畢業(yè)論文多項式因式分解的方法探討

1、<p>　　本 科 生 畢 業(yè) 論 文</p><p>　　論 文 題 目： 多項式因式分解的方法探討 </p><p>　　作 者： </p><p>　　院 系： 數(shù)理學(xué)院 </p&

2、gt;<p>　　專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　班 級： 201102 </p><p>　　指 導(dǎo) 教 師： </p><p>　　2015 年

3、 5 月 13 日</p><p>　　Huanggang Normal University</p><p>　　Thesis Graduates</p><p>　　Topic：Polynomial Factorization Method Discussed in This Paper</p><p>　　Author：

4、 </p><p>　　College： College of Mathematics and Physics </p><p>　　Specialty： Mathematics and Applied Mathematics </p>

5、<p>　　Class： 201102 </p><p>　　Tutor： </p><p>　　May 13th, 2015</p><p><b>　　鄭重聲明</

6、b></p><p>　　本人所呈交的畢業(yè)論文(設(shè)計)是本人在指導(dǎo)教師 的指導(dǎo)下獨立研究并完成的. 除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，沒有剽竊、抄襲、造假等違反學(xué)術(shù)道德、學(xué)術(shù)規(guī)范和侵權(quán)行為，本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔(dān). </p><p><b>　　特此鄭重聲明！</b></p><p>　　指導(dǎo)老師(手寫簽名)：&l

7、t;/p><p>　　論文作者(手寫簽名)：</p><p><b>　　年 月 日</b></p><p><b>　　摘 要 </b></p><p>　　因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具，在分式運算、解方程和代數(shù)式及三角函數(shù)式的恒等變形中有著廣

8、泛的應(yīng)用。</p><p>　　論文概述了因式分解的概念及其相關(guān)理論，探討了因式分解的類型，并通過相關(guān)實例，對因式分解的方法進行了歸納總結(jié)。</p><p>　　關(guān)鍵詞：多項式；因式分解；方法</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Factorization is one of the

9、 most important identical deformation in the middle school mathematics and is a powerful tool for solving many mathematical problems, being widely used in fractional arithmetic, solving equations and algebraic and trigon

10、ometric identity deformation style. </p><p>　　The paper makes an outline of the concept and the theory of factorization , investigates the types of factorization and generalizes the methods of factorization

11、 through some related examples. </p><p>　　Key words: Polynomial; Factorization; methods </p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　第1章 引 言1</b></p><p>

12、　　1.1 問題的提出1</p><p>　　1.2相關(guān)文獻綜述1</p><p>　　第2 章 因式分解的相關(guān)理論4</p><p>　　2.1多項式的可約性4</p><p>　　2.2 一元多項式理論4</p><p>　　2.3二次多項式理論5</p><p>　　2.4

13、多元多項式理論6</p><p>　　2.4.1 特殊多項式的定義6</p><p>　　2.4.2特殊多項式的性質(zhì)7</p><p>　　第 3章 因式分解的方法探討8</p><p>　　3.1應(yīng)用公式法8</p><p>　　3.2分組分解法8</p><p>　　3.3提取

14、公因式法9</p><p>　　3.4 拆項添項法10</p><p>　　3.5 十字相乘法11</p><p>　　3.6 主元法12</p><p>　　3.7 求根分解法13</p><p>　　3.8待定系數(shù)法15</p><p><b>　　3.9綜合法16&

15、lt;/b></p><p><b>　　結(jié)束語18</b></p><p><b>　　致謝19</b></p><p><b>　　參考文獻20</b></p><p><b>　　第1章 引 言</b></p><p&

16、gt;<b>　　1.1 問題的提出</b></p><p>　　把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫作多項式的因式分解（也叫作分解因式）。因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)的研究之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。例如在分式運算、解方程和各種恒等變換中，我們經(jīng)常會用到因式分解的方法來解決問題。 </p><p>　

17、　多項式的分解變形就是對多項式進行因式分解，因此因式分解的問題主要是涉及多項式的可約性以及如何分解這兩個問題。多項式的因式分解是一項重要的基本技能。在分式運算、解方程和各種恒等變換中，都要用到因式分解。因式分解是在學(xué)習(xí)有理數(shù)和整式四則運算的基礎(chǔ)上進行的。它為以后學(xué)習(xí)分式運算、解方程和代數(shù)式及三角函數(shù)式的恒等變形提供必要的基礎(chǔ)。</p><p>　　因式分解方法靈活，技巧性強，進行因式分解時要靈活綜合運用學(xué)過的有關(guān)

18、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，并且因式分解的途徑很多，技巧性很強。學(xué)生在學(xué)習(xí)時容易出現(xiàn)只提取字母因式，不提取數(shù)字系數(shù)的情況，分解不徹底和不知如何下手等各種問題。學(xué)習(xí)因式分解的方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且通過對因式分解的學(xué)習(xí)，還可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、注意能力、運算能力，提高學(xué)生綜合分析和解決問題的能力。因此，掌握良好的因式分解的方法與技巧，對于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，具有十分重要的作用。</p><

19、;p><b>　　1.2相關(guān)文獻綜述</b></p><p>　　對于多項式的因式分解的研究，許多專家學(xué)者給出了自己的意見和看法。他們通過各種方法探討了如何將多項式進行分解，通過嚴(yán)密的邏輯推理和合理的假設(shè)想象，得出了各種結(jié)論，對我們研究多項式分解的方法有著良好的指導(dǎo)作用。</p><p>　　例如學(xué)者李穎在《一元多項式因式分解一般方法》介紹了因式分解的定義及其局

20、限性，還介紹了多項式因式分解的兩種方法：一種是根據(jù)多項式的有理根；另一種是根據(jù)多項式的標(biāo)準(zhǔn)分解式。其中第二種方法是把原多項式轉(zhuǎn)化成新的多項式進行分解，新的多項式都是次數(shù)較低的，比較容易進行分解，而第一種方法則對于多項式的最高次項系數(shù)和常數(shù)項的約數(shù)個數(shù)少的比較適用。不足的是，這兩種方法未從理論上作出相應(yīng)的探討。</p><p>　　學(xué)者林乃榮在《初等數(shù)學(xué)中多項式因式分解方法探析》一文中也給出了幾種分解多項式的方法，

21、它們分別是：待定系數(shù)法、余數(shù)定理、綜合除法和行列式分解等方法。這些方法難度較大，技巧性較強，并且需要高等數(shù)學(xué)的知識，學(xué)生不易掌握，比較適合本科生學(xué)習(xí)，對于初中生和高中生來說，有點超出他們的認知程度。令人遺憾的是，學(xué)者林乃榮研究成果并非很完善，方法比較零散，沒有一定的系統(tǒng)性。</p><p>　　學(xué)者呂希元在《新課標(biāo)下的因式分解在高中的拓展》一文中，在新課標(biāo)背景下，初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接過程中，由于初中和高中對因式分解

22、的要求不同而造成知識脫節(jié)的這一現(xiàn)象，介紹了幾種在高中階段因式分解的拓展方法。因為在現(xiàn)行的初中教材中只介紹了“提取公因式法”和“運用公因式法”。在這基礎(chǔ)上又介紹了幾種方法：“分組分解法”，“十字相乘法”，“添項法”，“裂項法”，“綜合除法”等分解方法。這些方法在初中生和高中生對于因式分解的方法的掌握提供了一個橋梁的作用，讓學(xué)生更好的掌握多項式分解的方法。令人遺憾的是，他的研究并不全面，應(yīng)思考更多的方法來進行研究。</p>&

23、lt;p>　　學(xué)者王鋒在《多項式因式分解的幾種方法》一文中，給出了幾種多項式因式分解的方法和多項式因式分解的兩個定理。其定理1為：每個次數(shù)大于等于1的復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域中都可以唯一分解成一次因式的乘積；定理2為：每個次數(shù)大于等于1的實系數(shù)多項式在實數(shù)域上都可以唯一的分解為一次因式和二次不可約因式的乘積。從這兩個定理可以看出多項式的可約性和分解式形式與數(shù)域有關(guān)。在此基礎(chǔ)上，介紹了在有理數(shù)域上的分解方法：多項式除法（多項式相除，微商

24、法）；待定系數(shù)法；利用單位根的方法。并通過相關(guān)例子給出了方法的應(yīng)用，這些方法給因式分解提供了參考。</p><p>　　學(xué)者畢嚴(yán)河在《因式分解的方法技巧匯總》一文中，則較系統(tǒng)地介紹了因式分解的方法。具體有：提公因式法、公式法、十字相乘法、拆項、添項法、配方法、應(yīng)用因式定理、換元法、求根法、圖像法，主元法、特殊值法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法、利用根和系數(shù)的關(guān)系等方法。并針對因式分解問題提出了三個原則：（1）分解要徹

25、底，（2）最后結(jié)果只有小括號，（3）最后結(jié)果中多項式首項系數(shù)為正?？陀^地講，他所研究的方法相對完善，對因式分解的方法有較全面的總結(jié)歸納，為有效地進行因式分解提供了方法和途徑。不足之處在于缺乏一定理論深度，且從學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握的角度考慮不多。</p><p>　　綜上所述，各學(xué)者從不同的角度研究了因式分解的問題，應(yīng)該說各有所長，各有所短,每位學(xué)者研究的角度不同以至于研究的內(nèi)容不同，因此各個學(xué)者的研究成果和內(nèi)容給了我很

26、大的啟發(fā)，為我的課題研究提供很好的指導(dǎo)和借鑒作用。</p><p>　　第2 章 因式分解的相關(guān)理論</p><p>　　我們在以前所學(xué)的初中知識中已經(jīng)了解了多項式的定義，即由若干個單項式的和組成的代數(shù)式叫做多項式。多項式中的每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)。</p><p>　　2.1多項式的可約性</p>&

27、lt;p>　　我們在高等代數(shù)里已經(jīng)研究了多項式的可約性，其結(jié)果如下：</p><p>　?。?）在復(fù)數(shù)域C上，只有一次式是既約的，也就是一個多項式可以分解為 一次因式的乘積。</p><p>　?。?）在實數(shù)域R上，一次式和二次式（判別式△<0)是既約的，也就是</p><p>　　多項式可以分解成一次式或二次既約式的乘積。</p>

28、<p>　　（3）在有理數(shù)域Q上，一次式和任何高于一次的多項式都可以是既約的。</p><p>　　例如，對于任意自然數(shù)，多項式就是不可約的。</p><p>　　2.2 一元多項式理論 </p><p>　　一元多項式可整理為的形式，其中是非負整數(shù)。當(dāng)時，叫做多項式的次數(shù)，上式叫做一元次多項式的標(biāo)準(zhǔn)形式。其中叫做多項式的首項，叫做首項系

29、數(shù)。</p><p>　　對于一元多項式，有如下的因式分解定理：</p><p>　　定理1 （因式分解及唯一性定理） :</p><p>　　數(shù)域P上每一個次數(shù)1的多項式都可以唯一地分解成數(shù)域P上一些不可約多項式的乘積。所謂的唯一性就是說，如果有兩個分解式，那么必有，并且適當(dāng)排列因式的次序后有是一些非零常數(shù)。</p><p>　　2.3二次

30、多項式理論</p><p>　　對于一般的多項式通過一定的技巧和方法把一般多元二次多項式轉(zhuǎn)化為二次齊次多項式，這時可利用二次型理論研究一般二次多項式可分解的判別法及其分解方法。</p><p>　　定理2 對于實系數(shù)的二元二次多項式</p><p><b>　　則.</b></p><p><b>　　證明：

31、設(shè) </b></p><p><b>　　由待定系數(shù)法得：</b></p><p><b>　　定理3 設(shè)，.</b></p><p><b>　　證明 ：</b></p><p>　　分解為兩個一次因式之積</p><p><b>

32、;　　為完全平方式</b></p><p><b>　　為完全平方式</b></p><p>　　2.4 多元多項式理論</p><p>　　多元多項式是一元多項式的推廣，是多項式理論研究的重要對象，它不但與高次方程的討論有關(guān)，而且在進一步學(xué)習(xí)代數(shù)以及其它數(shù)學(xué)分支時也都會碰到．多元多項式的因式分解是代數(shù)學(xué)的一項基本內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)研究

33、的重要內(nèi)容之一，又是一個在數(shù)學(xué)科學(xué)中既重要又極為困難的問題，在許多情況下有些多元多項式是不能進行因式分解的，因此在這里選擇特殊多項式來進行相關(guān)的研究。</p><p>　　2.4.1 特殊多項式的定義</p><p>　　我們這里所指的特殊多項式主要指對稱多項式、交代多項式和輪換多項式，其概念與性質(zhì)如下：</p><p><b>　?。?)對稱多項式<

34、;/b></p><p>　　設(shè)是元多項式，如果對于任意的都有=就稱這個多項式是對稱多項式，簡稱對稱式。如就是一個三元三次對稱多項式。</p><p><b>　　（2）輪換多項式</b></p><p>　　設(shè)是元多項式，如果將變數(shù)字母, 按一定順序輪換，例如以代,以代,...,以代,以代有=就稱這個多項式是輪換多項式，簡稱輪換式。如

35、是一個輪換多項式。</p><p><b>　?。?）交代多項式</b></p><p>　　設(shè)是元多項式，如果對于任意的都有=就稱這個多項式是交代多項式，簡稱交代式。如是一個交代多項式。</p><p>　　2.4.2特殊多項式的性質(zhì)</p><p>　?。?）凡對稱式都是輪換式，反之不一定。</p>&

36、lt;p>　　(2）變數(shù)字母相同的兩個對稱式的和、差、積、商（能整除的）仍是對稱式。</p><p>　　(3)變數(shù)字母相同的兩個輪換式的和、差、積、商（能整除的）仍是輪換式。</p><p>　　(4)變數(shù)字母相同的兩個交代式的和、差仍是交代式，它們的積、商（能整除的）仍是對稱式。</p><p>　　(5)變數(shù)字母相同的一個對稱式與一個交代式的積、商（能整

37、除的）則是交代式。</p><p>　　(6)多個變數(shù)字母的交代式，必有其中任意兩個變數(shù)字母之差的因式。 </p><p>　　第 3章 因式分解的方法探討</p><p><b>　　3.1應(yīng)用公式法</b></p><p>　　如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式因式分解，這種方法叫做公式法

38、。常用的乘法公式有如下幾種：</p><p><b>　　平方差公式：</b></p><p><b>　　完全平方式：</b></p><p><b>　　立方和公式：</b></p><p><b>　　立方差公式：</b></p>&l

39、t;p><b>　　完全立方公式：</b></p><p><b>　　例1 </b></p><p><b>　　解 原式 </b></p><p>　　在應(yīng)用公式法進行因式分解時，要注意公式的特點。一般說來，應(yīng)先觀察多項式的特征，主要看它的項數(shù)，次數(shù)，然后再嘗試某種公式進行因式分解

40、，并記住公式的結(jié)構(gòu)特點和運用條件，確保因式中的系數(shù)和符號的正確性。</p><p><b>　　3.2分組分解法</b></p><p>　　分組分解是分解多項式的一種較復(fù)雜的方法。能分組的多項式往往有有四項或大于四項，一般的分組方法有兩種：二二分組法、三一分組法。需要說明的是，運用分組分解法，要對多項式進行細致的觀察，觀察中還要有一定的預(yù)見性，能預(yù)見到下一步能否繼續(xù)

41、分解。其中分析多項式特點，進行恰當(dāng)分組是分組分解法的關(guān)鍵。 </p><p><b>　　例2 </b></p><p><b>　　解 原式</b></p><p><b>　　例3 </b></p><p><b>　　解 原式</b><

42、/p><p>　　在運用分組分解法進行因式分解時，首先要注意對多項式進行觀察，合理進行分組，如二二分組，其次在各個組內(nèi)進行分解（如運用提取公因式法、平方法等方法將每個組的多項式進行分解），最后組間再進行分解，如果有公因式，應(yīng)先提公因式；如果一個多項式中有三項是一個完全平方式或通過提取一個負號是完全平方式，一般就選用三一分組的方法進行分組分解。</p><p><b>　　3.3提取公

43、因式法</b></p><p>　　各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。</p><p>　　提公因式法關(guān)鍵是找公因式。其方法是：一看系數(shù)、二看字母。公因式的系數(shù)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項相同的字母，并且各字母的指數(shù)取最低次冪。<

44、;/p><p><b>　　例4 </b></p><p><b>　　解 原式</b></p><p>　　用提取公因式法分解因式的步驟是:第一步，觀察多項式進行找公因式，可按照上述確定公因式的方法，先確定系數(shù)再確定字母將公因式確定。第二步，提取公因式并確定另外一個因式，注意另一因式的項數(shù)應(yīng)與原多項式的項數(shù)相同。第三步

45、，提取公因式后，將公因式與另一因式想乘。</p><p>　　3.4 拆項添項法 </p><p>　　拆項添項法是因式分解常用的方法.在多項式乘法運算時,化簡常將幾個同類項合并為一項,或?qū)蓚€僅符號相反的同類項相互抵消為零.在對某些多項式分解因式時,需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項.拆項是把多項式中的某一項拆成兩項或多項,添項是在多項式中添上兩個僅符號相反的項.拆項添項法的目的是使多項

46、式能進行因式分解.</p><p><b>　　例5 </b></p><p><b>　　解 原式</b></p><p><b>　　例6 </b></p><p><b>　　解 添加兩項,</b></p><p>

47、<b>　　則原式 </b></p><p>　　拆項添項法，這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項或幾項，使原式適合于提公因式法，運用公式法或分組分解法進行分解, 要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。</p><p>　　要對多項式進行細致的觀察，觀察中還有預(yù)見性，能預(yù)見到下一步能否繼續(xù)分解。其中分析多項式特點，進行恰當(dāng)拆項，添項是拆項

48、，添項法的關(guān)鍵。</p><p>　　用拆項，添項的方法進行因式分解的時候，要拆哪些項，添哪些項并沒有一定的規(guī)律，主要是依靠對題目的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是多項式因式分解的諸多方法中技巧性較強的一種方法。</p><p><b>　　3.5 十字相乘法</b></p><p>　　十字相乘法是針對二次三項多項式而提出的一種方法，基本思

49、想是：將二次式系數(shù)和常數(shù)項進行分解，然后交叉相乘（即為十字相乘），十字左邊相乘等于二次項系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項，交叉相乘的和等于一次項系數(shù)。其方法的依據(jù)是運用乘法公式的逆運算來進行因式分解。</p><p><b>　　例6 </b></p><p><b>　　解 令，</b></p><p><b>

50、　　則原式</b></p><p>　　一般地，對于二次三項式,如果二次項系數(shù)可以分解兩個因數(shù)乘積，即,常數(shù)項可以分解為兩個因數(shù)之積，即,把排列如下：</p><p>　　按斜線交叉相乘，再相加，得到,若它正好等于二元三次項式的一次項系數(shù)，即，那么二元三次項式就可以分解成為的乘積，即</p><p>　　這種方法的關(guān)鍵是對二次三項式的三個系數(shù)（二次項系數(shù)

51、也稱首項系數(shù)、一次項系數(shù)也稱中項系數(shù)，常數(shù)項也稱尾項系數(shù)）進行觀察，然后再進行首尾分解，交叉相乘，求和湊中。</p><p><b>　　3.6 主元法 </b></p><p>　　所謂主元法分解因式就是在分解含多個字母的代數(shù)式時,選取其中一個字母為主元(未知數(shù)),將其它字母看成是常數(shù),把代數(shù)式整理成關(guān)于主元的降冪排列(或升冪排列)的多項式,再嘗試用公式法、配方法

52、、分組法等分解因式的方法進行分解。</p><p><b>　　例7 </b></p><p><b>　　解 原式</b></p><p><b>　　現(xiàn)拋開，只看</b></p><p>　　一般說來，當(dāng)多項式中的字母過多，項數(shù)過多，并且在運用其他的因式分解的方法不是那

53、么容易的情況下，可以考慮采用主元法進行多項式的因式分解。首先選定一個字母為主元，將其他字母看為常數(shù)，然后按照降冪的形式將多項式進行重新排列，再進行觀察，看能否用其他的方法進行分解，然后進行繼續(xù)分解最終將原多項式因式分解。</p><p><b>　　3.7 求根分解法</b></p><p>　　求根法就是求出多項式的根從而進行因式分解的一種方法。</p>

54、<p>　　即如果多項式有根，則可分解為 </p><p>　　在初中代數(shù)中，曾用一元二次方程的求根公式把二次三項式分解因式。這種方法對于二元二次多項式也適用。一般說來，對于一元二次多項式，可考慮用求根法求解。即將多項式分解可得,其中為的兩根，要用求根公式解出。</p><p><b>　　例8 </b><

55、;/p><p><b>　　解 原式=</b></p><p><b>　　應(yīng)用求根公式得：</b></p><p>　　因式定理分解法、綜合除法實質(zhì)上是求根法，因此在運用這些方法來進行因式分解的本質(zhì)上都是一樣的，都得先求出這個多項式方程的根，進而再次進行分解。我們在運用因式定理來進行分解因式，即：如果多項式，那么多項式必定含

56、有因式。反過來，如果含有因式，那么，。將因式定理與待定系數(shù)法配合使用，往往可以更簡便的進行因式分解。當(dāng)是有理數(shù)時可用綜合除法予以確定，這種方法的依據(jù)是：如果整系數(shù)多項式有因式，則一定是的約數(shù)，一定是的約數(shù)。具體做法是：</p><p>　?。?）先寫出整系數(shù)多項式的首相系數(shù)和常數(shù)項的所有因數(shù)，然后以的因數(shù)為分母，的因數(shù)為分子，作出所有可能的既約分數(shù)(包括整數(shù)）。如果有有理根，則必在這些既約分數(shù)中。因此它們是可能的

57、試除數(shù)。</p><p>　?。?）從上述既約分數(shù)中合理的選擇試除數(shù)。如果的各項系數(shù)都是正數(shù)或都是負數(shù)，就只有選擇負的試除數(shù)，同理，如果的各項中奇次項系數(shù)都是正數(shù)，偶次項系數(shù)（包括常數(shù)項）都是負數(shù)，或者奇次項系數(shù)都是負數(shù)，偶次項系數(shù)都是正數(shù)，就只有選擇正的試除數(shù)。</p><p>　?。?)選好試除數(shù)后，即用綜合除法試除。當(dāng)選用作為試除數(shù)時，可選用視察法看是否為零。如果不為零，就排除，如果

58、為零，再用綜合除法求出商式。</p><p><b>　　例9 </b></p><p>　　解 可能的試除數(shù)是，由于的奇次項系數(shù)都是正數(shù)，偶次項系數(shù)都是負數(shù)，故只選正的試除數(shù)。又由視察法，，1排除，用2試除</p><p><b>　　2 </b></p><p>　　3 4 17 28

59、 </p><p>　　排除，同樣都排除，用試除</p><p>　　3 0 9 0</p><p><b>　　3.8待定系數(shù)法</b></p><p>　　待定系數(shù)法是初中數(shù)學(xué)的一個重要方法。用待定系數(shù)法分解因式，首先按已知條件把原式假設(shè)成若干個因式的乘積，這些因式中的系數(shù)可先用字母表示，它們的值是待定的，由

60、于這些因式的乘積與原式恒等，然后根據(jù)恒等原理，建立待定系數(shù)的方程組，最后解方程組即可求出待定系數(shù)的值。</p><p><b>　　例10 </b></p><p><b>　　解 由</b></p><p><b>　　可設(shè)</b></p><p>　　比較上式左右兩

61、邊的同次項系數(shù)，</p><p><b>　　得 </b></p><p><b>　　解得 </b></p><p><b>　　例11 </b></p><p>　　解 由于是4次多項式，且最高次項系數(shù)為1，</p><p>　　

62、在R上可以先假設(shè)它的分解式為</p><p>　　再求出待定系數(shù)，然后觀察是否可以分解因式</p><p><b>　　由</b></p><p>　　比較上式左右兩邊的同次項系數(shù)，</p><p><b>　　得 </b></p><p><b>　　解得

63、 </b></p><p>　　在應(yīng)用待定系數(shù)法進行因式分解時，首先要明確待分解的式子分解后是什么形式.如用待定系數(shù)法分解有兩個字母的二次多項式,且多項式中含有一次項和常數(shù)項。其實待定系數(shù)法是把分解因式轉(zhuǎn)換成了解方程，使我們能順利解決問題.又如含有多個字母的對稱多項式或輪換多項式就要用因式定理和待定系數(shù)法聯(lián)合求解。</p><p><b>　　3.9綜合法</b

64、></p><p>　　這里的綜合法是指用兩種及以上的方法進行多項式的因式分解的方法。如，對于特殊的多元多項式的因式分解，如對稱式、輪換式，其因式分解可考慮觀察法和待定系數(shù)法并用。</p><p><b>　　例12 </b></p><p>　　解 由觀察可知原多項式為交代式和輪換式。</p><p>　

65、　由于為三元齊次交代式，</p><p><b>　　必有因式</b></p><p><b>　　則可設(shè)</b></p><p><b>　　令求得</b></p><p><b>　　例13 </b></p><p>　　

66、解 由觀察可知原多項式為三元齊次對稱式。</p><p>　　根據(jù)特殊多項式的性質(zhì)，故當(dāng)時有，</p><p><b>　　故有因式</b></p><p>　　由于為三元齊次對稱式</p><p><b>　　可設(shè)</b></p><p><b>　　令得&l

67、t;/b></p><p><b>　　令得</b></p><p>　　一般說來，對稱式、輪換式在進行因式分解時，其步驟是：首先用觀察法找出其一次因式，然后根據(jù)特殊多項式的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求其另外一個因式。</p><p><b>　　結(jié)束語</b></p><p>　　在解決數(shù)學(xué)問題中，

68、研究多項式因式分解的問題以及多項式因式分解的方法總結(jié)與探討的現(xiàn)實問題，對我具有特別的吸引力，也具有很強的挑戰(zhàn)性，同時也是我們學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)研究，用以研究和解決現(xiàn)實問題的魅力、動力之源．本次畢業(yè)論文，主要是從多項式因式分解的理論角度，概述了多項式的可約性，一元多項式理論，二次多項式理論，特殊多項式概念及其性質(zhì)等；從多項式因式分解類型的角度，歸納總結(jié)了因式分解的方法技巧；從多項式因式分解的意義的角度，分析多項式的因式分解能培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能

69、力，能培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力，還可以培養(yǎng)學(xué)生的思維的深刻性．總體上講，論文基本達到設(shè)計要求，但仍然存在不足之處．如方法總結(jié)歸納不是很全面，對多項式因式分解的意義探索的不細致，因式分解的方法歸納總結(jié)不夠全面，而這些都是要進一步研究的問題．</p><p>　　通過總結(jié)多項式因式分解的方法，讓我了解了很多相關(guān)的知識，通過比較不同方法的簡便程度，查找相關(guān)的資料并進行分析總結(jié)，并結(jié)合相關(guān)的實際例子加以驗證，這些問題的分析

70、，都將有利于我今后相關(guān)研究工作的進一步展開，為研究推廣同類問題提供思路．</p><p>　　多項式因式分解的方法探討作為我的畢業(yè)論文設(shè)計，是對我大學(xué)學(xué)習(xí)的一個總結(jié)．在歷時將近半年的時間里，按照處理具體例子的方法對相關(guān)問題進行了分析，總結(jié)了具體的某一類問題的求解方法，這些都讓我從中都受益匪淺．在分析和撰寫論文的過程中，也遇到了很多疑惑和困難．在分析問題和解決問題的過程中，方法也逐步越來越多樣化，本人也得以學(xué)習(xí)和成

71、長．</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　在論文設(shè)計的過程中，我的論文指導(dǎo)教師張清芳老師對各個環(huán)節(jié)給予了細心指引與教導(dǎo), 使我得以最終完成畢業(yè)論文設(shè)計. 導(dǎo)師嚴(yán)謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、豐富淵博的知識、敏銳的學(xué)術(shù)思維、精益求精的工作態(tài)度以及侮人不倦的師者風(fēng)范是我終生學(xué)習(xí)的楷模，她高深精湛的造詣與嚴(yán)謹求實的治學(xué)精神，將永遠激勵著我. 這四年中還得到眾多老師

72、的關(guān)心支持和幫助. 在此，謹向老師們致以衷心的感謝和崇高的敬意！</p><p>　　經(jīng)過了三個多月的學(xué)習(xí)和工作，我終于完成了這篇論文. 雖然我在校期間一直堅持研究多項式的問題，這個論文題目我在此之前已研究過，但當(dāng)時研究不夠深入，寫作粗糙，作為畢業(yè)論文重新進行研究，每走一步對我來說都是新的嘗試與挑戰(zhàn). 在這段時間里，我學(xué)到了很多知識，也有很多感受，查看相關(guān)的資料和書籍，了解到國內(nèi)外關(guān)于多項式因式分解的方法與探討這

73、一問題的獨到見解，也讓自己頭腦中模糊的概念逐漸清晰，使自己非常稚嫩作品一步步完善起來，每一次改進都是我學(xué)習(xí)的收獲，每一次修改的成功都會讓我興奮好一段時間. 雖然我的論文作品可能還有很多不足之處，但是這次做論文的經(jīng)歷會使我終身受益，是對即將走進社會的我們的一次知識和能力的綜合考驗，我感受到做論文是要真真正正用心去做的一件事情，是真正的自己學(xué)習(xí)的過程和研究的過程. 沒有學(xué)習(xí)就不可能有研究的能力；沒有自己的研究，就不會有所突破. 希望這次的經(jīng)

74、歷能讓激勵我在以后學(xué)習(xí)中繼續(xù)前行！</p><p>　　最后，我要向百忙之中抽時間對本文進行審閱、評議和參與本人論文答辯的各位老師表示感謝. </p><p><b>　　參考文獻　　</b></p><p>　　[1] 姚謹. 初中生對一元二次方程的理解[D]. 華東師范大學(xué). 2013.</p><p>　　[2]

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