>　　此外，還有特解。</b></p><p>　　例2 已知方程的一特解，則可以將方程化為伯努利方程求解，并求其通解。</p><p>　　解 由已知可知，，，，</p><p><b>　　則有</b&g

35、t;</p><p><b>　　，</b></p><p>　　由定理1的證明過程知，可令，則，代入方程得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　因為為方程的一特解，所以</p><p><b>　　，</b></p>

36、<p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　此為時的伯努利方程。則可將原方程化為伯努利方程形式</p>

37、;<p><b>　　(12)</b></p><p><b>　　來求解，并可做變換</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　代入方程(12)，得到</p><p><b>　　。</b></p>

38、<p>　　這是以為未知函數(shù)的線性方程，它的通解為</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　整理得</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　代回原變量，得到原方程的通解為</p><p>

39、<b>　　，</b></p><p><b>　　此外，還有特解。</b></p><p>　　例3 已知方程一特解，則可以將方程化為伯努利方程求解，并求其通解。</p><p>　　解 由已知可知，，，，，</p><p><b>　　則有</b></p>

40、<p><b>　　，</b></p><p>　　由定理2的證明過程知，可令，則，代入方程得</p><p>　　因為為方程的一特解，所以</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又因為，所以</b></p><p&g

41、t;<b>　　，</b></p><p>　　此為時的伯努利方程。則可將原方程化為伯努利方程形式</p><p><b>　　(13)</b></p><p><b>　　來求解，并可做變換</b></p><p><b>　　，</b></p&g

42、t;<p>　　代入方程(13)，得到</p><p><b>　　。</b></p><p>　　這是以為未知函數(shù)的線性方程，它的通解為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　代回原變量，得到原方程的通解為</p><p><b&g

43、t;　　，</b></p><p><b>　　此外，還有特解。</b></p><p>　　例4 已知方程的一個特解，則可以將方程化為伯努利方程求解，并求其通解。</p><p>　　解 由已知可知，，，，，</p><p><b>　　則有</b></p><p

44、><b>　　，</b></p><p>　　由定理2的證明過程知，可令，則，代入方程得</p><p><b>　　= </b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　因為為方程的一個特解，所以</p><p>

45、<b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><

46、b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　此為時的伯努利方程。則可將原方程化為伯努利方程形式</p><p><b>　　(14)</b></p><p><b>　　來求解，并可做變換</b></p>&l

47、t;p><b>　　，</b></p><p>　　代入方程(14)，得到</p><p><b>　　。</b></p><p>　　這是以為未知函數(shù)的線性方程，它的通解為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　代回原變量，

48、得到原方程的通解為</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　此外，還有特解。</b></p><p>　　例5 已知方程的一特解，則可以將方程化為伯努利方程求解，并求其通解。</p><p><b>　　解 由已知可知，</b></p>

49、;<p><b>　　，，，，，</b></p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　由定理3的證明過程知，可令，則，代入方程得</p><p><b>　　，</b></p&g

50、t;<p>　　因為為方程的一個特解，所以</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p&g

51、t;<b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　此為的伯努利方程。則可將原方程化為伯努利方程形式</p><p><b>　　(15)</b></p><p

52、><b>　　來求解，并可做變換</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　代入方程(15)，得到</p><p><b>　　。</b></p><p>　　這是以為未知函數(shù)的線性方程，它的通解為</p><p><

53、;b>　　，</b></p><p>　　代回原變量，得到原方程的通解為</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　此外，還有特解。</b></p><p>　　例6 已知方程的一特解，則可以將方程化為伯努利方程求解，并求其通解。</p>&

54、lt;p><b>　　解 由已知可知，</b></p><p><b>　　，，，，，，</b></p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　由定理4的證明過程知，可令，則，代入方程得：&l

55、t;/p><p>　　因為為方程的一個特解，所以</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p>&

56、lt;p><b>　　，</b></p><p>　　此為的伯努利方程。則可將原方程化為伯努利方程形式</p><p><b>　　(16)</b></p><p><b>　　來求解，并可做變換</b></p><p><b>　　，</b><

57、;/p><p>　　代入方程(16)，得到</p><p><b>　　。</b></p><p>　　這是以為未知函數(shù)的線性方程，它的通解為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　代回原變量，得到原方程的通解為</p><p>&l

58、t;b>　　，</b></p><p><b>　　此外，還有特解。</b></p><p><b>　　結束語</b></p><p>　　本文首先簡要介紹了常微分方程的背景和意義，給出了伯努利方程的定義及其求解方法，然后討論了幾類可化為伯努利方程求解的一階微分方程，就是先找到幾類一階微分方程的特解，在

59、特解滿足一定條件時進行變量替換，將方程化為伯努利方程，再進行求解。最后本文還給出了一些具體的例子，通過將一階微分方程化為伯努利方程進行求解。而從上面的研究中我們可以體會到常微分方程在數(shù)學領域和生活中的應用，在今后的學習和工作中我將更好地加強常微分方程的相關理論的研究和學習，去解決數(shù)學中的一些相關問題。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　

60、[1] 朱熹平．常微分方程[M]．北京：人民教育出版社，1978．</p><p>　　[2] 湯光宋，徐利嬌．三類一階微分方程求解公式[J]．沙洋師范高等?？茖W校學報， 2004：66-69．</p><p>　　[3] 李鴻祥．一階常微分方程的求解[M]．北京：高等教育出版社，1983．</p><p>　　[4] 徐士河．一類簡單黎卡體方程的求解[M]．湖南：

61、科學出版社，2000．</p><p>　　[5] 江磊．幾類應用變量代換求解的常微分方程[J]．成都紡織高等?？茖W報，2005：3-4．</p><p>　　[6] 貝爾曼．微分方程解的穩(wěn)定性理論[M]．北京：科學出版社，1958．</p><p>　　[7] 王高雄．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，1982．</p><p>　　

62、[8] 湯光宋．一階方程的求解公式[J]．沙洋師范高等?？茖W校學報，2004：6-8．</p><p>　　[9] [美]賽蒙斯GF．微分方程[M]．張理京譯．北京：人民教育出版社，1981．</p><p>　　[10] 賀建勛，王志成．常微分方程(上冊)[M]．長沙：湖南科學技術出版社，1979．</p><p>　　[11] 魏俊杰，潘家齊，蔣達清．常微分方程

63、[M]．北京：高等教育出版社，2002．</p><p>　　[12] 王偉．一階線性微分方程與伯努利方程的解法[J]．焦作大學學報，1994：11-15．</p><p>　　[13] 馮變英．試論Bernoulli方程的幾種解法[J]．太原師范學院學報，2003：22-24．</p><p>　　[14] 劉志偉．Bernoulli方程的新解法[J]．廣西梧州師