一階微分方程的解法

1、§9.2.1 一階微分方程,一階微分方程的一般形式.,我們只討論幾種特殊形式的一階微分方程。,一、 可分離變量的微分方程,1、已分離變量的微分方程.,為微分方程的通解.,分離變量法,注：分離變量法的依據(jù)是不定積分中積分變量與被積函數(shù)變量必須一致。,2、可分離變量的微分方程,(1),(1)式當(dāng)g(y)?0時(shí)，可轉(zhuǎn)化為分離變量形式求解.,或,(2),(2)式當(dāng)P(x) ?0,N(y)?0時(shí)，可轉(zhuǎn)化為分離變量形式求解.,當(dāng)g(y)=

2、0或P(x) =0或N(y)=0時(shí)，要找回奇解。,例1 求微分方程,解,分離變量,兩端積分,注1 求解過程中左邊對數(shù)未取絕對值的解釋；注2 通解結(jié)果中常數(shù)的形式和結(jié)構(gòu)變化；注3 求通解與求解微分方程的區(qū)別。(奇解),例2 求解微分方程,解,兩端積分,通解為,解,例4 求定解問題,解 這是可分離變量的微分方程，分離變量得,例5 求微分方程的通解,例6 求解logistic人口模型,解 這是可分離變量的

3、初值問題。 分離變量得,解,思考題,為所求通解.,求解微分方程,也是解，是微分方程的奇解。,解,的微分方程稱為一階齊次方程.,作變量代換,代入原式,可分離變量的方程,二、齊次微分方程(可化為分離變量形式),例8 求解微分方程,例9 求解微分方程,微分方程的解為,解,例10 求解微分方程,解,微分方程的解為,通解為,解,解,代入原方程,原方程的通解為,思考題,方程,是否為齊次方程?,思考題解答,方程兩邊同時(shí)

4、對 求導(dǎo):,原方程是齊次方程.,三*、可化為齊次的方程(可刪),為齊次方程.,（其中h和k是待定的常數(shù)）,否則為非齊次方程.,,,2.解法,1.定義,(2)有唯一一組解(h,k).,(1),(2),求通解,可分離變量的微分方程.,可分離變量的微分方程.,可分離變量.,求通解,代回z=ax+by,例13,例14,解,代入原方程得,分離變量、積分得,得原方程的通解,方程變?yōu)?上方程稱為一階線性齊次方程.,上方程稱為一階線性非齊次

5、方程.,,一、一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,例如,線性的;,非線性的.,§9.2.2 一階線性微分方程,齊次方程的通解為,1. 線性齊次方程,二、一階線性微分方程的解法,(使用分離變量法),2. 線性非齊次方程,討論: 設(shè)y=f(x)是解, 則,積分,非齊方程通解形式,解法1 常數(shù)變易法,把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.,設(shè)解為,,積分得,非齊方程通解,解法2 一階線性非齊次微分方程的通解(公式法):,,,對應(yīng)

6、齊次方程通解,非齊次方程特解,對應(yīng)齊次方程通解與非齊次方程特解之和。,解,例3,例4,例5,例6,解 方法一，該方程不是關(guān)于y的一階線性方程，故將其變形為關(guān)于x的一階線性方程:,方法二，湊微分法，原方程變形為:,兩邊積分得:,例7 如圖所示，平行與 軸的動(dòng)直線被曲 線 與 截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求

7、曲線 .,兩邊求導(dǎo)得,解,解此微分方程,所求曲線為,解,練習(xí)求微分方程 的通解.,伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,方程為線性微分方程.,方程為非線性微分方程.,四*、伯努利方程,解法: 經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.,求出通解后，將 代入即得,代入上式,解,例 4 1),解,所求通解為,

8、解,分離變量法得,所求通解為,解,代入原式,分離變量法得,所求通解為,另解 將x看作y的函數(shù)，解一階線性微分方程。,思考題,求微分方程 的通解.,思考題解答,§9.2.3 ** 一階微分方程解法拓展,例如,所以是全微分方程.,一、全微分方程,1.定義:,若一階微分方程,全微分方程或恰當(dāng)方程,的左端是某函數(shù)的全微分,2.解法:,?應(yīng)用曲線積

9、分與路徑無關(guān).,通解為,? 用直接湊全微分的方法.,全微分方程,解法1,是全微分方程,,原方程的通解為,例1,解法2,是全微分方程,,原方程的通解為,例1,是全微分方程,,將左端重新組合,原方程的通解為,例2,解法1,是全微分方程,,原方程的通解為,例2,解法2,二、積分因子法,定義:,問題: 如何求方程的積分因子?,1.觀察法:,憑觀察湊微分得到,常見的全微分表達(dá)式,可選用的積分因子有,解,例 4,則原方程為,原方程的通解為,可積組合