多才多藝的偉大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬【畢業(yè)論文+文獻(xiàn)綜述+開(kāi)題報(bào)告】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　多才多藝的偉大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專(zhuān)業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱(chēng) </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：文藝復(fù)興時(shí)期（從15世紀(jì)到16世紀(jì)末），歐洲出現(xiàn)了思想大解放

3、、生產(chǎn)大發(fā)展、社會(huì)大進(jìn)步的喜人景象，科學(xué)文化技術(shù)，其中包括數(shù)學(xué)，也隨之開(kāi)始復(fù)蘇并逐步繁榮起來(lái)。到了十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)跨入了一個(gè)嶄新的時(shí)代，即從常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的時(shí)代，而引起這一轉(zhuǎn)變的因素當(dāng)中也有著費(fèi)馬的一份力。他出生于商人家庭，學(xué)法律并以律師為職業(yè)，他不但有豐富的法律知識(shí)，而且是一個(gè)博覽群籍、見(jiàn)多識(shí)廣的學(xué)者。雖然數(shù)學(xué)只不過(guò)是他的業(yè)余愛(ài)好，但他精通法語(yǔ)、意大利語(yǔ)、西班牙語(yǔ)、拉丁語(yǔ)、希臘語(yǔ)，從而使他不僅能精心研究韋達(dá)的著作，而且能深入鉆研那

4、些古典的數(shù)學(xué)著作。例如，阿基米德、阿波羅尼奧斯、丟番圖、帕普斯等人的作品，使得他在下述幾個(gè)數(shù)學(xué)分支中做出了極為重要的貢獻(xiàn)并獲得“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的稱(chēng)號(hào)：他在研究幾何的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了解析幾何的原理；他是微積分的先驅(qū)者；他和B．帕斯卡共同開(kāi)創(chuàng)了概率論的早期研究；他是近代數(shù)論的開(kāi)拓者．當(dāng)然數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)只是費(fèi)馬成就中的一部分，他在物理、化學(xué)等領(lǐng)域中也有著一定的知名度。本文通過(guò)對(duì)費(fèi)馬一生的經(jīng)歷、在各個(gè)領(lǐng)域的成就的總結(jié)，來(lái)深入的了解費(fèi)馬，認(rèn)識(shí)費(fèi)馬，

5、使費(fèi)馬輝煌的一生不被遺忘在時(shí)間的河流中。</p><p>　　關(guān)鍵詞：解析幾何；概率論；數(shù)論</p><p>　　The great mathematician Fermat versatile</p><p>　　Abstract: During Renaissance (from the 15th century to 16th century), the Eu

6、ropean ideological emancipation appeared to produce large development, social progress gratifying big picture, science, culture technology, including mathematics, also will start to recover and gradually prosper. In the

7、seventeenth century, mathematics get into a new era. That is from constant into variables. Fermat has contributed to this change . He was born in a business family. He majored in law and took lawyers as </p><

8、p>　　Key words: Analytic geometry; probability; Number theory</p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　1 引言……………………………………………………………………………… ……………1</p><p>　　2 費(fèi)馬的一生………………………………… …

9、………………………………………………2</p><p>　　3 數(shù)學(xué)家費(fèi)馬…………………………… ………………………………………………………4</p><p>　　3.1 費(fèi)馬與解析幾何……………………………………………………………………………4</p><p>　　3.1.1 費(fèi)馬創(chuàng)立解析幾何…………………………………………………………………4</p>

10、;<p>　　3.1.2費(fèi)馬與笛卡爾…………………………… …………………………………………5</p><p>　　3.2 費(fèi)馬與微積分………………………………………………………………………………6</p><p>　　3.2.1費(fèi)馬求切線的方法………………… ………………………………………………6</p><p>　　3.2.2 費(fèi)馬言論的現(xiàn)代表述…

11、……………………………………………………………7</p><p>　　3.2.3 他人對(duì)費(fèi)馬的評(píng)價(jià)…………………………………………………………………7</p><p>　　3.3 費(fèi)馬與概率論………………………………………………………………………………8</p><p>　　3.3.1費(fèi)馬探索概率論的起因…………………… ………………………………………8</p

12、><p>　　3.3.2 費(fèi)馬對(duì)概率論的貢獻(xiàn)………………………………………………………………8</p><p>　　3.4 費(fèi)馬與近代數(shù)論………………………………………… ………………………………10</p><p>　　3.4.1 費(fèi)馬對(duì)算術(shù)的猜想……………………… ………………………………………10</p><p>　　3.4.2 費(fèi)馬在數(shù)論

13、上的成就…………………… ………………………………………10</p><p>　　3.4.3 費(fèi)馬尚未被人們確認(rèn)的兩大定理………………… ……………………………11</p><p>　　3.4.4無(wú)窮下推法………………………………… ……………………………………12</p><p>　　3.4.5 費(fèi)馬對(duì)數(shù)論的貢獻(xiàn)………………… ……………………………………………1

14、3</p><p>　　4 費(fèi)馬在其他領(lǐng)域的成就………………………………………………………………………14</p><p>　　4.1費(fèi)馬在光學(xué)上的成就…………………… …………………………… …………………14</p><p>　　4.1.1 費(fèi)馬在光學(xué)上的研究………………… …………………………………………14</p><p>　　總結(jié)

15、…………………………………………………………… ………………………………15</p><p>　　致謝………………………………………………… …………………………………………16</p><p>　　參考文獻(xiàn)……………………………………………… ………………………………………17</p><p><b>　　引言</b></p>

16、<p>　　文藝復(fù)興時(shí)期（從15世紀(jì)到16世紀(jì)末），歐洲出現(xiàn)了思想大解放、生產(chǎn)大發(fā)展、社會(huì)大進(jìn)步的喜人景象，科學(xué)文化技術(shù)，其中包括數(shù)學(xué)，也隨之開(kāi)始復(fù)蘇并逐步繁榮起來(lái)。到了十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)跨入了一個(gè)嶄新的時(shí)代，即從常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的時(shí)代，而引起這一轉(zhuǎn)變的因素當(dāng)中也有著費(fèi)馬的一份力。（朱家生，2005)[1]</p><p>　　田鵬在發(fā)表的《業(yè)余數(shù)學(xué)家之王費(fèi)爾馬》[2]中提到: 費(fèi)馬（也譯為“費(fèi)爾馬”）

17、1601年8月17日出生于法國(guó)南部圖盧茲附近的博蒙，父親是皮革商人，自幼接受良好的家庭教育，后進(jìn)圖盧茲大學(xué)學(xué)習(xí)法律。他以法律為職業(yè)，同時(shí)是一位社會(huì)活動(dòng)家，從1631年到去世一直任圖盧茲的議會(huì)議員。他的業(yè)余時(shí)間博覽群書(shū)，尤其熱愛(ài)古典文學(xué)，精通拉丁文和希臘文，從三十歲起，他才開(kāi)始迷戀上數(shù)學(xué)，并把幾乎所有的業(yè)余時(shí)間用于數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究，至死不渝。 “精誠(chéng)所至，金石為開(kāi)”，最終費(fèi)馬在光學(xué)及數(shù)學(xué)的四大分支—解析幾何、微積分、概率、數(shù)論，都作出了開(kāi)創(chuàng)

18、性貢獻(xiàn)，成為17世紀(jì)最出名的法國(guó)數(shù)學(xué)家之一。美國(guó)數(shù)學(xué)家貝爾稱(chēng)他為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。</p><p>　　費(fèi)馬作為17世紀(jì)數(shù)學(xué)家中最多產(chǎn)的明星，他比同時(shí)代的大多數(shù)專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)家更有成就。但是他一生的成就貢獻(xiàn)并沒(méi)有被人們銘記于心，甚至有的人連費(fèi)馬這個(gè)人都不知道，而且現(xiàn)在大部分的研究者都是單單針對(duì)費(fèi)馬的某一個(gè)成就中的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行描述或者證明，或者是運(yùn)用費(fèi)馬推出的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)去論述其他的內(nèi)容。例如張吉旭在工業(yè)科技報(bào)上發(fā)表的《淺

19、析光學(xué)系統(tǒng)理想成像的條件》[3]一文就是單單利用了下費(fèi)馬在光學(xué)方面推出的知識(shí)；又如唐子周、唐世杰、唐世敬在科技教育創(chuàng)新報(bào)上發(fā)表的《費(fèi)爾馬大定理的簡(jiǎn)捷證明釋疑》[4]一文論述的是有關(guān)費(fèi)馬大定理的內(nèi)容。很少有人從費(fèi)馬一生的角度或者說(shuō)整體上去敘述費(fèi)馬，整理費(fèi)馬這一生的貢獻(xiàn)，述說(shuō)費(fèi)馬這一生的生活經(jīng)歷。</p><p>　　所以敘述費(fèi)馬的一生經(jīng)歷，總結(jié)、整理費(fèi)馬一生中各個(gè)方面的成就，從而比較系統(tǒng)的了解、掌握費(fèi)馬的成就，這不

20、僅能使得費(fèi)馬這一代明星一生的經(jīng)歷及其他的成就不會(huì)被遺忘在時(shí)間的河流中，而且能讓我們的后代也能傳承費(fèi)馬這種專(zhuān)研的精神從而創(chuàng)造出自己的輝煌。</p><p><b>　　費(fèi)馬的一生</b></p><p>　　費(fèi)馬（也譯為“費(fèi)爾馬”）1601年8月17日出生于法國(guó)南部圖盧茲附近的博蒙·德·洛馬涅，他的祖父、父親、叔父都從事商業(yè)。他的父親多米尼克經(jīng)辦了一

21、個(gè)生意興隆的皮革商行，還獲得了地方事務(wù)顧問(wèn)的頭銜。費(fèi)馬的母親名叫克拉萊·德·羅格，出身長(zhǎng)袍貴族,曾在長(zhǎng)袍貴族議會(huì)中任職．多米尼克的大富與羅格的大貴族構(gòu)筑了費(fèi)馬極其富貴的身價(jià)。</p><p>　　費(fèi)馬小時(shí)候受教于他的叔叔皮埃爾，受到了良好的啟蒙教育，培養(yǎng)了他廣泛的興趣和愛(ài)好，對(duì)他的性格也產(chǎn)生了重要的影響，在家鄉(xiāng)上完中學(xué)后，進(jìn)入了圖盧茲大學(xué)學(xué)習(xí)法律。17世紀(jì)20年代的后期他曾在波爾多度過(guò)了相當(dāng)長(zhǎng)

22、的一段時(shí)間，就在這一時(shí)期他對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生了興趣，深入地研究過(guò)F．韋達(dá)的著作．在1631年5月1日費(fèi)馬獲得了奧爾良大學(xué)民法學(xué)士學(xué)位。</p><p>　　17世紀(jì)的法國(guó)，男子最熱門(mén)的職業(yè)是當(dāng)律師，因此，男子學(xué)習(xí)法律成為時(shí)尚，也使人敬羨。1523年，佛朗期瓦一世為那些有產(chǎn)的而缺少資歷的“準(zhǔn)律師”盡快成為律師創(chuàng)造了很好的條件，他組織成立了一個(gè)專(zhuān)門(mén)鬻賣(mài)官爵的機(jī)關(guān)，公開(kāi)出售官職。這種官職鬻賣(mài)的社會(huì)現(xiàn)象一經(jīng)產(chǎn)生，便應(yīng)時(shí)代的需要而

23、一發(fā)不可收拾，且彌留今日。</p><p>　　鬻賣(mài)官職，一方面應(yīng)付了那些富有者，使其獲得官位從而提高社會(huì)地位，另一方面也讓政府的財(cái)政狀況得到提升。因此到了17世紀(jì)，除宮廷官和軍官以外的任何官職都可以買(mǎi)賣(mài)了。這種買(mǎi)官賣(mài)官的行為使許多中產(chǎn)階級(jí)從中受惠，費(fèi)馬也不例外。費(fèi)馬還沒(méi)有大學(xué)畢業(yè)，家里便為他在博蒙·德·洛馬涅買(mǎi)好了“律師”和“參議員”的職位。等到費(fèi)馬畢業(yè)回來(lái)以后，他便當(dāng)上了圖盧茲議會(huì)的議員。

24、</p><p>　　雖然費(fèi)馬從進(jìn)入社會(huì)直到去世都沒(méi)有丟掉官職，而且逐步得到提升，但是，費(fèi)馬并沒(méi)有什么政績(jī)，官場(chǎng)上的能力也很普通，更不要說(shuō)什么領(lǐng)導(dǎo)才能。不過(guò)，費(fèi)馬并沒(méi)有因此而中斷升遷。在費(fèi)馬任了七年地方議會(huì)議員之后，升任了調(diào)查參議員，這個(gè)官職有權(quán)對(duì)行政當(dāng)局進(jìn)行調(diào)查和提出質(zhì)疑。在1642年，最高法院顧問(wèn)勃里斯亞斯更是推薦費(fèi)馬進(jìn)入了最高刑事法庭和法國(guó)大理院主要法庭，這使得費(fèi)馬以后得到了更好的升遷機(jī)會(huì)。1646年，費(fèi)馬

25、升任議會(huì)首席發(fā)言人，后來(lái)還當(dāng)過(guò)天主教聯(lián)盟的主席等職。費(fèi)馬的官場(chǎng)生涯沒(méi)有什么突出政績(jī)，不過(guò)費(fèi)馬從不利用職權(quán)向人們勒索、從不受賄、為人敦厚、公開(kāi)廉明，贏得了人們的信任和稱(chēng)贊。</p><p>　　1631年6月1日，費(fèi)馬娶了他的舅表妹露伊絲·德·羅格，這使得本就為母親的貴族血統(tǒng)而感驕傲的費(fèi)馬更加的為自己感到自豪。費(fèi)馬生有三個(gè)女兒二個(gè)兒子，尤其是他的長(zhǎng)子克萊曼特·薩摩爾，他不僅繼承了費(fèi)馬的

26、公職，在1665年當(dāng)上了律師，而且還整理了費(fèi)馬的數(shù)學(xué)論著。如果不是費(fèi)馬長(zhǎng)子積極出版費(fèi)馬的數(shù)學(xué)論著，很難說(shuō)費(fèi)馬能對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生如此重大的影響，因?yàn)榇蟛糠终撐亩际窃谫M(fèi)馬死后，由其長(zhǎng)子負(fù)責(zé)發(fā)表的。</p><p>　　費(fèi)馬一生身體健康，只是在1652年的瘟疫中險(xiǎn)些喪命。1665年元旦一過(guò)，費(fèi)馬開(kāi)始感到身體有變，因此于1月l0日停職。第三天，費(fèi)馬去世。費(fèi)馬被安葬在卡斯特雷斯公墓，后來(lái)改葬在圖盧茲的家族墓地中。</p&g

27、t;<p><b>　　數(shù)學(xué)家費(fèi)馬</b></p><p>　　3.1 費(fèi)馬與解析幾何</p><p>　　3.1.1 費(fèi)馬創(chuàng)立解析幾何</p><p>　　17世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)輝煌時(shí)代,幾何學(xué)首先成為這一時(shí)代引人注目的明珠。費(fèi)馬獨(dú)立于勒奈·笛卡兒發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理。他用代數(shù)方法對(duì)阿波羅尼奧斯關(guān)于軌跡的一些

28、失傳的證明作了補(bǔ)充，為此他寫(xiě)了篇幅不大的《平面和立體的軌跡引論》一書(shū)。他說(shuō)他試圖開(kāi)展關(guān)于軌跡的一般性研究，這種研究是希臘人沒(méi)有做到的。 </p><p>　　從《平面和立體的軌跡引論》一文可以知道費(fèi)馬在笛卡兒發(fā)表《幾何學(xué)》

29、之前，就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了解析幾何的原理，發(fā)現(xiàn)了用代數(shù)方程表示曲線的方法：他以一條水平的直線為軸，并在此直線上確定一個(gè)點(diǎn)作為原點(diǎn)。他在任意一條曲線上取一個(gè)點(diǎn) (圖1)。點(diǎn)的位置由來(lái)確定，表示原點(diǎn)到點(diǎn)的距離，表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離（到軸線的角，是固定角）。</p><p>　　費(fèi)馬所用的坐標(biāo)實(shí)際上是我們所說(shuō)的傾斜坐標(biāo)，但是軸并沒(méi)有表現(xiàn)出來(lái)，而且沒(méi)有負(fù)數(shù)軸的說(shuō)法。他的就是我們所說(shuō)的。費(fèi)馬清楚地?cái)⑹隽怂囊话阍恚骸皟蓚€(gè)未知量決定的

30、—個(gè)方程式，對(duì)應(yīng)著一條軌跡，可以描繪出一條直線或曲線?！眻D中對(duì)于不同位置的，對(duì)應(yīng)著將這些相連便得到“線”。費(fèi)馬提到的未知量和，實(shí)際上是變數(shù)。在這里，費(fèi)馬采用韋達(dá)的辦法，讓一個(gè)字母代表一類(lèi)的數(shù)，然后寫(xiě)出聯(lián)系和的各種方程，并指明它們所描繪的曲線。例如，他寫(xiě)出，并指明這代表一條直線。費(fèi)馬在書(shū)中還對(duì)圓的方程、以及關(guān)于雙曲線、橢圓、拋物線進(jìn)行了討論。</p><p>　　1643年，他簡(jiǎn)短地描述了他的三維解析幾何的思想。他

31、談到了柱面、橢圓拋物面、雙葉雙曲面和橢球面，指出：含有三個(gè)未知量的方程表示一個(gè)曲面，并對(duì)此做了進(jìn)一步地研究。雖然費(fèi)馬對(duì)三維解析幾何沒(méi)有給出一個(gè)幾何框架，但他卻提供了一個(gè)代數(shù)基礎(chǔ)。在1650年的一篇文章“新型二階或高階方程分析中的指標(biāo)問(wèn)題”里，他指出，一個(gè)自變量的方程決定點(diǎn)的作圖，二個(gè)自變量的方程決定平面曲線的軌跡的作圖，三個(gè)自變量的方程決定空間中曲面的軋跡的作圖。（楊秀川，2007)[5]</p><p>　　3

32、.1.2 費(fèi)馬與笛卡爾</p><p>　　費(fèi)馬和笛卡兒研究解析幾何的方法是截然不同的：費(fèi)馬主要是繼承了希臘人的思想。盡管他的工作比較全面系統(tǒng)，正確地?cái)⑹隽私馕鰩缀蔚幕驹?，但他的研究主要是完善了阿波羅尼奧斯的工作。而笛卡兒則是從批判希臘的傳統(tǒng)出發(fā)，斷然同這種傳統(tǒng)決裂，走的是革新古代方法的道路。他的方法更具一般性，也適用于更廣泛的超越曲線。笛卡兒是從一個(gè)軌跡來(lái)尋找它的方程的，而費(fèi)馬則是從方程出發(fā)來(lái)研究軌跡的，

33、這正是解析幾何基本原則的兩個(gè)相對(duì)的方面但各有側(cè)重。（莫德，2004)[6]</p><p>　　3.2 費(fèi)馬與微積分</p><p>　　3.2.1 費(fèi)馬求切線的方法</p><p>　　人所共知，牛頓和萊布尼茨是微積分的締造者，關(guān)于微積分方法的創(chuàng)立，I．牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“我從費(fèi)馬的切線作法中得到了這個(gè)方法的啟示，我推廣了它，把它直接地并且反過(guò)來(lái)應(yīng)用于抽象的方程。

34、”</p><p>　　在1629年費(fèi)馬找到了求切線的一種方法，但遲后了八年才發(fā)表在1637年的手稿《求最大值和最小值的方法》中，他的方法如下：</p><p>　　設(shè)是曲線在點(diǎn)處的切線(圖2)，叫次切線．費(fèi)馬的思想是先求出的長(zhǎng)度，從而知道的位置，最后就能作出。</p><p>　　設(shè)是的增量，長(zhǎng)度為。因?yàn)?，所以。費(fèi)馬認(rèn)為和的長(zhǎng)度差不多；因此 ,以現(xiàn)在的話來(lái)說(shuō)，若令

35、為，則有。因此，。</p><p>　　費(fèi)馬的處理方法是：用除右端分式，然后令 (他說(shuō)是去掉項(xiàng))，就得到。這就是費(fèi)馬求的方法。（杜瑞芝，1986)[7]</p><p>　　費(fèi)馬在《求最大值和最小值的方法》中也用過(guò)這樣一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明問(wèn)題：已知一條直線(段)，求直線上一點(diǎn)，使被這點(diǎn)分成的兩部分線段組成的矩形面積最大。他把整個(gè)線段叫做，并設(shè)它的一部分為。那么矩形的面積就是。然后他用代替，這時(shí)另

36、外一部分就是，矩形的面積為。費(fèi)馬認(rèn)為，取最大值時(shí)，兩個(gè)面積應(yīng)該是相等的。所以 。兩邊消去相同的項(xiàng)并用除，得到 然后令 (他說(shuō)去掉項(xiàng))，得到。因此這矩形是正方形。（杜瑞芝，1986) [7]</p><p>　　費(fèi)馬認(rèn)為這個(gè)方法有普遍的適用性。但遺憾的是，費(fèi)馬對(duì)于這個(gè)方法并未從邏輯上作過(guò)全面的解釋?zhuān)虼藢?duì)于他對(duì)這個(gè)問(wèn)題的考慮，一些數(shù)學(xué)史專(zhuān)家曾產(chǎn)生過(guò)爭(zhēng)議。</p><p>　　3.2.2 費(fèi)

37、馬言論的現(xiàn)代表述</p><p>　　從上面的內(nèi)容我們可以看出，費(fèi)馬這種求極值的方法已非常接近微分學(xué)的基本觀念了。如果用現(xiàn)代的記號(hào)來(lái)敘述他的規(guī)則可以如下表述：</p><p>　　要求的極值，先令的導(dǎo)數(shù)為零，再求出方程的根，便是可能使具有極值的極值點(diǎn)。費(fèi)馬的方法給出了可微函數(shù)的極值點(diǎn)x所能滿足的必要條件。費(fèi)馬還有區(qū)分為極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)的準(zhǔn)則，即現(xiàn)在 “二階導(dǎo)數(shù)準(zhǔn)則”，當(dāng)(時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)

38、有極小值)。盡管他沒(méi)能系統(tǒng)地去研究拐點(diǎn)的情況，但也得到了求拐點(diǎn)的一種法則。</p><p>　　3.2.3 他人對(duì)費(fèi)馬的評(píng)價(jià)</p><p>　　費(fèi)馬能應(yīng)用他的方法解決確定切線、求函數(shù)的極大值極小值以及求面積、求曲線長(zhǎng)度等問(wèn)題，能在如此廣泛的各種問(wèn)題上從幾何和分析的角度應(yīng)用無(wú)窮小量，但是他沒(méi)有看到這兩類(lèi)問(wèn)題之間的基本聯(lián)系。這也致使費(fèi)馬與微積分的創(chuàng)立者無(wú)緣。以致J．L．拉格朗日說(shuō)：“我們可

39、以認(rèn)為費(fèi)馬是這種新計(jì)算的第一個(gè)發(fā)明人?！盤(pán)．S．拉普拉斯和J．傅里葉也有類(lèi)似的評(píng)論。但S．D．泊松有異議，他認(rèn)為費(fèi)馬還沒(méi)達(dá)到這么高的境界。因?yàn)橘M(fèi)馬不但沒(méi)有認(rèn)識(shí)到求積運(yùn)算是求切線運(yùn)算的逆運(yùn)算，并且費(fèi)馬也沒(méi)有指出微分學(xué)的基本概念——導(dǎo)數(shù)與微分；也未曾建立起微分學(xué)的算法?？赡茉谫M(fèi)馬看來(lái)，他的求最大值、最小值方法，切線方法以及求面積方法不過(guò)是解決這些具體問(wèn)題的特有方法，而不是新的分析學(xué)。但是他的思想和方法對(duì)為微積分概念的引出提供了與現(xiàn)代形式最接

40、近的啟示。</p><p>　　3.3 費(fèi)馬與概率論</p><p>　　3.3.1費(fèi)馬探索概率論的起因</p><p>　　早在古希臘時(shí)期，偶然性與必然性及其關(guān)系問(wèn)題便引起了眾多哲學(xué)家的興趣與爭(zhēng)論，但是對(duì)其有數(shù)學(xué)的描述和處理卻是15世紀(jì)以后的事。l6世紀(jì)早期，意大利出現(xiàn)了卡爾達(dá)諾等數(shù)學(xué)家研究骰子中的博弈機(jī)會(huì)，在博弈的點(diǎn)中探求賭金的劃分問(wèn)題。但首先試圖把這些方法歸納

41、和抽象成一種法則的，還應(yīng)歸功于費(fèi)馬和帕斯卡。而激勵(lì)他們倆人認(rèn)真對(duì)待這項(xiàng)研究的起因，卻來(lái)自一個(gè)賭博者的請(qǐng)求。</p><p>　　1654年法國(guó)騎士C．梅累向帕斯卡提出了一個(gè)使他苦惱很久的問(wèn)題：“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰(shuí)先贏局就算贏了，現(xiàn)在一個(gè)人贏局，另一個(gè)人贏局，賭博中止，問(wèn)賭本應(yīng)怎樣分法才算合理？”這個(gè)問(wèn)題后來(lái)稱(chēng)為“賭點(diǎn)問(wèn)題”。當(dāng)帕斯卡接到這個(gè)問(wèn)題后，立刻把它轉(zhuǎn)告了費(fèi)馬，他們倆人都對(duì)這個(gè)問(wèn)題得出了正確的答案，但

42、所用的方法不同。關(guān)于概率論的研究就是這樣開(kāi)始的。正如對(duì)概率論做出了卓越貢獻(xiàn)的法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松后來(lái)所說(shuō)：“由一位廣有交游的人向一位嚴(yán)肅的冉森派教徒所提出的一個(gè)關(guān)于機(jī)會(huì)游戲的問(wèn)題乃是概率演算的起源?！边@個(gè)廣有交游的人就是梅累，那位嚴(yán)肅的冉森派教徒就是帕斯卡。</p><p>　　當(dāng)C．惠更斯到巴黎的時(shí)候，聽(tīng)說(shuō)費(fèi)馬和帕斯卡在研究這個(gè)問(wèn)題，他也進(jìn)行了研究，并寫(xiě)成了《論賭博中的計(jì)算》一書(shū)。從此概率論的研究引起了更多數(shù)學(xué)家的關(guān)

43、注，特別是為了研究在實(shí)踐中碰到的大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，就進(jìn)一步推動(dòng)了這一數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。（徐傳勝,2007)[8]</p><p>　　3.3.2 費(fèi)馬對(duì)概率論的貢獻(xiàn)</p><p>　　在這個(gè)問(wèn)題中，費(fèi)馬考慮到四次賭博可能的結(jié)局有2×2×2×2＝16種，除了一種結(jié)局即四次賭博都讓對(duì)手贏以外，其余情況都是第一個(gè)賭徒獲勝。費(fèi)馬此時(shí)還沒(méi)有使用概率一詞，但他卻得出

44、了使第一個(gè)賭徒贏得概率是15／16，即有利情形數(shù)與所有可能情形數(shù)的比。這個(gè)條件在組合問(wèn)題中一般均能滿足，例如紙牌游戲，擲銀子和從罐子里模球。其實(shí)，這項(xiàng)研究為概率的數(shù)學(xué)模型一概率空間的抽象奠定了博弈基礎(chǔ)。</p><p>　　費(fèi)馬和布萊士·帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率論的基本原則——數(shù)學(xué)期望的概念。這是從點(diǎn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)始的：在一個(gè)被假定有同等技巧的博弈者之間，在一個(gè)中斷的博弈中，如何確定賭金的劃分

45、，已知兩個(gè)博弈者在中斷時(shí)的得分及在博弈中獲勝所需要的分?jǐn)?shù)。費(fèi)馬這樣做出了討論：一個(gè)博弈者A需要4分獲勝，博弈者B需要3分獲勝的情況，這是費(fèi)馬對(duì)此種特殊情況的解。因?yàn)轱@然最多四次就能決定勝負(fù)。</p><p>　　從純數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看，有限概率空間似乎顯得平淡無(wú)奇。但若引入了隨機(jī)變量和數(shù)學(xué)期望，它們就變得神奇了。費(fèi)馬的貢獻(xiàn)便在于此。</p><p>　　3.4 費(fèi)馬與近代數(shù)論</p>

46、<p>　　3.4.1 費(fèi)馬對(duì)算術(shù)的猜想</p><p>　　費(fèi)馬對(duì)解析幾何、微積分和概率論的開(kāi)創(chuàng)都做出了重要的貢獻(xiàn)。但最能顯示出他的才華且對(duì)后人影響最大的，還是他在數(shù)論方面的工作。在他生命的最后十五年里，他幾乎把全部的精力放到了對(duì)數(shù)論的研究上。</p><p>　　在費(fèi)馬以前，希臘人也曾研究過(guò)數(shù)的性質(zhì)，我們可以從歐幾里得、尼科馬霍斯、賽翁、丟番圖等人的著作中找到一些關(guān)于數(shù)

47、的性質(zhì)的論述，但是很不系統(tǒng)。這門(mén)學(xué)科也曾強(qiáng)烈地吸引過(guò)印度人，但是直到費(fèi)馬仔細(xì)閱讀了丟番圖的譯本而把注意力轉(zhuǎn)移到這方面之前，數(shù)論始終不曾有過(guò)重大的進(jìn)展。費(fèi)馬認(rèn)為數(shù)論被忽視了。他曾抱怨說(shuō)幾乎沒(méi)有什么人提出或懂得算術(shù)問(wèn)題，并說(shuō)：“這是不是由于迄今為止，人們都用幾何觀點(diǎn)而不用算術(shù)觀點(diǎn)來(lái)處理算術(shù)的緣故？”他認(rèn)為甚至連丟番圖也頗受幾何觀點(diǎn)的束縛。他相信算術(shù)有它自己的特殊園地：整數(shù)論。</p><p>　　3.4.2 費(fèi)馬在

48、數(shù)論上的成就</p><p>　　費(fèi)馬對(duì)數(shù)論的研究是從閱讀丟番圖的著作《算術(shù)》一書(shū)開(kāi)始的，這本書(shū)曾被文藝復(fù)興時(shí)代的數(shù)學(xué)家譯成許多譯本，他仔細(xì)閱讀了由M．巴歇1621年校訂的法文譯本。費(fèi)馬對(duì)數(shù)論的大部分貢獻(xiàn)都批注在這本書(shū)頁(yè)的邊緣和空白處以及寫(xiě)給朋友的一些信件中。他主要研究了素?cái)?shù)和整數(shù)的可除性問(wèn)題并給出了從單個(gè)的基本解到一般形式的解的一些論斷。</p><p>　　費(fèi)馬在1640年6月致M．梅

49、森的一封信中提出了下述三個(gè)定理(吳延?xùn)|，2007)[9]：</p><p>　　1．若是合成數(shù)，則是合成數(shù)。</p><p>　　2．若是素?cái)?shù)，則可被除盡。</p><p>　　3．若是素?cái)?shù)，則除了這種形式的數(shù)之外，不能被其他素?cái)?shù)除盡。</p><p>　　費(fèi)馬宣稱(chēng)，這三個(gè)定理是他關(guān)于數(shù)的性質(zhì)的研究基礎(chǔ)。</p><p&g

50、t;　　費(fèi)馬對(duì)數(shù)論還提出了下列一些重要定理(王海坤，2006)[10]：</p><p>　　4．費(fèi)馬斷言沒(méi)有一個(gè)形如的素?cái)?shù)能表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和。</p><p>　　5．費(fèi)馬推廣了著名的直角三角形的3，4，5關(guān)系，指出了如下一些定理：形如的一個(gè)素?cái)?shù)能夠而且只能作為一個(gè)直角邊為整數(shù)的直角三角形的斜邊；的平方是兩個(gè)而且只有兩個(gè)這種直角三角形的斜邊；它的立方是三個(gè)而且只有三個(gè)這種直角三角形的

51、斜邊；它的四次方是四個(gè)而且只有四個(gè)這種直角三角形的斜邊，如此等等，乃至無(wú)窮。</p><p>　　他還指出形如的素?cái)?shù)和它的平方都只能以一種方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和；它的三次方和四次方都能以?xún)煞N方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和；它的五次方和六次方都能以三種方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和；如此等等，乃至無(wú)窮。若等于兩個(gè)平方數(shù)之和的一個(gè)素?cái)?shù)乘以另一個(gè)也是這樣的素?cái)?shù)，則其乘積將能以?xún)煞N方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和。若第一個(gè)素?cái)?shù)乘以第二個(gè)素

52、數(shù)的平方，則乘積將能以三種方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和；若乘以第二個(gè)素?cái)?shù)的立方，則乘積將能以四種方式表達(dá)為兩個(gè)平方數(shù)之和；如此等等，乃至無(wú)窮。</p><p>　　6．費(fèi)馬給出了關(guān)于將素?cái)?shù)表達(dá)為以及其他這種形式的許多定理，它們都是關(guān)于素?cái)?shù)表達(dá)為平方和的推廣，并指出一個(gè)奇素?cái)?shù)能且只能以一種方式表為兩個(gè)平方數(shù)之差。</p><p>　　7．在1640年費(fèi)馬給出了下述定理：若是個(gè)素?cái)?shù)而與互素，則能為

53、整除。</p><p>　　8．費(fèi)馬也研究過(guò)多邊形數(shù)，他在那本丟番圖的書(shū)的空白處寫(xiě)下了這樣一個(gè)定理：每個(gè)正整數(shù)或者本身是一個(gè)三角形數(shù)，或者是兩個(gè)或三個(gè)三角形數(shù)之和；每個(gè)正整數(shù)或者本身是個(gè)正方形數(shù)，或者是2，3或4個(gè)正方形數(shù)之和；每個(gè)正整數(shù)或者本身是個(gè)五邊形數(shù)，或者是2，3，4或5個(gè)五邊形數(shù)之和：以及對(duì)較高的多邊形數(shù)的類(lèi)似關(guān)系。</p><p>　　9．費(fèi)馬在1636年重新發(fā)現(xiàn)了．泰比特第一

54、個(gè)提出的法則，給出了第二對(duì)親和數(shù)17，926及18，416。</p><p>　　10．費(fèi)馬重新發(fā)現(xiàn)了求解的問(wèn)題，其中是整數(shù)但非平方數(shù)。他在1657年2月寫(xiě)給德貝西的一封信中提出一個(gè)定理：在A是正數(shù)而非完全平方時(shí)有無(wú)窮多個(gè)解。費(fèi)馬還指出：對(duì)于給定的和B，在什么情況下可解，并能把它解出來(lái)。</p><p>　　費(fèi)馬對(duì)上述這些定理都沒(méi)有給出證明，有的也只是略述大意，補(bǔ)充這些定理的證明曾強(qiáng)烈的吸

55、引著18世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家。</p><p>　　3.4.3 費(fèi)馬尚未被人們確認(rèn)的兩大定理</p><p>　　費(fèi)馬在數(shù)論中還提出過(guò)其他一些定理。他提出的所有定理，除了下述兩個(gè)定理以外，都已被后來(lái)的人證明是正確的，這兩個(gè)定理是:</p><p>　　(i)形如的數(shù)都是素?cái)?shù)，他自己驗(yàn)證了當(dāng)時(shí)，確實(shí)都是素?cái)?shù)，但他承認(rèn)他還不能給出普遍的證明。后來(lái)L．歐拉證明了當(dāng)時(shí)，即不是素

56、數(shù)。而且，直到今天再?zèng)]有發(fā)現(xiàn)其他型的素?cái)?shù)．從而說(shuō)明費(fèi)馬這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的。</p><p>　　(ii)費(fèi)馬于1637年左右，他在巴歇校訂的丟番圖的《算術(shù)》第二卷第八命題——“將一個(gè)平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)”的旁邊寫(xiě)道：“相反，要將一個(gè)立方數(shù)分為兩個(gè)立方數(shù)，一個(gè)四次冪分為兩個(gè)四次冪，一般地將一個(gè)高于二次的冪分為兩個(gè)同次的冪，都是不可能的，對(duì)此，我確信已發(fā)現(xiàn)一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小寫(xiě)不下?！边@就是數(shù)學(xué)史上著

57、名的費(fèi)馬大定理或稱(chēng)費(fèi)馬最后定理。（楊燕昌，1995)[11]</p><p>　　費(fèi)馬逝世后，人們一直未找到他對(duì)這個(gè)定理的證明，于是激起了許多數(shù)學(xué)家試圖證明這個(gè)定理。例如：歐拉、A．M．勒讓德、 C．F．高斯、N．H．阿貝爾、P．G．L．狄利克雷、G．拉梅、A．L．柯西、E．E．庫(kù)默爾等著名數(shù)學(xué)家都試證過(guò)，并得到了部分結(jié)果，但都沒(méi)有得到普遍的證明。為此，布魯塞爾科學(xué)院、巴黎科學(xué)院曾設(shè)獎(jiǎng)金懸賞征集這個(gè)問(wèn)題的證明，也

58、沒(méi)得到結(jié)果。1908年，數(shù)學(xué)家F．沃爾夫斯克爾在格丁根皇家科學(xué)會(huì)懸賞十萬(wàn)馬克，贈(zèng)給最先證明這個(gè)定理的人。盡管許多跡象都說(shuō)明費(fèi)馬最后定理可能是成立的，但至今依然沒(méi)有得到完全的證明。因此，費(fèi)馬是否真對(duì)這一問(wèn)題作出正確的證明，也許將永遠(yuǎn)是個(gè)謎，不過(guò)從他提出的許多定理的絕大多數(shù)都被后來(lái)的人證明是正確的這一事實(shí)來(lái)看，費(fèi)馬確實(shí)具有一種直觀的天才和非凡的洞察力。</p><p>　　3.4.4 無(wú)窮下推法</p>

59、<p>　　1879年，在萊頓圖書(shū)館惠更斯的手稿中發(fā)現(xiàn)一篇論文，其中介紹了由費(fèi)馬首創(chuàng)和應(yīng)用的“無(wú)窮下推法”。在1659年，費(fèi)馬曾將這個(gè)方法的梗概寫(xiě)信告訴過(guò)他的朋友P．卡爾卡維。為了描述這個(gè)方法，我們先來(lái)考察費(fèi)馬在1640年12月25日給梅森的信中所提出的一個(gè)定理：每一個(gè)形如的素?cái)?shù)，能唯一的分解為兩個(gè)平方數(shù)之和。例如，。應(yīng)用這個(gè)方法時(shí)，先假設(shè)形如的素?cái)?shù)并不具有所述性質(zhì)，我們要證明形如的一個(gè)較小素?cái)?shù)也不具有所述性質(zhì)。由于是任意

60、的，所以還必需有一個(gè)更小的，這樣通過(guò)的整數(shù)值往下遞推，就必定能推到，從而推到素?cái)?shù)也不該具有所述性質(zhì)。但素?cái)?shù)是能唯一分解為兩個(gè)平方數(shù)的和的，這就和假定相矛盾，因而每一個(gè)形如的素?cái)?shù)都能唯一分解為兩個(gè)平方數(shù)之和。費(fèi)馬還說(shuō)他用“無(wú)窮下推法”證明了下述定理：邊長(zhǎng)為有理數(shù)的直角三角形的面積不可能是一個(gè)平方數(shù)。這個(gè)概括的證明是他唯一詳細(xì)寫(xiě)出的證明，而且是作為不可能有整數(shù)解的一個(gè)推論得出的，他還聲稱(chēng)他用“無(wú)窮下推法”證明了上述命題8和命題10。<

61、/p><p>　　但后人一直未找到他是怎樣具體用“無(wú)窮下推法”證明的細(xì)節(jié)，不過(guò)他提出的上述一些命題卻被歐拉、拉格朗日、柯西等用他首創(chuàng)的“無(wú)窮下推法”或其他方法證明確實(shí)是正確的。</p><p>　　3.4.5 費(fèi)馬對(duì)數(shù)論的貢獻(xiàn)</p><p>　　費(fèi)馬在數(shù)論中提出的命題，都以極大的魅力吸引了許多后來(lái)的數(shù)學(xué)家去研究它們，從而推動(dòng)了19世紀(jì)數(shù)論理論的發(fā)展和數(shù)論研究方法的產(chǎn)

62、生。例如，庫(kù)默爾在企圖證明費(fèi)馬最后定理時(shí)，就創(chuàng)立了理想數(shù)論。另外費(fèi)馬的成果對(duì)現(xiàn)代代數(shù)學(xué)基本概念的明確闡述也起到了推動(dòng)作用。</p><p>　　費(fèi)馬在其他領(lǐng)域的成就</p><p>　　4.1 費(fèi)馬與光學(xué)</p><p>　　4.1.1 費(fèi)馬在光學(xué)上的研究</p><p>　　費(fèi)馬同他那個(gè)世紀(jì)的其他數(shù)學(xué)家一樣，他研究過(guò)許多科學(xué)問(wèn)題，特別對(duì)

63、光學(xué)也做出過(guò)重要貢獻(xiàn)。</p><p>　　費(fèi)馬在1637年看到笛卡兒的《折光》中給出的折射定律，其中是光線在第一介質(zhì)中的速度，是光進(jìn)入第二介質(zhì)的速度。他對(duì)這個(gè)定律及其證明方法都持懷疑和反對(duì)的態(tài)度，并曾引起他們倆人之間長(zhǎng)達(dá)十年之久的爭(zhēng)論。但后來(lái)費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)反射時(shí)光線取需時(shí)最少的路徑，而且相信自然確實(shí)是按簡(jiǎn)單而又經(jīng)濟(jì)的方式行動(dòng)的，在1657年和1662年的信件中，他確認(rèn)了他的最小時(shí)間原理——光線永遠(yuǎn)取花時(shí)間最少的路徑行

64、進(jìn)。當(dāng)他在1661年發(fā)現(xiàn)他能夠從他的原理導(dǎo)出光的折射定律時(shí)，他不但解除了對(duì)笛卡兒的折射定律的懷疑，而且更加確信自己的原理的正確性。（陳俊華，2002)[12]</p><p>　　費(fèi)馬的原理現(xiàn)在數(shù)學(xué)上有幾種等價(jià)陳述形式。按照拆射定律常用表示對(duì)之比，叫做第二種介質(zhì)相對(duì)于第一種介質(zhì)的折射率；如果第一種介質(zhì)是真空，則叫做非真空介質(zhì)的絕對(duì)折射率，如果表示光在真空中的速度，則絕對(duì)折射率，其中是光在介質(zhì)中的速度。如果介質(zhì)的特

65、點(diǎn)是逐點(diǎn)變化的，則和都是，和的函數(shù)。</p><p>　　費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)的這個(gè)最小時(shí)間原理及其光的折射現(xiàn)象的關(guān)系，是走向光學(xué)統(tǒng)一理論的最早一步。</p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　費(fèi)馬性情謙抑，好靜成癖。他對(duì)數(shù)學(xué)的許多研究成果，往往以沒(méi)有給出證明的斷言寫(xiě)在他閱讀過(guò)的書(shū)籍的邊緣或空白處，或者寫(xiě)在給朋友的一片信箋中，也有一些是

66、散放在舊紙堆里的。他從未想出版，而且固執(zhí)地拒絕編輯他的文章或以他的名字發(fā)表。他曾多次阻止過(guò)別人把他的結(jié)果復(fù)印。他對(duì)已完成的工作不再感興趣，所以常常很隨便地將自己的文章送給朋友而不留底稿。費(fèi)馬在生前也發(fā)表過(guò)幾篇文章，但都是在他要求匿名的條件下發(fā)表的，并且要求勿需做詳細(xì)明瞭的解釋。他的匿名以及拒絕發(fā)表不但使他當(dāng)時(shí)研究的成就無(wú)緣揚(yáng)名于世，并且使他暮年脫離了研究的主流。直到他去世后，后人才把他的成果匯集成書(shū)，共兩卷，先后于1670年和1679年

67、在圖盧茲出版。第一卷有丟番圖的算術(shù)，帶有校訂和注解；第二卷包括拋物形求面積法，極大極小及重心的論述和各類(lèi)問(wèn)題的解答。還有球切面、曲線求長(zhǎng)的討論。18世紀(jì)，費(fèi)馬還不太有名，但進(jìn)入19世紀(jì)中葉，由于對(duì)數(shù)論的重新研究，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史專(zhuān)家對(duì)費(fèi)馬及其著作都產(chǎn)生了濃厚的興趣，世人也爭(zhēng)先發(fā)表和研究費(fèi)馬的著作，其中尤以查爾斯·亨利和保羅·坦納的四卷論文集最為全面。從這四卷文集中可以清晰而具體地看出費(fèi)馬對(duì)數(shù)學(xué)和光學(xué)所做出的廣泛而重&l

68、t;/p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]朱家生.數(shù)學(xué)史[M]. 北京:高等教育出版社，2004.</p><p>　　[2]田鵬.業(yè)余數(shù)學(xué)家之王費(fèi)爾馬[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2003，（8）：40-41.</p><p>　　[3]張吉旭. 淺析光學(xué)系統(tǒng)理想成像的條件[J]. 工業(yè)科技，201

69、0,39（3）：44-46.</p><p>　　[4] 唐子周，唐世杰，唐世敬. 費(fèi)爾馬大定理的簡(jiǎn)捷證明釋疑[J]. 科技教育創(chuàng)新，2010，（15）：256-257.</p><p>　　[5] 楊秀川.解析幾何的發(fā)展史[J]. 集 寧 師 專(zhuān) 學(xué) 報(bào),2007,29(4):87-90.</p><p>　　[6]莫德.笛卡兒研究中的幾個(gè)問(wèn)題[J]. 內(nèi)蒙古師范

70、大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)( 漢文) 版，2004，33（1）：96-99.</p><p>　　[7]杜瑞芝.微分學(xué)前史[J]. 還寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版，1986，增刊：42-49.</p><p>　　[8] 徐傳勝,曲安京, 李紅偉. 從投擲問(wèn)題到概率論的創(chuàng)立[J]. 純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2007,23(4):453-457.</p><p>　　[9]吳延?xùn)|. 費(fèi)

71、馬小定理的幾何意義[J]. 淮陰工學(xué)院學(xué)報(bào)，2007,16（3）：1-2.</p><p>　　[10] 王海坤. 費(fèi)馬的學(xué)習(xí)研究方法的啟示[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2006，（15）：45-46.</p><p>　　[11]楊燕昌.費(fèi)爾馬達(dá)定理介紹[J].貴州科學(xué)，1995，13（1）：53-58.</p><p>　　[12] 陳俊華. 淺談費(fèi)馬原理[J]. 濮陽(yáng)教

72、育學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，15（1）：31-32.</p><p>　　[13] Leo Corry. On the History of Fermat’s Last Theorem:Fresh Views on an old Tale[J]. Philosophische Und Historische Sicht,2010,(57): 123–138.</p><p>　　[14] Zha

73、ng Baoshan, A Comment on the Proof of Fermat’s Last Theorem[J].A~plied Blathematics and Mechanics,1998,19(11):1115-1118.</p><p><b>　　文獻(xiàn)綜述</b></p><p>　　多才多藝的偉大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬　　</p><

74、;p>　　一、前言部分（說(shuō)明寫(xiě)作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說(shuō)明有關(guān)主題爭(zhēng)論焦點(diǎn)）</p><p>　　田鵬發(fā)表的《業(yè)余數(shù)學(xué)家之王費(fèi)爾馬》[1]中提到：費(fèi)馬1601年8月17日生于法國(guó)南部圖盧茲附近的波蒙，父親是皮革商人，自幼接受良好的家庭教育，后進(jìn)圖盧茲大學(xué)學(xué)習(xí)法律。他以法律為職業(yè)，同時(shí)是一位社會(huì)活動(dòng)家，從1631年到去世一直任圖盧茲的議會(huì)議員。他業(yè)余時(shí)間博覽群書(shū)，尤其熱愛(ài)古典文學(xué)，精通拉丁文和希

75、臘文。從三十歲起，他開(kāi)始迷戀上數(shù)學(xué)，并把幾乎全部業(yè)余時(shí)間用于數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究，至死不渝?！熬\(chéng)所至，金石為開(kāi)”，在王建華發(fā)表的《費(fèi)馬數(shù)與圓內(nèi)接正多邊形》[2]的一文中也提到費(fèi)馬在光學(xué)及數(shù)學(xué)的四大分支—解析幾何、微積分、概率、數(shù)論，都作出了開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)，成為17世紀(jì)最出名的法國(guó)數(shù)學(xué)家之一。美國(guó)數(shù)學(xué)家貝爾稱(chēng)他為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。當(dāng)然，蔡天新發(fā)表的《從笛卡爾到龐加萊》[3]；尹洪武、趙會(huì)娟、邵怡發(fā)表的《關(guān)于費(fèi)馬大定理》[4]中也都有費(fèi)馬的家庭。

76、生活。</p><p>　　費(fèi)馬作為17世紀(jì)數(shù)學(xué)家中最多產(chǎn)的明星，他比同時(shí)代的大多數(shù)專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)家更有成就。但是他一生的成就貢獻(xiàn)并沒(méi)有被人們銘記于心，甚至有的人連費(fèi)馬這個(gè)人都不知道，而且現(xiàn)在大部分的研究者都是單單針對(duì)費(fèi)馬的某一個(gè)成就中的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行描述或者證明，或者是運(yùn)用費(fèi)馬推出的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)去論述其他的內(nèi)容。例如張吉旭在工業(yè)科技報(bào)上發(fā)表的《淺析光學(xué)系統(tǒng)理想成像的條件》[5]一文就是單單利用了下費(fèi)馬在光學(xué)方面推出的知識(shí)；

77、又如唐子周、唐世杰、唐世敬在科技教育創(chuàng)新報(bào)上發(fā)表的《費(fèi)爾馬大定理的簡(jiǎn)捷證明釋疑》[6]一《費(fèi)爾馬大定理的簡(jiǎn)捷證明注記》[7]論述的是有關(guān)費(fèi)馬大定理的內(nèi)容。很少有人從費(fèi)馬一生的角度或者說(shuō)整體上去敘述費(fèi)馬，整理費(fèi)馬這一生的貢獻(xiàn)，述說(shuō)費(fèi)馬這一生的生活經(jīng)歷。</p><p>　　所以敘述費(fèi)馬的一生經(jīng)歷，總結(jié)、整理費(fèi)馬一生中各個(gè)方面的成就，從而比較系統(tǒng)的了解、掌握費(fèi)馬的成就，這不僅能使得費(fèi)馬這一代明星一生的經(jīng)歷及其他的成就

78、不會(huì)被遺忘在時(shí)間的河流中，而且能讓我們的后代也能傳承費(fèi)馬這種專(zhuān)研的精神從而創(chuàng)造出自己的輝煌。</p><p>　　二、主題部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對(duì)這些問(wèn)題的評(píng)述）</p><p>　　在朱家生發(fā)表的《數(shù)學(xué)史》[8]一書(shū)中提到：文藝復(fù)興時(shí)期（從15世紀(jì)到16世紀(jì)末），歐洲出現(xiàn)了思想大解放、生產(chǎn)大發(fā)展、社會(huì)大進(jìn)步的喜人景象，科學(xué)文化技術(shù)，其中包括數(shù)學(xué)，也隨之開(kāi)始復(fù)蘇

79、并逐步繁榮起來(lái)。到了十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)跨入了一個(gè)嶄新的時(shí)代，即從常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的時(shí)代，而引起這一轉(zhuǎn)變的因素當(dāng)中也有著費(fèi)馬的一份力。</p><p>　　1、與笛卡爾分離創(chuàng)立解析幾何的榮譽(yù)</p><p>　　在楊秀川發(fā)表的《解析幾何的發(fā)展史》[9]一文中提到：17世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)輝煌時(shí)代，幾何學(xué)首先成為這一時(shí)代引人注目的明珠。費(fèi)馬獨(dú)立于笛卡爾，并且比他早發(fā)現(xiàn)解析幾何的要旨。因此費(fèi)馬與

80、笛卡爾分享創(chuàng)立解析幾何的榮譽(yù)。費(fèi)馬是從力圖把古希臘幾何學(xué)阿波羅尼奧斯軌跡問(wèn)題已失傳的證明法補(bǔ)齊出發(fā)，利用坐標(biāo)法嘗試著把代數(shù)法應(yīng)用于幾何學(xué)，研究多種曲線的性質(zhì)。費(fèi)馬于1630年用拉丁文撰寫(xiě)了僅有8頁(yè)的論文《平面與立體軌跡引論》。在這篇文章中，費(fèi)馬指出：“兩個(gè)未知量決定的一個(gè)方程式，對(duì)應(yīng)著一條軌跡，可以描繪出一條直線或曲線。”費(fèi)馬的發(fā)現(xiàn)比笛卡爾發(fā)現(xiàn)解析幾何基本原理(1637年)早7年。費(fèi)馬對(duì)一般直線和圓的方程、以及關(guān)于雙曲線、橢圓、拋物線進(jìn)

81、行了討論。他把通常拋物線方程和等軸雙曲線方程推廣為的形式,并推廣了阿基米德螺線。費(fèi)馬給出了許多以代數(shù)方程定義的新曲線。曲線，和現(xiàn)在仍被稱(chēng)為費(fèi)馬雙曲線、費(fèi)馬拋物線和費(fèi)馬螺線。笛卡爾是從一個(gè)軌跡來(lái)尋找它的方程的，而費(fèi)馬則是從方程出發(fā)來(lái)研究軌跡的。這正是解析幾何的基本原則兩個(gè)相反的方面。費(fèi)馬的成功之處就在于，他把希臘數(shù)學(xué)中使用立體圖而苦心研究所發(fā)現(xiàn)的曲線的特征，通過(guò)引進(jìn)坐標(biāo)以一貫的</p><p><b>　

82、　2、微積分的先驅(qū)者</b></p><p>　　曲線的切線問(wèn)題和函數(shù)的極大、極小值問(wèn)題是微積分的起源之一。費(fèi)馬是從研究透鏡的設(shè)計(jì)和光學(xué)理論出發(fā)，致力于探究曲線的切線的.1629年他在《求最大值和最小值的方法》的手稿中就提出了求切線的方法。他在這篇文章中給出的求極值方法的實(shí)質(zhì)與現(xiàn)今使用的通過(guò)令一階導(dǎo)數(shù)為零找出極值點(diǎn)再算極值的方法是一致的。他把自己這套辦法運(yùn)用于求球的內(nèi)接圓錐的最大體積、球的內(nèi)接圓柱的最

83、大表面積等。費(fèi)馬是最早發(fā)展求函數(shù)極值的數(shù)學(xué)家之一。</p><p>　　3、他和帕斯卡共同對(duì)概率論進(jìn)行了最早的科學(xué)探索</p><p>　　雖然16世紀(jì)概率論已有了某些萌芽，例如H．卡爾達(dá)諾曾經(jīng)對(duì)機(jī)會(huì)對(duì)策中產(chǎn)生的一些問(wèn)題感到過(guò)興趣，但首先試圖把這些方法歸納和抽象成一種法則的，還應(yīng)歸功于費(fèi)馬和帕斯卡。而激勵(lì)他們倆人認(rèn)真對(duì)待這項(xiàng)研究的起因，卻來(lái)自一個(gè)賭博者的請(qǐng)求。 </p>&l

84、t;p>　　1654年法國(guó)騎士C．梅累向帕斯卡提出了一個(gè)使他苦惱很久的問(wèn)題：“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，誰(shuí)先贏局就算贏了，現(xiàn)在一個(gè)人贏局，另一個(gè)人贏局，賭博中止，問(wèn)賭本應(yīng)怎樣分法才算合理？”這個(gè)問(wèn)題后來(lái)稱(chēng)為“賭點(diǎn)問(wèn)題”。當(dāng)帕斯卡接到這個(gè)問(wèn)題后，立刻把它轉(zhuǎn)告了費(fèi)馬，他們倆人都對(duì)這個(gè)問(wèn)題得出了正確的答案，但所用的方法不同。關(guān)于概率論的研究就是這樣開(kāi)始的。正如對(duì)概率論做出了卓越貢獻(xiàn)的法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松后來(lái)所說(shuō)：“由一位廣有交游的人向一位嚴(yán)肅的冉

85、森派教徒所提出的一個(gè)關(guān)于機(jī)會(huì)游戲的問(wèn)題乃是概率演算的起源?！边@個(gè)廣有交游的人就是梅累，那位嚴(yán)肅的冉森派教徒就是帕斯卡。在徐傳勝、曲安京、李紅偉發(fā)表的《從投擲問(wèn)題到概率論的創(chuàng)立》[10]一文中也提及了這個(gè)問(wèn)題。</p><p>　　當(dāng)C．惠更斯到巴黎的時(shí)候，聽(tīng)說(shuō)費(fèi)馬和帕斯卡在研究這個(gè)問(wèn)題，他也進(jìn)行了研究，并寫(xiě)成了《論賭博中的計(jì)算》一書(shū)。從此概率論的研究引起了更多數(shù)學(xué)家的關(guān)注，特別是為了研究在實(shí)踐中碰到的大量隨機(jī)現(xiàn)象

86、的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，就進(jìn)一步推動(dòng)了這一數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。在梁旭發(fā)表的《概率的第一次計(jì)算》[11]一文中對(duì)費(fèi)馬在概率論方面的貢獻(xiàn)也有所提及。</p><p>　　4、開(kāi)創(chuàng)近代數(shù)論的研究</p><p>　　費(fèi)馬對(duì)于數(shù)論的貢獻(xiàn)是巨大的，他不斷地提出過(guò)許許多多的猜想和命題，創(chuàng)造出許多精美的思想和方法。費(fèi)馬的所有猜想先后都找到了證明，但費(fèi)馬大定理卻是例外。當(dāng)整數(shù)大于2時(shí)，不存在一個(gè)整數(shù)次冪是另外兩個(gè)整數(shù)次冪

87、之和的費(fèi)馬大定理，竟引無(wú)數(shù)英雄爭(zhēng)相證明，三百多年的歲月流逝，終未能獲證。盡管尚未得到證明，然而，在攻克它的征途上，新工具、新方法、新概念、新理論層出不窮。所以，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特(Hilbert)把它稱(chēng)為“生金蛋的母雞”。</p><p>　　5、他對(duì)光學(xué)做出了重要貢獻(xiàn)</p><p>　　費(fèi)馬在1637年看到笛卡兒的《折光》中給出的折射定律。他對(duì)這個(gè)定律及其證明方法都持懷疑和反對(duì)的態(tài)度，

88、并曾引起他們倆人之間長(zhǎng)達(dá)十年之久的爭(zhēng)論。但后來(lái)費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)反射時(shí)光線取需時(shí)最少的路徑，而且相信自然確實(shí)是按簡(jiǎn)單而又經(jīng)濟(jì)的方式行動(dòng)的，在1657年和1662年的信件中，他確認(rèn)了他的最小時(shí)間原理——光線永遠(yuǎn)取花時(shí)間最少的路徑行進(jìn)。當(dāng)他在1661年發(fā)現(xiàn)他能夠從他的原理導(dǎo)出光的折射定律時(shí)，他不但解除了對(duì)笛卡兒的折射定律的懷疑，而且更加確信自己的原理的正確性。</p><p>　　費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)的這個(gè)最小時(shí)間原理及其與光的折射現(xiàn)象的

89、關(guān)系，是走向光學(xué)統(tǒng)一理論的最早一步。這在哈爾、赫爾曼發(fā)表的《數(shù)學(xué)恩仇錄》[12]中有提及。</p><p>　　三、總結(jié)部分（將全文主題進(jìn)行扼要總結(jié)，提出自己的見(jiàn)解并對(duì)進(jìn)一步的發(fā)展方向做出預(yù)測(cè)）</p><p>　　費(fèi)馬性情謙抑，好靜成癖。他對(duì)數(shù)學(xué)的許多研究成果，往往以沒(méi)有給出證明的斷言寫(xiě)在他閱讀過(guò)的書(shū)籍的邊緣或空白處，或者寫(xiě)在給朋友的一片信箋中，也有一些是散放在舊紙堆里的。他從未想出版，

90、而且固執(zhí)地拒絕編輯他的文章或以他的名字發(fā)表。他曾多次阻止過(guò)別人把他的結(jié)果付印。他對(duì)已完成的工作不再感興趣，所以常常很隨便地將自己的文章送給朋友而不留底稿。費(fèi)馬在生前也發(fā)表過(guò)幾篇文章，但都是在他要求匿名的條件下發(fā)表的，并且要求勿需做詳細(xì)明瞭的解釋。他的匿名以及拒絕發(fā)表不但使他當(dāng)時(shí)研究的成就無(wú)緣揚(yáng)名于世，并且使他暮年脫離了研究的主流。直到他去世后，后人[其中包括他的大兒子克萊門(mén)特·塞繆爾]才把他的成果匯集成書(shū)，共兩卷，先后于167

91、0年和1679年在圖盧茲出版。第一卷有丟番圖的算術(shù)，帶有校訂和注解；第二卷包括拋物形求面積法，極大極小及重心的論述和各類(lèi)問(wèn)題的解答。還有球切面、曲線求長(zhǎng)的討論。另外就是他和笛卡兒、帕斯卡、羅伯瓦、梅森、惠更斯等人的通信錄。這本書(shū)后來(lái)罕見(jiàn)于世，直到1853年E．布拉興重新加以注釋?zhuān)旁诎屠璩霭妗?8世紀(jì)，費(fèi)馬還不太有名，但進(jìn)入19世紀(jì)中葉，由于對(duì)數(shù)論的重新研究，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史專(zhuān)家對(duì)費(fèi)馬及其著作</p><p>　　

92、四、參考文獻(xiàn)（根據(jù)文中參閱和引用的先后次序按序編排）</p><p>　　[1] 田鵬.業(yè)余數(shù)學(xué)家之王費(fèi)爾馬[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2003，（8）：40-41.</p><p>　　[2] 王建華.費(fèi)馬數(shù)與圓內(nèi)接正多邊形[J].科技信息,2010,(3):121-122.</p><p>　　[3] 蔡天新.從笛卡爾到龐加萊[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào),2006,45(11)

93、:22-26.</p><p>　　[4] 尹洪武,趙會(huì)娟,邵怡.關(guān)于費(fèi)馬大定理[J].中國(guó)環(huán)境管理干部學(xué)院學(xué)報(bào),2003,13（2）：69-70.</p><p>　　[5] 張吉旭. 淺析光學(xué)系統(tǒng)理想成像的條件[J]. 工業(yè)科技，2010,39（3）：44-46.</p><p>　　[6] 唐子周，唐世杰，唐世敬. 費(fèi)爾馬大定理的簡(jiǎn)捷證明釋疑[J]. 科技教育

94、創(chuàng)新，2010，（15）：256-257.</p><p>　　[7] 唐子周，唐世杰，唐世敬. 費(fèi)爾馬大定理的簡(jiǎn)捷證明注記[J]. 基礎(chǔ)及前沿研究，2010，（9）：66-67.</p><p>　　[8] 朱家生.數(shù)學(xué)史[M]. 北京:高等教育出版社，2004.</p><p>　　[9] 楊秀川.解析幾何的發(fā)展史[J]. 集 寧 師 專(zhuān) 學(xué) 報(bào),2007,29

95、(4):87-90.</p><p>　　[10] 徐傳勝,曲安京, 李紅偉. 從投擲問(wèn)題到概率論的創(chuàng)立[J]. 純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2007,23(4):453-457.</p><p>　　[11] 梁 旭. 概率的第一次計(jì)算[J]. 統(tǒng)計(jì)科普，2009：45-47.</p><p>　　[12] [美]哈爾.赫爾曼.數(shù)學(xué)恩仇錄[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,20

96、09.</p><p>　　[13] 郭錫伯.二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展史的坐標(biāo)[J]. 工科數(shù)學(xué),2001,17(2):104-108.</p><p>　　[14] Zhang Bao shan, A comment on the proof of fermats last theorem[J].A~plied blathematics and Mechanics,1998,19(11):111

97、5-1118.</p><p>　　[15] Leo Corry. On the history of Fermat’s last theorem:fresh views on an old tale[J]. Philosophische und historische sicht,2010,(57): 123–138</p><p>　　[16] Andrea Del Centina,

98、Unpublished manuscripts of Sophie Germain and a revaluation of her work on Fermat’s Last Theorem [J]. Arch. Hist. Exact Sci,2007,( 62):349–392.</p><p><b>　　開(kāi)題報(bào)告</b></p><p>　　多才多藝的偉大數(shù)

99、學(xué)家費(fèi)馬　　</p><p>　　一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)）</p><p>　　在朱家生發(fā)表的《解析幾何的發(fā)展史》[1]一文中提到：文藝復(fù)興時(shí)期（從15世紀(jì)到16世紀(jì)末），歐洲出現(xiàn)了思想大解放、生產(chǎn)大發(fā)展、社會(huì)大進(jìn)步的喜人景象，科學(xué)文化技術(shù)，其中包括數(shù)學(xué)，也隨之開(kāi)始復(fù)蘇并逐步繁榮起來(lái)。到了十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)跨入了一個(gè)嶄新的時(shí)代，即從常量數(shù)學(xué)進(jìn)入變量數(shù)

100、學(xué)的時(shí)代，而引起這一轉(zhuǎn)變的因素當(dāng)中也有著費(fèi)馬的一份力。</p><p>　　田鵬發(fā)表的《業(yè)余數(shù)學(xué)家之王費(fèi)爾馬》[2]、蔡天新發(fā)表的《從笛卡爾到龐加萊》[3]；尹洪武、趙會(huì)娟、邵怡發(fā)表的《關(guān)于費(fèi)馬大定理》[4]中提到：費(fèi)馬出生于商人家庭，學(xué)法律并以律師為職業(yè)，他不但有豐富的法律知識(shí)，而且是一個(gè)博覽群籍、識(shí)多見(jiàn)廣的學(xué)者。雖然數(shù)學(xué)只不過(guò)是他的業(yè)余愛(ài)好，但他精通法語(yǔ)、意大利語(yǔ)、西班牙語(yǔ)、拉丁語(yǔ)、希臘語(yǔ)，從而使他不僅能精心

101、研究韋達(dá)的著作，而且能深入鉆研那些古典的數(shù)學(xué)著作，例如，阿基米德(Archimedes)、阿波羅尼奧斯(Apollonius)、丟番圖(Diophantus)、帕普斯(Pappus)等人的作品，使得他在下述幾個(gè)數(shù)學(xué)分支中做出了極為重要的貢獻(xiàn)并獲得“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的稱(chēng)號(hào)：在楊秀川發(fā)表的《解析幾何的發(fā)展史》[5]一文中提到他在研究幾何的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了解析幾何的原理；他是微積分的先驅(qū)者；在梁旭發(fā)表的《概率的第一次計(jì)算》[6]一文中提到他和B．

102、帕斯卡(Pascal)共同開(kāi)創(chuàng)了概率論的早期研究；他是近代數(shù)論的開(kāi)拓者。當(dāng)然數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)只是費(fèi)馬成就中的一部分，在哈爾、赫爾曼發(fā)表的《數(shù)學(xué)恩仇錄》[7]中他在物理、化學(xué)等領(lǐng)域中也有著一定的知名度。 </p><p>　　費(fèi)馬作為17世紀(jì)數(shù)學(xué)家中最多產(chǎn)的明星，他比同時(shí)代的大多數(shù)專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)家更有成就，而且在他之后也有許多偉大的數(shù)學(xué)家因?yàn)檠芯抠M(fèi)馬的著作而出名，在Leo Corry發(fā)表的《On the history o

103、f Fermat’s last theorem:fresh views on an old tale》[8]和在Andrea Del Centina發(fā)表的《Unpublished manuscripts of Sophie Germain and a revaluation of her work on Fermat’s Last Theorem》[9]中都有提到許多數(shù)學(xué)家是由于研究費(fèi)馬的著作而出名。研究費(fèi)馬的一生，總結(jié)、整理費(fèi)馬一生中

104、各個(gè)方面的成就，不僅能比較系統(tǒng)的掌握費(fèi)馬的成就，使得費(fèi)馬這一代明星及其他的成就不會(huì)被遺忘在時(shí)間的河流中，而且能讓我們的后代也能傳承費(fèi)馬這種專(zhuān)研的精神從而創(chuàng)造出自己的輝煌。</p><p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問(wèn)題</p><p>　　1、2010年唐子周、唐世杰、唐世敬在科技教育創(chuàng)新刊登了《費(fèi)爾馬大定理的簡(jiǎn)捷證明釋疑》[10]對(duì)《費(fèi)爾馬大定理的簡(jiǎn)捷證明》[11]一文中當(dāng)時(shí)的